EKSPONENTŲ ĮSTATYMAI (SU PAVYZDŽIAIS IR IŠSPRĘSTOMIS UŽDUOTIMIS) - MATEMATIKA - 2025

Į eksponentų įstatymai yra tie, kurie taikomi tai skaičius, kuris rodo, kiek kartų per bazių skaičius turi būti padaugintas iš savaime. Eksponentai taip pat žinomi kaip galios. Įgalinimas yra matematinė operacija, kurią sudaro pagrindas (a), eksponentas (m) ir galia (b), kurie yra operacijos rezultatas.

Eksponentai paprastai naudojami, kai naudojami labai dideli kiekiai, nes tai yra ne kas kita, kaip sutrumpinimai, reiškiantys to paties skaičiaus padauginimą iš tam tikro skaičiaus kartų. Eksponentai gali būti ir teigiami, ir neigiami.

Eksponentų dėsnių paaiškinimas

Kaip minėta anksčiau, eksponentai yra sutrumpinta forma, kuri reiškia skaičių dauginimą iš savęs kelis kartus, kai eksponentas susijęs tik su skaičiumi kairėje. Pavyzdžiui:

2 ³ = 2 * 2 * 2 = 8

Tokiu atveju skaičius 2 yra galios bazė, kuri bus padauginta 3 kartus, kaip nurodo eksponentas, esantis viršutiniame dešiniajame bazės kampe. Išraišką galima perskaityti skirtingai: 2 pakeltos į 3 arba 2 pakeltos į kubą.

Eksponentai taip pat nurodo, kiek kartų jie gali būti padalyti, ir norint atskirti šią operaciją nuo daugybos, eksponentas priešais turi minuso ženklą (-) (jis yra neigiamas), o tai reiškia, kad eksponentas yra a vardiklyje. frakcija. Pavyzdžiui:

2 ^{- 4} = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Tai neturėtų būti painiojama su tuo atveju, kai bazė yra neigiama, nes norint nustatyti, ar galia bus teigiama, ar neigiama, priklausys nuo to, ar eksponentas yra lygus, ar nelyginis. Taigi jūs turite:

- Jei eksponentas yra lygus, galia bus teigiama. Pavyzdžiui:

(-7) ² = -7 _* -7 = 49.

- Jei eksponentas yra nelyginis, galia bus neigiama. Pavyzdžiui:

( - 2) ⁵ = (-2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) * (- 2) = - 32.

Yra ypatingas atvejis, kai, jei eksponentas lygus 0, galia yra lygi 1. Taip pat yra galimybė, kad bazė yra 0; tokiu atveju, atsižvelgiant į eksponentą, galia bus neapibrėžta arba ne.

Norint atlikti matematines operacijas su eksponentais, būtina laikytis kelių taisyklių ar normų, kurios palengvina tų operacijų sprendimo paiešką.

Pirmasis dėsnis: eksponento galia lygi 1

Kai eksponentas yra 1, rezultatas bus ta pati bazės vertė: a ¹ = a.

Pavyzdžiai

9 ¹ = 9.

22 ¹ = 22.

895 ¹ = 895.

Antrasis dėsnis: eksponento galia lygi 0

Kai eksponentas lygus 0, jei bazė nėra nulinė, rezultatas bus toks: a ⁰ = 1.

Pavyzdžiai

1 ⁰ = 1.

323 ⁰ = 1.

1095 ⁰ = 1.

Trečiasis dėsnis: neigiamas eksponentas

Kadangi eksponatas yra neigiamas, rezultatas bus trupmena, kur galia bus vardiklis. Pvz., Jei m yra teigiamas, tada a ^-m = 1 / a ^m .

Pavyzdžiai

- 3 ^-1 = 1/3.

- 6 ^-2 = 1/6 ² = 1/36.

- 8 ^-3 = 1/8 ³ = 1/512.

Ketvirtasis dėsnis: galių padauginimas iš vienodos bazės

Padauginti galias ten, kur bazės lygios ir skiriasi nuo 0, lieka bazė ir pridedami eksponentai: a ^m _* a ⁿ = a ^{m + n} .

Pavyzdžiai

- 4 ⁴ _* 4 ³ = 4 ^{4 + 3} = 4 ⁷

- 8 ¹ _* 8 ⁴ = 8 ^{1 + 4} = 8 ⁵

- 2 ² _* 2 ⁹ = 2 ^{2 + 9} = 2 ¹¹

Penktasis įstatymas: valdžių padalijimas vienoda baze

Padalijant galias, kuriose bazės yra lygios ir skiriasi nuo 0, bazė laikoma ir eksponentai atimami taip: a ^m / a ⁿ = a ^m-n .

Pavyzdžiai

- 9 ² /9 ¹ = 9 ^(2-1) = 9 ¹ .

- 6 ¹⁵ /6 ^spalis = 6 ^(15-10) = 6 ⁵ .

- 49 ^gruodis / 49 ⁶ = 49 ^(12-6) = 49 ⁶ .

Šeštasis dėsnis: galių padauginimas iš skirtingų pagrindų

Šis įstatymas turi priešingą tai, kas išreiškiama ketvirtajame; y., jei turite skirtingas bazes, bet su tais pačiais eksponentais, bazės dauginamos ir išlaikomas eksponentas: a ^m _* b ^m = (a _* b) ^m .

Pavyzdžiai

- 10 ² _* 20 ² = (10 _* 20) ² = 200 ² .

- 45 ¹¹ _* 9 ¹¹ = (45 * 9) ^{11 =} 405 ¹¹ .

Kitas būdas atstovauti šiam įstatymui yra tada, kai daugyba pakeliama į valdžią. Taigi eksponentas priklausys kiekvienam iš šių terminų: (a _* b) ^m = a ^m _* b ^m .

Pavyzdžiai

- (5 _* 8) ⁴ = 5 ⁴ _* 8 ⁴ = 40 ⁴ .

- (23 * 7) ⁶ = 23 ⁶ _* 7 ⁶ = 161 ⁶ .

Septintas įstatymas: valdžių padalijimas su skirtinga baze

Jei turite skirtingas bazes, bet su tais pačiais eksponentais, padalinkite pagrindus ir laikykite eksponentą: a ^m / b ^m = (a / b) ^m .

Pavyzdžiai

- 30 ³ /2 ³ = (30/02) ³ = 15 ³ .

- 440 ⁴ /80 ⁴ = (440/80) ⁴ = 5,5 ⁴ .

Panašiai, kai padalijimas padidinamas iki galios, eksponentas priklausys kiekvienai iš šių sąvokų: (a / b) ^m = a ^m / b ^m .

Pavyzdžiai

- (8/4) ⁸ = 8 ⁸ /4 ⁸ = 2 ⁸ .

- (25/5) ² = 25 ² /5 ² = 5 ² .

Yra atvejis, kai eksponentas yra neigiamas. Tada, norint gauti teigiamą reikšmę, skaitiklio vertė keičiama į vardiklio vertę:

- (a / b) ^-n = (b / a) ⁿ = b ⁿ / a ⁿ .

- (4/5) ^-9 = (4/5) ⁹ = 5 ⁹ /4 ⁴ .

Aštuntasis įstatymas: galios galia

Kai turite galią, padidintą kitai galiai, ty dviem eksponentams tuo pačiu metu, palaikoma bazė ir eksponentai dauginami: (a ^m ) ⁿ = a ^{m * n} .

Pavyzdžiai

- (8 ³ ) ² = 8 ^{(3 * 2)} = 8 ⁶ .

- (13 ⁹ ) ³ = 13 ^{(9 * 3)} = 13 ²⁷ .

- (238 ¹⁰ ) ¹² = 238 ^{(10 * 12)} = 238 ¹²⁰ .

Devintasis įstatymas: trupmeninis eksponentas

Jei galia turi trupmeną kaip eksponentą, tai išsprendžiama ją paverčiant n-taja šakne, kur skaitiklis išlieka kaip eksponentas, o vardiklis žymi šaknies indeksą:

Pavyzdys

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Apskaičiuokite operacijas tarp galių, kurių pagrindas yra skirtingas:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² .

Sprendimas

Taikant eksponentų taisykles, skaitiklyje dauginamos bazės ir išlaikomas eksponentas:

2 ⁴ _* 4 ⁴ /8 ² = (2 _* 4) ⁴ /8 ² = 8 ⁴ /8 ²

Kadangi mes turime tas pačias bazes, bet su skirtingais eksponentais, pagrindas yra laikomas ir eksponentai atimami:

8 ⁴ /8 ² = 8 ^(4-2) = 8 ²

2 pratimas

Apskaičiuokite operacijas tarp galių, iškeltų kitai galiai:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

Sprendimas

Taikydami įstatymus, turite:

(3 ² ) ³ _* (2 _* 6 ⁵ ) ^-2 _* (2 ² ) ³

= 3 ⁶ _* 2 ^-2 _* 2 ^-10 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-2) + (- 10)} _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^-12 _* 2 ⁶

= 3 ⁶ _* 2 ^{(-12) + (6)}

= 3 ⁶ _* 2 ⁶

= (3 _* 2) ⁶

= 6 ⁶

= 46,656

Nuorodos

1. Aponte, G. (1998). Pagrindinės matematikos pagrindai. „Pearson Education“.
2. Corbalán, F. (1997). Matematika taikoma kasdieniniame gyvenime.
3. Jiménez, JR (2009). Matematika 1 Rugsėjis.
4. Maxas Petersas, WL (1972). Algebra ir trigonometrija.
5. Rees, PK (1986). Grąžinti.