RACIONALŪS SKAIČIAI: SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI IR OPERACIJOS - MATEMATIKA - 2025

Visi racionalieji skaičiai yra skaičiai, kuriuos galima gauti padalijus iš dviejų sveikųjų skaičių. Racionalių skaičių pavyzdžiai: 3/4, 8/5, -16/3 ir tie, kurie pateikiami kitame paveiksle. Racioniniame skaičiuje nurodomas koeficientas, kurį prireikus galima padaryti vėliau.

Paveikslas vaizduoja bet kurį apvalų objektą, kad būtų patogiau. Jei norime jį padalyti į 2 lygias dalis, kaip ir dešinėje, mes turime dvi puses į kairę ir kiekviena jų yra verta 1/2.

1 paveikslas. Racionalieji skaičiai naudojami padalinti visumą į keletą dalių. Šaltinis: „Freesvg“.

Padaliję jį į 4 lygias dalis, gausime 4 gabalus ir kiekvienas jų yra vertas 1/4, kaip ir paveikslėlyje centre. Ir jei ji turėtų būti padalinta į 6 lygias dalis, kiekviena dalis būtų verta 1/6, kurią matome paveikslėlyje kairėje.

Žinoma, mes taip pat galime ją padalyti į dvi nelygias dalis, pavyzdžiui, galėtume laikyti 3/4 dalių ir sutaupyti 1/4 dalių. Galimi ir kiti padalijimai, tokie kaip 4/6 dalys ir 2/6 dalys. Svarbu tai, kad visų dalių suma yra 1.

Tokiu būdu akivaizdu, kad naudodami racionalius skaičius galite dalyti, skaičiuoti ir paskirstyti tokius dalykus kaip maistas, pinigai, žemė ir visų rūšių daiktai trupmenomis. Taigi plečiamas operacijų, kurias galima atlikti skaičiais, skaičius.

Racionalūs skaičiai taip pat gali būti išreiškiami dešimtosios formos, kaip matyti iš šių pavyzdžių:

1/2 = 0,5

1/3 = 0,3333 …

3/4 = 0,75

1/7 = 0,142857142857142857 ………

Vėliau su pavyzdžiais nurodysime, kaip pereiti nuo vienos formos prie kitos.

Racionaliųjų skaičių savybės

Racionalūs skaičiai, kurių rinkinį žymėsime raide Q, turi šias savybes:

-Q apima natūralius skaičius N ir sveikus skaičius Z.

Atsižvelgiant į tai, kad bet kuris skaičius a gali būti išreikštas kaip koeficientas tarp savęs ir 1, nesunku pastebėti, kad tarp racionaliųjų skaičių yra ir natūralieji skaičiai bei sveikieji skaičiai.

Taigi natūralųjį skaičių 3 galima užrašyti kaip trupmeną, o taip pat –5:

3 = 3/1

-5 = -5/1 = 5 / -1 = - (5/1)

Tokiu būdu Q yra skaitmeninis rinkinys, apimantis didesnį skaičių skaičių, o tai labai reikalinga, nes „apvalių“ skaičių nepakanka visoms įmanomoms operacijoms aprašyti.

-Racionalieji skaičiai gali būti sudėti, atimti, padauginti ir padalyti, operacijos rezultatas yra racionalus skaičius: 1/2 + 1/5 = 7/10; 1/2 - 1/5 = 3/10; (1/2) x (1/5) = 1/10; (1/2) ÷ (1/5) = 5/2.

Tarp kiekvienos racionaliųjų skaičių poros visada galima rasti kitą racionalųjį skaičių. Iš tikrųjų tarp dviejų racionaliųjų skaičių yra begalinis racionaliųjų skaičių skaičius.

Pvz., Tarp 1/4 ir 1/2 racionaliųjų yra 3/10, 7/20, 2/5 (ir dar daugiau), kuriuos galima patikrinti išreiškiant juos dešimtainiais skaičiais.

- Bet kuris racionalus skaičius gali būti išreikštas taip: i) sveikas skaičius arba ii) ribotas (griežtas) arba periodiškas dešimtainis skaičius: 4/2 = 2; 1/4 = 0,25; 1/6 = 0,1666666 ……

-Tą patį skaičių gali pavaizduoti begalinės ekvivalentinės trupmenos ir visos jos priklauso Q. Pažiūrėkime šią grupę:

Jie visi reiškia dešimtainį 0.428571 …

- Iš visų lygiaverčių trupmenų, kurios žymi tą patį skaičių, neardoma trupmena, paprasčiausia iš visų, yra kanoninis to skaičiaus atstovas. Aukščiau pateikto pavyzdžio kanoninis atstovas yra 3/7.

2 pav. Racionaliųjų skaičių aibė Q. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Uvm Eduardo Artur / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0).

Racionaliųjų skaičių pavyzdžiai

- Tinkamos frakcijos, kurių skaitiklis yra mažesnis už vardiklį:

- netinkamos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį:

-Natūralūs skaičiai ir sveikieji skaičiai:

- lygiavertės frakcijos:

Dešimtainis racionalaus skaičiaus atvaizdavimas

Kai skaitiklis padalijamas iš vardiklio, randama racionalaus skaičiaus dešimtainė forma. Pavyzdžiui:

2/5 = 0,4

3/8 = 0,375

1/9 = 0,111111…

11/11 = 0,545454…

Pirmuosiuose dviejuose pavyzdžiuose dešimtųjų skaičius yra ribotas. Tai reiškia, kad atlikus padalijimą, galutinai gaunama 0 dalis.

Kita vertus, per kitus du ženklų po kablelio skaičius yra begalinis, todėl elipsės dedamos. Pastaruoju atveju po kablelio yra raštas. 1/9 trupmenos atveju skaičius 1 kartojamas neribotą laiką, o 6/11 - 54.

Kai tai atsitiks, dešimtainis skaičiuojamas kaip periodiškas ir žymimas tokiais karetėliais:

Dešimtainę dalį paverskite trupmena

Jei tai yra ribotas skaičius po kablelio, kablelis tiesiog pašalinamas, o vardiklis tampa vienetu, po kurio eina tiek nulių, kiek skaičių yra dešimtųjų tikslumu. Pvz., Jei norite paversti dešimtainį 1,26 trupmeną, parašykite ją taip:

1,26 = 126/100

Tada gauta frakcija maksimaliai supaprastinama:

126/100 = 63/50

Jei dešimtainis skaičius nėra neribotas, pirmiausia nustatomas laikotarpis. Tada, norint rasti gautą frakciją, reikia atlikti šiuos veiksmus:

-Skaitytojas yra skaičiaus (be kablelio ar caretto) atimtis iš dalies, kurioje nėra caret.

-Tvariklio vardiklis yra sveikas skaičius, turintis tiek 9, kiek yra skaičių pagal apskritimą, o tiek 0, kiek yra dešimtosios dalies skaičių, esančių ne pagal apskritimą.

Atlikime šią procedūrą, kad dešimtainį skaičių 0.428428428… paversime trupmena.

Pirmiausia nustatomas laikotarpis, kuris kartojamas seka: 428.

-Tada operacija atimant skaičių be kablelio ar kirčio yra atliekama: 0428 iš dalies, kurioje nėra apskritimo lanko, kuris lygus 0. Taigi, tai yra 428 - 0 = 428.

-Tvardiklis yra sukonstruotas žinant, kad po apskritimo flanšu yra 3 skaičiai ir visi yra pagal apskritimo fleksą. Todėl vardiklis yra 999.

-Galiausiai frakcija suformuojama ir, jei įmanoma, supaprastinama:

0,428 = 428/999

Neįmanoma daugiau supaprastinti.

Operacijos naudojant racionalius skaičius

- sudėti ir atimti

Frakcijos su tuo pačiu vardikliu

Kai trupmenos turi tą patį vardiklį, jas sudėti ir (arba) atimti yra labai lengva, nes skaitikliai pridedami tiesiog abėcėlės tvarka, paliekant tuos pačius priedus kaip rezultato vardiklį. Galiausiai, jei įmanoma, jis supaprastinamas.

Pavyzdys

Atlikite šį algebrinį papildymą ir supaprastinkite rezultatą:

Gauta frakcija jau yra nepataisoma.

Frakcijos su skirtingais vardikliais

Tokiu atveju papildymai pakeičiami lygiavertėmis trupmenomis su tuo pačiu vardikliu ir tada vykdoma jau aprašyta procedūra.

Pavyzdys

Algebrai pridėkite šiuos racionaliuosius skaičius, supaprastindami rezultatą:

Žingsniai yra šie:

- Apibrėžkite mažiausiai 5 (8) ir 3 vardiklį (lcm):

lcm (5,8,3) = 120

Tai bus gautos trupmenos vardiklis, nepaprastinant.

-Kiekvienai frakcijai: padalykite LCM iš vardiklio ir padauginkite iš skaitiklio. Šios operacijos rezultatas su atitinkamu ženklu dedamas į trupmenos skaitiklį. Tokiu būdu gaunama trupmena, lygi originalui, tačiau vardiklis yra LCM.

Pavyzdžiui, pirmajai trupmenai skaitiklis sukonstruotas taip: (120/5) x 4 = 96 ir gauname:

Likusias frakcijas atlikite taip pat:

Galiausiai ekvivalentinės trupmenos pakeičiamos nepamirštant jų ženklo ir atliekama skaitinių skaitmenų algebrinė suma:

(4/5) + (14/8) - (11/3) + 2 = (96/120) + (210/120) - (440/120) + (240/120) =

= (96 + 210-440 + 24) / 120 = -110 / 120 = -11 / 12

- Daugyba ir padalijimas

Padauginimas ir padalijimas atliekamas pagal toliau pateiktas taisykles:

3 pav. Racionaliųjų skaičių dauginimo ir dalijimo taisyklės. Šaltinis: F. Zapata.

Bet kokiu atveju svarbu atsiminti, kad dauginimas yra komutacinis, o tai reiškia, kad veiksnių tvarka nekeičia produkto. Tai neįvyksta dalijant, todėl reikia būti atsargiems, kad būtų paisoma tvarkos tarp dividendo ir daliklio.

1 pavyzdys

Atlikite šias operacijas ir supaprastinkite rezultatą:

a) (5/3) x (8/15)

b) (-4 / 5) ÷ (2/9)

Atsakymas

(5/3) x (8/15) = (5 x 8) / (3 x 15) = 15/120 = 1/8

Atsakymas b

(-4/5) ÷ (2/9) = (-4 x 9) / (5 x 2) = -36 / 10 = -18/5

2 pavyzdys

Luisa turėjo 45 USD. Dešimtąją dalį jis išleido pirkdamas knygą ir 2/5 to, kas liko ant marškinėlių. Kiek pinigų liko Luisa? Rezultatas išreiškiamas kaip nesumažinama frakcija.

Sprendimas

Knygos kaina (1/10) x 45 USD = 0,1 x 45 USD = 4,5 USD

Todėl Luisa liko:

45 - 4,5 $ = 40,5 $

Už tuos pinigus Luisa nuėjo į drabužių parduotuvę ir nusipirko marškinius, kurių kaina yra:

(2/5) x 40,5 USD = 16,2 USD

Dabar Luisa savo portfelyje yra:

40,5 - 16,2 $ = 24,3 $

Norint išreikšti ją trupmena, rašoma taip:

24,3 = 243/10

Tai yra nepataisoma.

Nuorodos

1. Baldor, A. 1986. Aritmetika. Leidimų ir platinimų kodeksas.
2. Carena, M. 2019. Matematikos žinynas. Litoral nacionalinis universitetas.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 8. Ediciones Co-Bo.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
5. Racionalieji skaičiai. Atkurta iš: Cimanet.uoc.edu.
6. Racionalūs numeriai. Atkurta iš: webdelprofesor.ula.ve.