- Kilmė ir istorija
- Aristotelis
- Ką tiria matematinė logika?
- Pasiūlymai
- Tiesos lentelės
- Matematinės logikos tipai
- Sritys
- Nuorodos
Matematinė logika ar simbolinis logika yra matematinė kalba, kuri apima įrankiai, per kurią galima patvirtinti ar paneigti matematinį pagrindimą.
Gerai žinoma, kad matematikoje nėra dviprasmybių. Atsižvelgiant į matematinį argumentą, jis arba galioja, arba tiesiog nėra. Tuo pat metu ji negali būti klaidinga ir teisinga.
Ypatingas matematikos aspektas yra tas, kad ji turi oficialią ir griežtą kalbą, pagal kurią galima nustatyti argumento pagrįstumą. Dėl ko tam tikri samprotavimai ar bet kokie matematiniai įrodymai nepaneigiami? Štai kas yra matematinė logika.
Taigi logika yra matematikos disciplina, atsakinga už matematikos pagrindimo ir įrodymų studijas bei priemonių pateikimą, kad būtų galima padaryti teisingas išvadas iš ankstesnių teiginių ar teiginių.
Tam naudojamos aksiomos ir kiti matematiniai aspektai, kurie bus plėtojami vėliau.
Kilmė ir istorija
Tikslios datos, susijusios su daugeliu matematinės logikos aspektų, yra neaiškios. Tačiau dauguma šia tema esančių bibliografijų atsekė senovės Graikiją.
Aristotelis
Griežto logikos traktavimo pradžia iš dalies priskiriama Aristoteliui, kuris iki viduramžių parašė logikos kūrinių rinkinį, kurį vėliau sudarė ir plėtojo skirtingi filosofai ir mokslininkai. Tai galima laikyti „sena logika“.
Vėliau, vadinamame šiuolaikiniu amžiumi, Leibnizą paskatino gilus noras sukurti universalią kalbą, kad būtų galima pagrįsti matematiškai, o kiti matematikai, tokie kaip Gottlobas Frege ir Giuseppe Peano, padarė didelę įtaką matematinės logikos raidai. , tarp jų, Peano aksiomos, kurios suformuluoja būtinas natūraliųjų skaičių savybes.
Matematikai George'as Boole'as ir Georgas Cantor'as tuo metu taip pat turėjo didelę įtaką. Jie svariai prisidėjo nustatytose teorijos ir tiesos lentelėse, išryškindami, be kitų aspektų, Boolean Algebra (George'o Boole'o) ir Aksiomos pasirinkimą. (autorius George'as Cantor).
Taip pat yra Augustas De Morganas su gerai žinomais Morgano įstatymais, kuriuose numatomos neigiamos, jungiamosios, disjunkcijos ir sąlyginės nuostatos tarp teiginių, simbolinės logikos kūrimo raktų ir Jhon Vennas su garsiosiomis Venno schemomis.
XX amžiuje, maždaug nuo 1910 iki 1913 m., Bertrandas Russellas ir Alfredas North Whiteheadas išsiskiria išleidę „Principia mateica“ - knygų rinkinį, kuriame kaupiama, plėtojama ir skelbiama aksiomų ir logikos rezultatų serija.
Ką tiria matematinė logika?
Pasiūlymai
Matematinė logika prasideda teiginių tyrimu. Pasiūlymas yra teiginys, kurį galima pasakyti be jokių dviprasmybių, jei jis teisingas ar ne. Toliau pateikiami teiginių pavyzdžiai:
- 2 + 4 = 6.
- 5 2 = 35.
- 1930 m. Europoje įvyko žemės drebėjimas.
Pirmasis yra teisingas teiginys, o antrasis yra klaidingas teiginys. Trečiasis teiginys, kurį gali išbandyti ir nustatyti, ar jis iš tikrųjų įvyko, net jei jį skaitantis asmuo negali žinoti, ar tai tiesa, ar iškart.
Toliau pateikiami posakių, kurie nėra teiginiai, pavyzdžiai:
- Ji yra blondinė.
- 2x = 6.
- Žaiskime!
- Ar tu mėgsti filmus
Pirmajame teiginyje nenurodyta, kas yra „ji“, todėl nieko negalima patvirtinti. Antrame teiginyje nenurodyta, ką reiškia „x“. Jei vietoj to būtų pasakyta, kad 2x = 6 tam tikram natūraliajam skaičiui x, tokiu atveju jis atitiktų teiginį, tiesą sakant, nes x = 3 jis yra įvykdytas.
Paskutiniai du teiginiai neatitinka teiginio, nes nėra galimybės jų paneigti ar patvirtinti.
Du ar daugiau pasiūlymų galima sujungti (arba sujungti) naudojant gerai žinomus loginius jungtukus (arba jungtis). Šitie yra:
- Neigimas: „Lietus nėra“.
- Atsiribojimas: „Luisa nusipirko baltą ar pilką krepšį“.
- Sujungimas: „4 2 = 16 ir 2 × 5 = 10“.
- Sąlygiškai: „Jei lyja, tada šią popietę aš neinu į sporto salę“.
- Bicondition: „Aš einu į sporto salę šią popietę, ir tik tada, kai nėra lietaus“.
Teiginys, neturintis nė vieno ankstesnio jungiamojo elemento, vadinamas paprastu (arba atominiu) teiginiu. Pavyzdžiui, „2 yra mažesnis nei 4“ yra paprastas teiginys. Teiginiai, turintys jungiamąjį ryšį, vadinami sudėtiniais teiginiais, tokiais kaip „1 + 3 = 4 ir 4 yra lyginis skaičius“.
Teiginiai, teikiami teikiant teiginius, paprastai yra ilgi, todėl yra nuobodi visada juos rašyti taip, kaip matyta iki šiol. Dėl šios priežasties naudojama simbolinė kalba. Pasiūlymai paprastai žymimi didžiosiomis raidėmis, tokiomis kaip P, Q, R, S ir kt. Ir šie simboliniai jungiamieji elementai:
Taigi, kad
Converse priimti sąlyginį teiginį
yra teiginys
Ir teiginio priešingumas (arba priešingumas )
yra teiginys
Tiesos lentelės
Kita svarbi logikos sąvoka yra tiesos lentelės. Tiesos teiginio vertybės yra dvi teiginio galimybės: tikra (kuri bus pažymėta V ir bus sakoma, kad jos tiesinė vertė yra V) arba klaidinga (kurią žymės F ir sakys, kad jos vertė tikrai yra F).
Sudėtinio teiginio tikroji vertė priklauso tik nuo jame esančių paprastų teiginių tiesinių verčių.
Apskritai, mes nenagrinėsime konkrečių teiginių, bet teiginių kintamųjų p, q, r, s ir kt., Kurie atspindės bet kokius teiginius.
Su šiais kintamaisiais ir loginiais jungiamaisiais elementais sudaromos žinomos teiginių formulės, kaip ir sudaromi junginiai.
Jei kiekvienas iš teiginių formulėje esančių kintamųjų pakeičiamas teiginiu, gaunama jungtinė nuostata.
Žemiau pateikiamos loginių jungčių tiesos lentelės:
Yra siūlomų formulių, kurios savo tiesos lentelėje gauna tik vertę V, tai yra, paskutinis jų tiesos lentelės stulpelis turi tik vertę V. Šios formulės yra žinomos kaip tautologijos. Pavyzdžiui:
Toliau pateikiama formulės tiesos lentelė
Sakoma, kad α formulė logiškai reiškia kitą β formulę, jei α yra teisinga kiekvieną kartą, kai β yra tiesa. T. y., Α ir β tiesos lentelėje eilutės, kuriose α turi V, β taip pat turi V. Mums įdomios tik eilutės, kuriose α reikšmė yra V. Loginio implikavimo žymėjimas yra toks: :
Ši lentelė apibendrina loginio implikavimo savybes:
Sakoma, kad dvi teiginių formulės yra logiškai lygiavertės, jei jų tiesos lentelės yra tapačios. Loginis ekvivalentiškumui išreikšti naudojamas šis žymėjimas:
Šiose lentelėse apibendrintos loginio ekvivalento savybės:
Matematinės logikos tipai
Egzistuoja skirtingi logikos tipai, ypač jei atsižvelgiama į pragmatinę ar neoficialią logiką, nurodančią filosofiją, be kitų sričių.
Kalbant apie matematiką, logikos tipus būtų galima apibendrinti taip:
- Formalioji arba aristotelinė logika (senovės logika).
- Propozicinė logika: ji yra atsakinga už visko, kas susiję su argumentų ir teiginių pagrįstumu, tyrinėjimą, naudojant oficialią ir simbolinę kalbą.
- Simbolinė logika: orientuota į rinkinių ir jų savybių tyrimą, taip pat formali ir simbolinė kalba, ir yra glaudžiai susijusi su teiginių logika.
- Kombinatorinė logika: viena iš neseniai sukurtų, apima rezultatus, kuriuos galima sukurti naudojant algoritmus.
- Loginis programavimas: naudojamas įvairiuose paketuose ir programavimo kalbose.
Sritys
Tarp sričių, kurios būtinai naudoja matematinę logiką, kurdamos savo samprotavimus ir argumentus, išsiskiria filosofija, rinkinio teorija, skaičių teorija, algebrine konstruktyvia matematika ir programavimo kalbomis.
Nuorodos
- Aylwin, CU (2011). Logika, rinkiniai ir skaičiai. Mérida - Venesuela: Leidinių taryba, Universidad de Los Andes.
- Barrantesas, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Įvadas į skaičių teoriją. EUNED.
- Castañeda, S. (2016). Pagrindinis skaičių teorijos kursas. Šiaurės universitetas.
- Cofré, A., ir Tapia, L. (1995). Kaip sukurti matematinį loginį pagrindimą. Universiteto leidykla.
- Saragosa, AC (sf). Skaičių teorija Redakcijos vizija „Libros“.