FERMOS RIBA: KĄ JI SUDARO IR KOKIE PRATIMAI IŠSPRĘSTI - MATEMATIKA - 2025

„ Fermat“ riba yra skaitmeninis metodas, naudojamas gauti linijos nuolydžio vertę, kuri liečia funkciją tam tikrame jos srities taške. Jis taip pat naudojamas norint gauti kritinius funkcijos taškus. Jos išraiška apibūdinama taip:

Akivaizdu, kad Fermatas nežinojo išvedimo pagrindų, tačiau būtent jo tyrimai paskatino matematikų grupę pasidomėti apie liestinės linijas ir jų pritaikymą skaičiuojant.

Kokia yra „Fermat“ riba?

Jį sudaro požiūris į 2 taškus, kurie ankstesnėmis sąlygomis sudaro sekantinę funkcijos liniją su sankirtos vertybių poromis.

Artėjant prie kintamojo prie vertės „a“, taškų pora yra priversta susitikti. Tokiu būdu anksčiau buvusi linija tampa liestinė taškui (a; f (a)).

Kai koeficientas (x - a) įvertinamas taške „a“, K tipo ribos yra neapibrėžtos tarp nulio (K / 0). Dėl skirtingų faktoringo būdų šiuos neapibrėžtumus galima sugriauti.

Dažniausiai naudojami darbo metodai:

-Kvadratų (a ² - b ² ) skirtumas = (a + b) (a - b); Elemento (a - b) egzistavimas daugeliu atvejų suponuoja veiksnį, kuris supaprastina išraišką (x - a) iš Fermato ribos.

- kvadratų užpildymas (kirvis ² + bx); Užbaigus kvadratus, gaunamas Niutono binomasis, kuriame vienas iš 2 jo faktorių supaprastinamas išraiška (x - a), sulaužant neapibrėžtumą.

- konjugatas (a + b) / (a ​​+ b); Išraišką padauginus ir padalinus iš kai kurių veiksnių konjugato, gali būti labai naudinga panaikinti neapibrėžtumą.

- bendras veiksnys; Daugeliu atvejų Fermato ribos f (x) - f (a) skaitiklio naudojimo rezultatas paslepia koeficientą (x - a), reikalingą koeficientui. Tam atidžiai stebima, kurie elementai kartojasi kiekviename išraiškos faktoriuje.

Fermat ribos taikymas maksimumams ir minimumams

Nors „Fermat“ riba neišskiria maksimumo ir minimumo, nes pagal ją galima identifikuoti tik kritinius taškus, ji dažniausiai naudojama apskaičiuojant plokštumos funkcijų viršutines ribas ar grindis.

Pagrindinių funkcijų grafinės teorijos žinių kartu su šia teorema gali pakakti norint nustatyti maksimalią ir mažiausią funkcijų reikšmes. Tiesą sakant, posūkio taškai gali būti apibrėžti ne tik Fermato teorema, bet ir prie vidutinės vertės teoremos.

Kubinis parabolė

Reikšmingiausias Fermato paradoksas atsirado tiriant kubinę parabolę. Kadangi jo dėmesys buvo nukreiptas į funkcijos liečiamąsias linijas tam tikrame taške, jis susidūrė su minėtosios liestinės linijos apibrėžimo funkcijos vingio taške problema.

Atrodė neįmanoma nustatyti liestinės linijos iki taško. Taigi pradedamas tyrimas, dėl kurio atsirastų diferencinis skaičiavimas. Apibrėžta vėliau svarbių matematikos pavyzdžių.

Maksimas ir minusas

Funkcijos maksimumų ir minimumų tyrimas buvo iššūkis klasikinei matematikai, kai joms apibrėžti reikėjo vienareikšmio ir praktiško metodo.

„Fermat“ sukūrė metodą, pagrįstą mažų diferencinių verčių veikimu, kurios, pašalinus faktoringo procesus, pašalinamos, paliekant maksimalią ir mažiausią siekiamą vertę.

Šis kintamasis turės būti įvertintas originalia išraiška, kad būtų nustatyta minėto taško koordinatė, kuri kartu su analitiniais kriterijais bus apibrėžta kaip didžiausia ar mažiausia išraiškos reikšmė.

Metodas

Savo metode Fermat naudoja pažodinę Vietos simboliką, kurią sudarė išimtinai didžiosios raidės: balsiai, nežinomiems, ir priebalsiai, žinomi.

Radikalių vertybių atveju „Fermat“ įgyvendino tam tikrą procesą, kuris vėliau bus naudojamas nustatant begalybės neapibrėžtumo ribas tarp begalybės.

Šis procesas susideda iš kiekvienos išraiškos padalijimo iš naudojamo diferencialo vertės. Fermato atveju jis vartojo raidę E, kur padalijus iš didžiausios E galios, norima kritinio taško vertė tampa skaidoma.

Istorija

„Fermat“ riba iš tikrųjų yra viena iš mažiausiai žinomų įmokų iš ilgojo matematiko sąrašo. Jo studijos vyko nuo pirminių skaičių iki pagrindinio skaičiavimo pagrindo sukūrimo.

Savo ruožtu Fermat buvo žinomas dėl savo ekscentriškumo, atsižvelgiant į jo hipotezes. Jam buvo įprasta palikti savotišką iššūkį kitiems to meto matematikams, kai jis jau turėjo sprendimą ar įrodymą.

Jis turėjo daugybę ginčų ir aljansų su įvairiais to meto matematikais, kurie mylėjo ar nekentė su juo dirbti.

Paskutinė jo teorema buvo pagrindinė atsakomybė už jo pasaulinę šlovę, kur jis teigė, kad neįmanoma apibendrinti Pitagoro teoremos bet kokiam „n“ laipsniui. Jis teigė turįs pagrįstą jo įrodymą, tačiau mirė prieš paskelbdamas jį viešai.

Šios demonstracijos reikėjo laukti maždaug 350 metų. 1995 m. Matematikai Andrew Wilesas ir Richardas Tayloras nutraukė Fermato nerimą įrodydami, kad jis teisus, pateikdamas pagrįstą paskutinės teoremos įrodymą.

Pratimai

1 pratimas

Apibrėžkite liestinės linijos ir kreivės nuolydį f (x) = x ² taške (4, 16)

Pakaitomis išreikšdami Fermato ribą, turime:

Veiksniai (x - 4) yra supaprastinti

Vertindami turite

M = 4 + 4 = 8

2 pratimas

Naudodamiesi Fermat riba, apibrėžkite kritinę išraiškos f (x) = x ² + 4x tašką

Atliekamas strateginis elementų grupavimas, siekiant sugrupuoti poras XX ₀

Mažiausiai išvystyti kvadratai

Stebėkite bendrą koeficientą XX _{0 ir ištraukite}

Išraišką dabar galima supaprastinti ir neapibrėžtumą sugriauti

Mažiausiais taškais žinoma, kad liestinės linijos nuolydis yra lygus nuliui. Tokiu būdu rastą išraišką galime išlyginti iki nulio ir išspręsti reikšmę X ₀

2 X ₀ + 4 = 0

X ₀ = -4/2 = -2

Norint gauti trūkstamą koordinatę, reikia įvertinti tik pradinės funkcijos tašką

F (-2) = (-2) ² + 4 (-2) = 4 - 8 = - 4

Kritinis taškas yra P (-2, -4).

Nuorodos

1. Tikroji analizė. Istorinis požiūris Sauhl Stahl, John Wiley & Sons, rugpjūčio 5 d. 1999 metai.
2. Pierre de Fermat matematinė karjera, 1601–1665: antrasis leidimas. Michaelas Seanas Mahoney. Princeton University Press, birželio 5 d. 2018 metai
3. Nuo Fermat iki Minkowski: paskaitos apie skaičių teoriją ir jos istorinę raidą. W. Scharlau, H. Opolka, „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, 1985 m
4. Paskutinė Fermato teorema: genetinis įvadas į algebrinių skaičių teoriją. Haroldas M. Edvardas. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, sausio 14 d 2000 m
5. „Fermat“ dienos 85: optimizavimo matematika. J.-B. Hiriart-Urruty Elsevier, sausio 1 d. 1986 m