Mažiausių kvadratų metodas yra vienas iš svarbiausių funkcijų derinimo taikymo būdų. Idėja yra rasti tokią kreivę, kad, atsižvelgiant į užsakytų porų rinkinį, ši funkcija geriausiai atitiktų duomenis. Funkcija gali būti linija, kvadratinė kreivė, kubinė ir kt.
Metodo idėja susideda iš ordinatės (Y komponento) skirtumų tarp pasirinktos funkcijos sugeneruotų taškų ir taškų, priklausančių duomenų rinkiniui, kvadratų sumos minimizavimo.
Mažiausių kvadratų metodas
Prieš pateikdami metodą, pirmiausia turime išsiaiškinti, ką reiškia „geresnis požiūris“. Tarkime, kad mes ieškome tiesės y = b + mx, kuri geriausiai atspindi n taško aibę, būtent {(x1, y1), (x2, y2)…, (xn, yn)}.
Kaip parodyta ankstesniame paveiksle, jei kintamieji x ir y būtų susiję tiese y = b + mx, tada x = x1 atitinkama y reikšmė būtų b + mx1. Tačiau ši vertė skiriasi nuo tikrosios y vertės, kuri y = y1.
Atminkite, kad plokštumoje atstumas tarp dviejų taškų pateikiamas pagal šią formulę:
Turint tai omenyje, norint nustatyti, kaip pasirinkti tiesę y = b + mx, kuri geriausiai atitinka duotus duomenis, atrodo logiška kaip kriterijų naudoti linijos pasirinkimą, kuo mažesnę atstumų tarp taškų kvadratų sumą. ir tiesiai.
Kadangi atstumas tarp taškų (x1, y1) ir (x1, b + mx1) yra y1- (b + mx1), mūsų problema sumažėja iki skaičių m ir b radimo taip, kad ši suma būtų minimali:
Linija, atitinkanti šią sąlygą, yra vadinama „mažiausių kvadratų tiesės apytiksliu tašku (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn)“.
Išsiaiškinus problemą, belieka pasirinkti metodą, kaip surasti mažiausių kvadratų apytikslį. Jei taškai (x1, y1), (x2, y2),…, (xn, yn) yra tiesėje y = mx + b, turėtume, kad jie yra tiesiniai tiesės y:
Šia išraiška:
Galiausiai, jei taškai nėra tiesiniai, tada y-Au = 0 ir problemą galima paversti tokiu vektoriaus u radimu, kad Euklido norma būtų minimali.
Surasti minimizuojantį vektorių u nėra taip sunku, kaip jūs galite manyti. Kadangi A yra nx2 matrica, o u yra 2 × 1 matrica, mes turime tai, kad vektorius Au yra vektorius R n ir priklauso A atvaizdui, kuris yra R n poskyris, kurio matmuo ne didesnis kaip du.
Mes parodysime, kad n = 3 parodykite, kurią procedūrą reikia atlikti. Jei n = 3, A vaizdas bus plokštuma arba linija per ištaką.
Tegul v yra minimizuojantis vektorius. Paveiksle mes pastebime, kad y-Au sumažinamas, kai jis yra statmenas A atvaizdui. Tai yra, jei v yra minimizuojantis vektorius, tada atsitinka taip:
Tada mes galime išreikšti tai, kas išdėstyta toliau:
Tai gali įvykti tik tuo atveju:
Galiausiai, spręsdami dėl v, turime:
Tai galima padaryti, nes A t A yra neeilinis, jei n taškai, pateikti kaip duomenys, nėra tiesiniai.
Dabar, jei užuot ieškoję linijos, norėtume rasti parabolę (kurios išraiška būtų formos y = a + bx + cx 2 ), kuri būtų geriau suderinta su n duomenų tašku, procedūra būtų tokia, kokia aprašyta žemiau.
Jei n duomenų taškų būtų šioje parabolėje, mes turėtume:
Tada:
Panašiai galime rašyti y = Au. Jei visi taškai nėra parabolėje, mes turime tai, kad y-Au skiriasi nuo nulio bet kuriam vektoriui u, ir vėl kyla mūsų problema: R3 raskite vektorių u, kad jo norma - y-Au-- būtų kuo mažesnė .
Kartodami ankstesnę procedūrą galime įsitikinti, kad ieškomas vektorius yra:
Išspręsta mankšta
1 pratimas
Raskite liniją, kuri geriausiai tinka taškams (1,4), (-2,5), (3, -1) ir (4,1).
Sprendimas
Mes privalome:
Tada:
Todėl darome išvadą, kad taškus geriausiai atitinkanti linija yra pateikta:
2 pratimas
Tarkime, kad objektas yra numestas iš 200 m aukščio. Kai krenta, imamasi šių veiksmų:
Mes žinome, kad minėto objekto aukštį, praėjus tam tikram laikui t, nustato:
Jei norime gauti g vertę, galime rasti parabolę, kuri būtų geriau suderinta su penkiais lentelėje pateiktais taškais, taigi turėtume, kad koeficientas, lydintis t 2 , būtų pagrįstas apytikslis suderinimas su (-1/2) g, jei matavimai yra tikslūs.
Mes privalome:
Ir vėliau:
Taigi duomenų taškai yra tinkami šia kvadratine išraiška:
Taigi, jūs turite:
Tai vertė, kuri yra gana artima teisingai, kuri yra g = 9,81 m / s 2 . Norint gauti tikslesnį g apytikslį, reikėtų pradėti nuo tikslesnių stebėjimų.
Kam tai?
Natūraliuose ar socialiniuose moksluose kylančioms problemoms patogu kai kuriais matematiniais reiškiniais užrašyti ryšius, kurie egzistuoja tarp skirtingų kintamųjų.
Pavyzdžiui, ekonomikoje kainą (C), pajamas (I) ir pelną (U) galime susieti pagal paprastą formulę:
Fizikoje galime susieti gravitacijos sukeltą pagreitį, laiką, kada objektas nukrenta, ir objekto aukštį pagal įstatymą:
Ankstesnėje išraiškoje s o yra pradinis minėto objekto aukštis, o v o yra jo pradinis greitis.
Tačiau rasti tokias formules nėra lengva užduotis; paprastai pareigą atliekantis specialistas turi dirbti su daugybe duomenų ir pakartotinai atlikti keletą eksperimentų (siekdamas įsitikinti, kad gauti rezultatai yra pastovūs), kad surastų ryšius tarp skirtingų duomenų.
Įprastas būdas tai pasiekti yra plokštumoje gautus duomenis pavaizduoti kaip taškus ir ieškoti nenutrūkstamos funkcijos, kuri optimaliai atitiktų tuos taškus.
Vienas iš būdų rasti funkciją, kuri „geriausiai suderina“ pateiktus duomenis, yra mažiausių kvadratų metodas.
Be to, kaip mes taip pat matėme atliekant pratimą, šio metodo dėka galime gauti gana artimą fizinių konstantų apytikslį.
Nuorodos
- Charleso W Curtiso tiesinė algebra. „Springer-Velarg“
- Kai Lai Chung. Pradinių galimybių teorija naudojant stochastinius procesus. „Springer-Verlag New York Inc“
- Richardas L Burdenas ir J. Douglaso fairai. Skaitinė analizė (7ed). „Thompson“ mokymasis.
- Stanley I. Grossmanas. Tiesinės algebros pritaikymas. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO
- Stanley I. Grossmanas. Tiesinė algebra. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE MEXICO