TRANSCENDENTINIAI SKAIČIAI: KOKIE JIE YRA, FORMULĖS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Į transcendentinis skaičius yra tie, kurie negali būti gautas kaip į tam polinomo lygties rezultatas. Transcendentinio skaičiaus priešingybė yra algebrinis skaičius, kuris yra tipo polinominės lygties sprendiniai:

a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + …… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀ = 0

Kai koeficientai a _n , a _n-1 ,… .. a ₂ , a ₁ , a ₀ yra racionalieji skaičiai, vadinami daugianario koeficientais. Jei skaičius x yra ankstesnės lygties sprendimas, tada šis skaičius nėra transcendentinis.

1 pav. Du skaičiai, turintys didelę reikšmę mokslui, yra transcendentiniai skaičiai. Šaltinis: publicdomainpictures.net.

Išanalizuosime keletą skaičių ir išsiaiškinsime, ar jie yra peržengiantys, ar ne:

a) 3 nėra transcendentinis, nes tai yra sprendimas x - 3 = 0.

b) -2 negali būti transcendentinis, nes tai yra sprendimas x + 2 = 0.

c) ⅓ yra 3x - 1 = 0 sprendimas

d) lygties x ² - 2x + 1 = 0 sprendimas yra √2 -1, taigi šis skaičius pagal apibrėžimą nėra transcendentinis.

e) Taip pat nėra √2, nes tai yra lygties x ² - 2 = 0 rezultatas. Skaičius √2 duoda rezultatą 2, atimtą iš 2, lygų nuliui. Taigi √2 yra neracionalus skaičius, tačiau jis nėra transcendentinis.

Kas yra transcendentiniai skaičiai?

Problema ta, kad nėra bendros taisyklės juos gauti (mes pasakysime šiek tiek vėliau), tačiau vieni garsiausių yra skaičius pi ir Neper skaičius, žymimi atitinkamai: π ir e.

Skaičius π

Skaičius π natūraliai atsiranda stebint, kad matematinis koeficientas tarp apskritimo perimetro P ir jo skersmens D, neatsižvelgiant į tai, ar tai mažas, ar didelis apskritimas, visada duoda tą patį skaičių, vadinamą pi:

π = P / D ≈ 3,14159 ……

Tai reiškia, kad jei visų jų, didelių ar mažų, matavimo vienetu būtų laikomas apskritimo skersmuo, perimetras visada bus P = 3,14… = π, kaip galima matyti 2 paveiksle pateiktoje animacijoje.

2 pav. Apskritimo perimetro ilgis yra pi kartų didesnis už skersmens ilgį, o pi yra maždaug 3,1416.

Norint nustatyti daugiau dešimtųjų tikslumu, reikia tiksliau išmatuoti P ir D, o tada apskaičiuoti matematikos būdu atliktą koeficientą. Išvada yra tokia, kad dešimtainės trupmenos dešimtainės dalys neturi pabaigos ir niekada nesikartoja, todėl skaičius π, be to, kad yra transcendentinis, taip pat yra neracionalus.

Neracionalus skaičius yra skaičius, kurio negalima išreikšti kaip dviejų sveikų skaičių padalijimas.

Yra žinoma, kad kiekvienas transcendentinis skaičius yra neracionalus, tačiau netiesa, kad visi neracionalūs skaičiai yra transcendentiniai. Pavyzdžiui, √2 yra neracionalus, bet neperžengiantis.

3 pav. Transcendentiniai skaičiai yra neracionalūs, tačiau atvirkščiai - netiesa.

Skaičius e

Transcendentinis skaičius e yra natūraliųjų logaritmų pagrindas, o jo dešimtainis apytikslis dydis yra:

ir ≈ 2.718281828459045235360….

Jei norėjote tiksliai užrašyti skaičių e, reiktų rašyti begalę dešimtųjų tikslumu, nes kiekvienas transcendentinis skaičius yra neracionalus, kaip minėta anksčiau.

Pirmuosius dešimt skaitmenų e yra lengva atsiminti:

2,7 1828 1828 ir nors atrodo, kad jis kartojasi, tačiau tai nėra pasiekiama po kablelio, didesnio už devynis.

Formingesnis e apibrėžimas yra toks:

Tai reiškia, kad tiksli e vertė gaunama atlikus šioje formulėje nurodytą operaciją, kai natūralusis skaičius n linkęs į begalybę.

Tai paaiškina, kodėl mes galime gauti tik e aproksimacijas, nes nesvarbu, kiek n yra skaitmuo n, visada galima rasti didesnį n.

Pažvelkime į keletą suderinimų savarankiškai:

-Kai n = 100, tada (1 + 1/100) ¹⁰⁰ = 2,70481, kuris vargu ar sutampa pirmame kablelyje su „tikra“ e reikšme.

-Jei pasirinksite n = 10 000, turite (1 + 1/10 000) ^{10 000} = 2 71815, kuris sutampa su „tikslia“ e reikšme per pirmąsias tris dešimtųjų tikslumu.

Šis procesas turės būti vykdomas be galo norint gauti „tikrąją“ e reikšmę. Nemanau, kad turime laiko tai padaryti, bet pabandykime dar vieną:

Panaudosime n = 100 000:

(1 + 1/100 000) ^{100 000} = 2 7182682372

Tai turi tik keturias dešimtaines vietas, atitinkančias tikslią vertę.

Svarbu suprasti, kad kuo didesnė n reikšmė, pasirinkta apskaičiuoti e _n , tuo ji bus arčiau tikrosios vertės. Bet tą tikrąją vertę turėsime tik tada, kai n yra begalinis.

4 paveikslas. Grafiškai parodyta, kuo didesnė n vertė, tuo arčiau e, bet norint pasiekti tikslią n vertę, ji turi būti begalinė.

Kiti svarbūs skaičiai

Be šių garsių skaičių, yra ir kitų transcendentinių skaičių, pavyzdžiui:

- 2 ^√2

-Šampano numeris 10-oje bazėje:

C_10 = 0.123456789101112131415161718192021….

-Šampano numeris 2 bazėje:

C_2 = 0,1101110010110111….

-Gama skaičiaus γ arba Euler-Mascheroni konstanta:

γ ≈ 0,577 215 664 901 532 860 606

Kuris gaunamas atlikus šį skaičiavimą:

γ ≈ 1 + ½ + ⅓ + ¼ +… + 1 / n - ln (n)

Nes kai n yra labai labai didelis. Norint gauti tikslią „Gama“ skaičiaus vertę, reiktų skaičiuoti naudojant n begalybę. Kažkas panašaus į tai, ką darėme aukščiau.

Ir yra daug daugiau transcendentinių skaičių. Puikus matematikas Georgas Cantoris, gimęs Rusijoje ir gyvenęs nuo 1845 iki 1918 m., Parodė, kad transcendentinių skaičių aibė yra daug didesnė nei algebrinių skaičių aibė.

Formulės, kuriose rodomas transcendentinis skaičius π

Perimetro perimetras

P = π D = 2 π R, kur P yra perimetras, D - skersmuo ir R - apskritimo spindulys. Reikėtų prisiminti, kad:

- apskritimo skersmuo yra ilgiausias segmentas, jungiantis du to paties taškus ir visada einantis per jo centrą,

Spindulys yra pusė skersmens ir yra segmentas, einantis nuo centro iki krašto.

Apskritimo plotas

A = π R ² = ¼ π D ²

Sferos paviršius

S = 4 π R ^2.

Taip, nors tai gali ir neatrodyti, rutulio paviršius yra toks pat kaip keturių apskritimų, kurių spindulys yra toks pat kaip rutulio.

Sferos tūris

V = 4/3 π R ³

Pratimai

- 1 pratimas

„EXÓTICA“ picerijoje parduodamos trijų diametrų picos: mažos 30 cm, vidutinės 37 cm ir didelės 45 cm. Berniukas yra labai alkanas ir suprato, kad dvi mažos picos kainuoja tiek pat, kiek viena didelė. Kas jam bus geriau, jei nusipirksite dvi mažas picas ar vieną didelę?

5 pav. Picos plotas yra proporcingas spindulio kvadratui, pi yra proporcingumo konstanta. Šaltinis: „Pixabay“.

Sprendimas

Kuo didesnis plotas, tuo didesnis picos kiekis, dėl šios priežasties bus apskaičiuojamas didelės picos plotas ir bus lyginamas su dviejų mažų picų plotu:

Didelės picos plotas = ¼ π D ² = ¼ ⋅3.1416⋅45 ² = 1590.44 cm ²

Mažos picos plotas = ¼ π d ² = ¼ ⋅3.1416⋅30 ² = 706.86 cm ²

Todėl dviejų mažų picų plotas bus

2 x 706,86 = 1413,72 cm ² .

Aišku: pirkdami vieną didelę picą turėsite didesnį kiekį picos nei dvi mažas.

- 2 pratimas

„EXÓTICA“ picerijoje taip pat parduodama pusrutulio formos pica, kurios spindulys yra 30 cm, už tokią pačią kainą kaip ir stačiakampės picos, kurios kiekviena pusė yra 30 x 40 cm. Kurį pasirinktumėte?

6 pav. Pusrutulio paviršius yra dvigubai didesnis nei apskritas pagrindo paviršius. Šaltinis: F. Zapata.

Sprendimas

Kaip minėta ankstesniame skyriuje, rutulio paviršius yra keturis kartus didesnis nei tokio paties skersmens apskritimo, taigi 30 cm skersmens pusrutulis turės:

30 cm pusrutulio pica: 1413,72 cm ² (du kartus to paties skersmens apskritimas)

Stačiakampė pica: (30 cm) x (40 cm) = 1200 cm ² .

Pusrutulio formos picos plotas yra didesnis.

Nuorodos

1. Fernández J. Skaičius e. Kilmė ir įdomybės. Atkurta iš: soymatematicas.com
2. Mėgaukitės matematika. Eulerio numeris. Atkurta iš: enjoylasmatematicas.com.
3. Figuera, J. 2000. Matematika 1-as. Įvairus. CO-BO leidimai.
4. García, M. Skaičius e pradiniame skaičiavime. Atkurta iš: matematica.ciens.ucv.ve.
5. Vikipedija. PI numeris. Atkurta iš: wikipedia.com
6. Vikipedija. Transcendentiniai skaičiai. Atkurta iš: wikipedia.com