MORGANO ĮSTATYMAI - MATEMATIKA - 2025

L akys Morgan yra išvada taisyklės naudojami propozicinės logika, kuri nustato, ką neigia dėl disjunkciją ir teiginių ar Teiginių kintamųjų konjunkcija rezultatas. Šiuos įstatymus apibrėžė matematikas Augustas De Morganas.

Morgano dėsniai yra labai naudinga priemonė pademonstruoti matematinių samprotavimų pagrįstumą. Vėliau juos apibendrino matematikas George'as Boole'as.

Šis Boole apibendrinimas yra visiškai lygus pradiniams Morgano dėsniams, tačiau jis yra sukurtas specialiai rinkiniams, o ne teiginiams. Šis apibendrinimas taip pat žinomas kaip Morgano įstatymai.

Pasiūlymo logikos apžvalga

Prieš apžvelgiant, kokie konkrečiai yra Morgano įstatymai ir kaip jie naudojami, pravartu atsiminti keletą pagrindinių teiginio logikos sampratų. (Norėdami gauti daugiau informacijos, skaitykite straipsnį apie pasiūlymo logiką).

Matematinės (arba teigiamos) logikos srityje išvados yra išvados, pateikiamos iš patalpų ar hipotezių rinkinio. Ši išvada kartu su minėtomis prielaidomis leidžia vadinti matematiniais samprotavimais.

Tokius samprotavimus reikia įrodyti arba paneigti; y., ne visos matematinio samprotavimo išvados ar išvados yra teisingos.

Melagingumas

Neteisingos išvados, padarytos iš tam tikrų hipotezių, kurios, kaip manoma, yra teisingos, yra žinomos kaip klaidinimas. Klaidų ypatumai yra argumentai, kurie atrodo teisingi, tačiau matematiškai jie nėra.

Propozicinė logika tiksliai atsakinga už metodų, kuriais remiantis be jokių abejonių galima patvirtinti arba paneigti matematinį pagrindimą, sukūrimą ir pateikimą. tai yra padaryti pagrįstą išvadą iš patalpų. Šie metodai yra žinomi kaip išvadų taisyklės, kurių dalis yra Morgano įstatymai.

Pasiūlymai

Esminiai teiginių logikos elementai yra teiginiai. Pasiūlymai yra teiginiai, kurie, galima sakyti, galiojantys ar negaliojantys, tačiau tuo pat metu negali būti teisingi ar klaidingi. Šiuo klausimu neturėtų būti dviprasmiškumo.

Kaip skaičiai gali būti sujungiami sudėjus, atimant, dauginant ir dalijant, teiginiai gali būti valdomi gerai žinomų loginių jungčių (arba jungčių) pagalba: neigimas (¬, „ne“), disjunkcija (V , „Arba“), jungtuką (Ʌ, „ir“), sąlyginį (→, „jei…, tada…“) ir dvikamienę (↔, „jei ir tik tada“).

Apskritai, užuot svarstę konkrečius teiginius, svarstomi teiginiai, atspindintys bet kokius teiginius, ir paprastai jie žymimi mažosiomis raidėmis p, q, r, s ir kt.

Pasiūlymo formulė yra pasiūlymo kintamųjų derinys, naudojant kai kuriuos loginius jungtukus. Kitaip tariant, tai yra teiginių kintamųjų kompozicija. Paprastai jie žymimi graikiškomis raidėmis.

Sakoma, kad teiginio formulė logiškai suponuoja kitą, kai pastaroji yra tiesa kiekvieną kartą, kai buvusi teisinga. Tai žymima:

Kai loginė implikacija tarp dviejų teiginių formulių yra abipusė - tai yra, kai ankstesnė implikacija galioja ir priešinga prasme - formulės yra sakomos logiškai lygiavertės, ir tai žymima

Loginis ekvivalentiškumas yra tam tikra lygiateisiškumas tarp teiginių formulių ir leidžia prireikus jas pakeisti viena kita.

Morgano įstatymai

Morgano dėsnius sudaro du loginiai dviejų teiginių formų atitikmenys, būtent:

Šie įstatymai leidžia atskirti disjunkcijos ar konjunkcijos neigimą kaip dalyvaujančių kintamųjų neigimą.

Pirmąjį galima perskaityti taip: disjunkcijos neigimas yra lygus neigimų jungimui. O antrasis skamba taip: junginio neigimas yra negatyvų atsiribojimas.

Kitaip tariant, paneigti dviejų teiginių kintamųjų atsiribojimą prilygsta abiejų kintamųjų neigiamumui. Taip pat paneigti dviejų teiginių kintamųjų jungtį yra lygiavertė abiejų kintamųjų neigiamumui.

Kaip minėta anksčiau, šios loginės atitikties pakeitimas padeda įrodyti svarbius rezultatus kartu su kitomis esamomis išvadų taisyklėmis. Su jomis galite supaprastinti daugybę siūlomų formulių, kad su jomis būtų naudingiau dirbti.

Toliau pateiktas matematinio įrodymo, kuriame naudojamos išvados taisyklės, įskaitant Morgano įstatymus, pavyzdys. Konkrečiai parodyta, kad formulė:

Tai prilygsta:

Pastarąją lengviau suprasti ir plėtoti.

Demonstracija

Verta paminėti, kad Morgano įstatymų galiojimas gali būti įrodytas matematiškai. Vienas iš būdų yra palyginti savo tiesos lenteles.

Rinkiniai

Tos pačios išvadų taisyklės ir logikos sampratos, taikomos teiginiams, taip pat gali būti parengtos atsižvelgiant į rinkinius. Tai yra tai, kas po matematiko George'o Boole'o yra žinoma kaip Boole algebra.

Norint atskirti atvejus, reikia pakeisti žymėjimą ir perkelti į aibes, visas jau matytas teiginio logikos sąvokas.

Rinkinys yra daiktų kolekcija. Rinkiniai žymimi didžiosiomis raidėmis A, B, C, X, …, o rinkinio elementai žymimi mažosiomis raidėmis a, b, c, x ir kt. Kai elementas a priklauso aibei X, jis žymimas:

Kai jis nepriklauso X, pažymima:

Komplektų vaizdavimo būdas yra jų elementų įdėjimas į petnešas. Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių aibę vaizduoja:

Rinkinius taip pat galima pavaizduoti neparašius aiškių jų elementų sąrašo. Jie gali būti išreikšti {:} forma. Dvitaškis skaitomas „toks, kad“. Į kairę nuo dviejų taškų dedamas kintamasis, vaizduojantis rinkinio elementus, o dešinėje - savybė ar sąlyga, kurią jie tenkina. Tai yra:

Pavyzdžiui, sveikųjų skaičių aibę, didesnę kaip -4, galima išreikšti taip:

Arba lygiaverčiai ir labiau sutrumpintai, kaip:

Panašiai šios išraiškos reiškia atitinkamai nelyginių ir lyginių skaičių aibes:

Jungčių, sankryžos ir komplektų komplektai

Toliau pamatysime loginių jungiamųjų analogų rinkinius, kurie yra pagrindinių operacijų tarp rinkinių dalis.

Sąjunga ir sankryža

Aibių sąjunga ir sankirtos apibrėžtos atitinkamai taip:

Pavyzdžiui, apsvarstykite rinkinius:

Taigi, jūs turite:

Papildymas

Rinkinio komplementą sudaro elementai, kurie nepriklauso minėtam rinkiniui (to paties tipo, kurį vaizduoja originalas). Rinkinio A komplementas žymimas:

Pavyzdžiui, natūraliųjų skaičių viduje lyginių skaičių aibė yra nelyginių skaičių aibė ir atvirkščiai.

Norint nustatyti aibės komplementą, universalus arba pagrindinis nagrinėjamų elementų rinkinys turi būti aiškus nuo pat pradžių. Pvz., Ne tas pats svarstyti aibės skaičių, palyginti su natūraliaisiais skaičiais, kaip su racionaliaisiais skaičiais.

Šioje lentelėje parodytas ryšys arba analogija, egzistuojanti tarp operacijų anksčiau apibrėžtuose rinkiniuose ir teiginio logikos jungiamųjų elementų:

Morgano rinkinių įstatymai

Pagaliau Morgano įstatymai dėl rinkinių yra šie:

Žodžiu: sąjungos komplementas yra komplementų sankirta, o sankirtos papildymas yra komplementų sąjunga.

Matematinis pirmosios lygybės įrodymas būtų toks:

Antrojo įrodymas yra analogiškas.

Nuorodos

1. Almaguer, G. (2002). Matematika 1. Redakcija Limusa.
2. Aylwin, CU (2011). Logika, rinkiniai ir skaičiai. Mérida - Venesuela: Leidinių taryba, Universidad de Los Andes.
3. Barrantesas, H., Díaz, P., Murillo, M., & Soto, A. (1998). Įvadas į skaičių teoriją. EUNED.
4. Castañeda, S. (2016). Pagrindinis skaičių teorijos kursas. Šiaurės universitetas.
5. Cofré, A., ir Tapia, L. (1995). Kaip sukurti matematinį loginį pagrindimą. Universiteto leidykla.
6. Guevara, MH (nd). Skaičių teorija. EUNED.
7. Saragosa, AC (sf). Skaičių teorija Redakcijos vizija „Libros“.