NE KOPLANARINIAI VEKTORIAI: APIBRĖŽIMAS, SĄLYGOS, PRATIMAI - FIZINIS - 2025

Į ne - toje pačioje plokštumoje esančių vektoriai yra tie, kurie neturi tą pačią lėktuvą. Du laisvieji vektoriai ir taškas nusako vieną plokštumą. Trečiasis vektorius gali netaikyti tos plokštumos, o jei jos neturi, tai yra ne koplanariniai vektoriai.

Ne koplanariniai vektoriai negali būti pavaizduoti dvimatėse erdvėse, pavyzdžiui, lentoje arba popieriaus lape, nes kai kurie iš jų yra trečiojoje dimensijoje. Norėdami tinkamai juos pavaizduoti, turite naudoti perspektyvą.

1 pav. Koplanariniai ir nekoplanariniai vektoriai. (Savo parengimas)

Jei pažiūrėsime į 1 paveikslą, visi rodomi objektai yra griežtai ekrano plokštumoje, tačiau perspektyvos dėka mūsų smegenys sugeba įsivaizduoti iš jo kylančią plokštumą (P).

Toje plokštumoje (P) yra vektoriai r , s , u , tuo tarpu vektoriai v ir w nėra toje plokštumoje.

Todėl vektoriai r , s , u yra vienas kito atžvilgiu priešplaniniai arba plokštuminiai, nes jie turi tą pačią plokštumą (P). Vektoriai v ir w nedalija plokštumos su jokiais kitais parodytais vektoriais, todėl jie nėra koplanariniai.

Koplanariniai vektoriai ir plokštumos lygtis

Plokštuma yra vienareikšmiškai apibrėžta, jei trimatėje erdvėje yra trys taškai.

Tarkime, kad trys taškai yra taškas A, taškas B ir taškas C, kurie nusako plokštumą (P). Šiais taškais galima sukonstruoti du vektorius AB = u ir AC = v , kurie pagal konstrukciją yra plokštumoje su plokštuma (P).

Šių dviejų vektorių vektorinis produktas (arba kryžminis produktas) sukuria trečiąjį vektorių, statmeną (arba normalų) jiems abiem, todėl statmenus plokštumai (P):

n = u X v => n ⊥ u ir n ⊥ v => n ⊥ (P)

Bet kuris kitas taškas, priklausantis plokštumai (P), turi įsitikinti, kad vektorius AQ yra statmenas vektoriui n ; Tai prilygsta sakydamas, kad taškas produktas (ar taškas produktas) ir n su AQ turi būti lygi nuliui:

n • AQ = 0 (*)

Ankstesnė sąlyga yra lygi sakymui, kad:

AQ • ( u X v ) = 0

Ši lygtis užtikrina, kad taškas Q priklauso plokštumai (P).

Dekarto plokštumos lygtis

Aukščiau pateiktą lygtį galima užrašyti dekarto forma. Tam surašome taškų A, Q koordinates ir normaliojo vektoriaus n komponentus :

Taigi AQ komponentai yra šie:

Sąlyga, kad vektorius AQ turi būti plokštumoje (P), yra sąlyga (*), kuri dabar parašyta taip:

Skaičiuojant taškinį produktą, išlieka:

Jei jis bus sukurtas ir pertvarkytas, jis išlieka:

Ankstesnė išraiška yra Dekarto plokštumos (P) lygtis, priklausanti nuo vektoriaus, įprasto (P), komponentų ir taško A, priklausančio (P), koordinačių.

Sąlygos, kad trys vektoriai būtų ne koplanariniai

Kaip matyti ankstesniame skyriuje, sąlyga AQ • ( u X v ) = 0 garantuoja, kad vektorius AQ yra panašus į u ir v .

Jei mes vadiname vektorių AQ w, tada galime patvirtinti, kad:

w , u ir v yra daugialypės, jei ir tik tada , jei w • ( u X v ) = 0.

Nelygiavertiškumo sąlyga

Jei trijų vektorių trigubas produktas (arba mišrus produktas) skiriasi nuo nulio, tada šie trys vektoriai nėra koplanariniai.

Jei w • ( u X v ) ≠ 0, tai vektoriai u, v ir w yra ne koplaniniai.

Jei įvedami u, v ir w vektorių Dekarto komponentai, nepasaulingumo sąlyga gali būti parašyta taip:

Trigubas produktas turi geometrinį aiškinimą ir parodo lygiagrečiojo vamzdžio tūrį, kurį sukuria trys ne koplanariniai vektoriai.

2 pav. Trys ne koplanariniai vektoriai apibūdina lygiagretainį, kurio tūris yra trigubo sandauga. (Savo parengimas)

Priežastis yra tokia; Kai du iš ne koplanarinių vektorių padauginami vektoriniu būdu, gaunamas vektorius, kurio dydis yra jų generuojamos paralelės diagrama.

Tada, kai šis vektorius yra padaugintas iš trečiojo ne koplanarinio vektoriaus, mes turime projekciją į vektorių, statmeną plokštumai, kurią pirmieji du nustato, padaugintą iš jų nustatyto ploto.

Kitaip tariant, paralelogramos plotą, kurį sukuria pirmieji du, padauginame iš trečiojo vektoriaus aukščio.

Alternatyvi nelygiavertiškumo sąlyga

Jei turite tris vektorius ir nė vieno iš jų negalima parašyti kaip linijinį kitų dviejų derinį, tada trys vektoriai nėra koplanariniai. T. y., Trys vektoriai u , v ir w nėra koplaniniai, jei sąlyga:

α u + β v + γ w = 0

Tai patenkinama tik tada, kai α = 0, β = 0 ir γ = 0.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Yra trys vektoriai

u = (-3, -6, 2); v = (4, 1, 0) ir w = (-1, 2, z)

Atminkite, kad vektoriaus z komponentas w nežinomas.

Raskite reikšmių diapazoną, kurį z gali užimti taip, kad garantuojama, kad trys vektoriai nesiskirs toje pačioje plokštumoje.

Sprendimas

w • ( u X v ) = -3 (z - 0) + 6 (4 z - 0) + 2 (8 + 1) = -3z + 24z + 18 = 21z + 18

Mes nustatome šią išraišką lygią nuliui

21 z + 18 = 0

ir mes sprendžiame už z

z = -18 / 21 = -6/7

Jei kintamojo z reikšmė būtų -6/7, tada trys vektoriai būtų daugialypiai.

Taigi, z vertės, garantuojančios, kad vektoriai nėra koplanarinės, yra tokios:

z ∈ (-∞, -6 / 7) U (-6/7, ∞)

- 2 pratimas

Raskite lygiagretainio tūrį, parodytą šiame paveiksle:

Sprendimas

Norėdami sužinoti paveiksle pavaizduoto lygiagrydžio vamzdžio tūrį, bus nustatyti trijų kartu esančių ne koplanarinių vektorių Dekarto komponentai koordinačių sistemos ištakose. Pirmasis yra 4 m vektorius u , lygiagretus X ašiai:

u = (4, 0, 0) m

Antrasis yra vektorius v 3 m dydžio XY plokštumoje, kuris sudaro 60 ° su X ašimi:

v = (3 * cos 60º, 3 * sin 60º, 0) = (1,5, 2,6, 0,0) m

Ir trečiasis yra 5m vektorius w , kurio projekcija XY plokštumoje su X ašimi sudaro 60 °, be to, w sudaro 30 ° su Z ašimi.

w = (5 * sin 30º * cos 60º, 5 * sin 30º * sin 60º, 5 * sin 30º)

Atlikę skaičiavimus, turime: w = (1,25, 2,17, 2,5) m.

Nuorodos

1. Figueroa, D. Serija: Fizika mokslams ir inžinerijai. 1 tomas. Kinematika. 31–68.
2. Fizinis. 8 modulis: Vektoriai. Atgauta iš: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Mechanika inžinieriams. Statinis 6-asis leidimas. Kontinentinės leidybos įmonė. 28–66.
4. McLean, W. Schaum serija. Mechanikai inžinieriams: statika ir dinamika. 3 leidimas. McGraw Hill. 1-15.
5. Vikipedija. Vektorius. Atkurta iš: es.wikipedia.org