EULERIO METODAS: KAM JIS SKIRTAS, PROCEDŪRA IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Eulerio metodas yra svarbiausias ir paprastų procedūrų, naudojamų rasti skaitines sprendimus apytiksles į įprastą Diferencialinė lygtis į pirmą užsakymą, su sąlyga, kad pradinis sąlyga yra žinomas.

Paprastoji diferencialinė lygtis (ODE) yra lygtis, susiejanti nežinomą vieno nepriklausomo kintamojo funkciją su jo dariniais.

Eilės metodo nuoseklūs suderinimai. Šaltinis: Olegas Aleksandrovas

Jei didžiausias išvestinis lygtyje esantis darinys yra pirmo laipsnio, tai yra eilinė pirmojo laipsnio diferencialinė lygtis.

Labiausiai paplitęs būdas parašyti pirmojo laipsnio lygtį yra:

x = x ₀

y = y ₀

Koks yra Eulerio metodas?

Eulerio metodo idėja yra rasti skaitmeninį diferencialinės lygties sprendimą intervale tarp X ₀ ir X _f .

Pirmiausia, intervalas yra išreikštas n + 1 taškais:

x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ …, x _n

Kurios gaunamos taip:
x _i = x ₀ + ih

H yra tarpinių intervalų plotis arba žingsnis:

Esant pradinei sąlygai, iš pradžių dar galima sužinoti darinį:

y '(x _o ) = f (x _o , y _o )

Šis darinys žymi liestinės liestinės nuolydį su funkcijos y (x) kreive tiksliai taške:

Ao = (x _o , y _o )

Tada apytiksliai apskaičiuojama funkcijos y (x) reikšmė šiame taške:

y (x ₁ ) ≈ y ₁

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Tada gautas kitas apytikslis sprendimo taškas, kuris atitiktų:

A ₁ = (x ₁ , y ₁ )

Procedūra pakartojama, kad būtų gauti taškai iš eilės

A ₂ , A ₃ …, x _n

Paveikslėlyje, parodytame pradžioje, mėlyna kreivė žymi tikslų diferencialinės lygties sprendimą, o raudona - iš eilės apytikslius taškus, gautus naudojant Eulero procedūrą.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

I ) Tegul diferencialinė lygtis yra:

Esant pradinei sąlygai x = a = 0; ir _a = 1

Naudodami Eulerio metodą, gaukite apytikslį y sprendimą koordinatėje X = b = 0,5, padaliję intervalą į n = 5 dalis.

Sprendimas

Skaitiniai rezultatai apibendrinami taip:

Iš to daroma išvada, kad sprendimas Y, kurio vertė 0,5, yra 1,4851.

Pastaba: Skaičiavimams atlikti buvo naudojama nemokama programa „Smath Studio“.

2 pratimas

II ) Tęsdami diferencialinę lygtį iš I pratimo, suraskite tikslų sprendimą ir palyginkite jį su rezultatu, gautu Eulero metodu. Raskite klaidą ar skirtumą tarp tikslaus ir apytikslio rezultato.

Sprendimas

Tikslų sprendimą nėra labai sunku rasti. Funkcijos sin (x) darinys yra žinomas kaip funkcijos cos (x). Todėl sprendimas y (x) bus:

y (x) = sin x + C

Kad pradinė sąlyga būtų įvykdyta ir (0) = 1, konstanta C turi būti lygi 1. Tada tikslus rezultatas lyginamas su apytiksliu:

Daroma išvada, kad apskaičiuotame intervale aproksimacija turi tris reikšmingus tikslumo skaičius.

3 pratimas

III ) Apsvarstykite diferencialinę lygtį ir jos pradines sąlygas, pateiktas žemiau:

y '(x) = - y ²

Esant pradinei sąlygai x ₀ = 0; ir ₀ = 1

Naudokite Eulerio metodą apytikslėms tirpalo y (x) vertėms surasti intervale x =. Atlikite žingsnį h = 0,1.

Sprendimas

Eulerio metodas labai tinkamas naudoti su skaičiuokle. Šiuo atveju naudosime geogebra skaičiuoklę, nemokamą ir atvirojo kodo programą.

Lentelėje paveiksle pavaizduoti trys stulpeliai (A, B, C). Pirmasis yra kintamasis x, antrasis stulpelis reiškia kintamąjį y, o trečiasis stulpelis yra išvestinė y '.

2 eilutėje yra pradinės X, Y, Y 'vertės.

0.1 vertės žingsnis buvo įdėtas į absoliučios padėties langelį ($ D $ 4).

Pradinė y0 reikšmė yra ląstelėje B2, o y1 - ląstelėje B3. Y ₁ apskaičiuoti naudojama formulė:

y _{1 =} y _o + (x ₁ - x _o ) f (x _o , y _o ) = y _{o +} hf (x _o , y _o )

Ši skaičiuoklės formulė būtų skaičius B3: = B2 + $ D $ 4 * C3.

Panašiai y2 būtų langelyje B4, o jo formulė parodyta šiame paveiksle:

Paveikslėlyje taip pat parodytas tikslaus sprendimo grafikas ir apytikslio tirpalo taškai A, B,…, P, naudojant Eulerio metodą.

Niutono dinamika ir Eulerio metodas

Klasikinę dinamiką sukūrė Izaokas Niutonas (1643 - 1727). Originali Leonardo Eulerio (1707 - 1783) motyvacija kurti savo metodą buvo būtent išspręsti Niutono antrojo dėsnio lygtį įvairiose fizinėse situacijose.

Niutono antrasis dėsnis paprastai išreiškiamas kaip antrojo laipsnio diferencialinė lygtis:

Kur x žymi objekto padėtį t metu. Minėto objekto masė m ir veikiama jėgos F. Funkcija f yra susijusi su jėga ir mase taip:

Norint taikyti Eulerio metodą, reikalingos pradinės laiko t, greičio v ir padėties x vertės.

Šioje lentelėje paaiškinta, kaip pradedant nuo t1, v1, x1 pradinių verčių galima gauti greičio v2 ir padėties x2 apytikslę akimirksniu t2 = t1 + Δt, kur Δt reiškia nedidelį padidėjimą ir atitinka žingsnį metodo Euleris.

4 pratimas

IV ) Viena iš pagrindinių mechanikos problemų yra masės M blokas, pririštas prie elastinės konstantos K spyruoklės (arba spyruoklės).

Antrasis Niutono įstatymas šiai problemai atrodyti taip:

Šiame pavyzdyje dėl paprastumo imsime M = 1 ir K = 1. Raskite apytikslius padėties x ir greičio v sprendimus pagal Eulerio metodą laiko intervale, padalijant intervalą į 12 dalių.

Paimkite 0 kaip pradinį momentinį momentą, pradinį greitį 0 ir pradinę 1 padėtį.

Sprendimas

Skaitiniai rezultatai pateikti šioje lentelėje:

Taip pat rodomi padėties ir greičio grafikai nuo 0 iki 1,44.

Siūlomi pratimai namams

1 pratimas

Apytikslį sprendimą naudokite skaičiuoklę, naudodami Eilero metodą diferencialinei lygčiai:

y '= - Exp (-y), kai pradinės sąlygos x = 0, y = -1 intervale x =

Pradėkite nuo 0,1 žingsnio. Nubraižykite rezultatą.

2 pratimas

Naudodami skaičiuoklę, raskite skaitinius šios kvadratinės lygties sprendimus, kur y yra nepriklausomo kintamojo funkcija t.

y '' = - 1 / y² su pradine sąlyga t = 0; ir (0) = 0,5; y '(0) = 0

Suraskite tirpalą intervale, naudodami 0,05 žingsnį.

Nubraižykite rezultatą: y vs t; y 'vs t

Nuorodos

1. „Eurler“ metodas Paimta iš wikipedia.org
2. „Euler“ sprendėjas. Paimta iš en.smath.com