GAUSO-SEIDELIO METODAS: PAAIŠKINIMAS, TAIKYMO BŪDAI, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Gauso-Seidelio metodas yra kartotinis procedūra rasti sprendimų artėjimą prie linijinės algebrinių lygčių sistemos su pasirinktas pasirenkamai tikslumo. Šis metodas taikomas kvadratinėms matricoms, kurių įstrižainės nėra nulinės, o konvergencija garantuojama, jei matrica dominuoja įstrižai.

Jį sukūrė Carlas Friedrichas Gaussas (1777–1855), kuris 1823 m. Surengė privatų demonstravimą vienam iš savo mokinių. Vėliau jį oficialiai paskelbė 1874 m. Filipas Ludwigas von Seidelis (1821–1896), taigi ir vardas abiejų matematikų.

1 paveikslas. Gauso-Seidelio metodas greitai suartėja ir gaunamas lygčių sistemos sprendimas. Šaltinis: F. Zapata.

Norint išsamiai suprasti metodą, reikia žinoti, kad matrica yra įstrižai, kai kiekvienos eilutės įstrižainės absoliučioji vertė yra didesnė arba lygi kitų tos pačios eilės kitų elementų absoliučių verčių sumai.

Matematiškai jis išreiškiamas taip:

Paaiškinimas naudojant paprastą atvejį

Norėdami parodyti Gauso-Seidelio metodą, paimkime paprastą atvejį, kai X ir Y reikšmes galima rasti 2x2 linijinių lygčių sistemoje, parodytoje žemiau:

5X + 2Y = 1

X - 4Y = 0

Žingsniai, kuriuos reikia sekti

1- Visų pirma, būtina nustatyti, ar konvergencija yra saugi. Iškart pastebima, kad iš tikrųjų tai yra įstrižai dominuojanti sistema, nes pirmoje eilėje pirmojo koeficiento absoliuti vertė yra didesnė nei kitų pirmosios eilės:

-5 -> - 2

Panašiai, įstrižai dominuoja ir antrasis antrosios eilės koeficientas:

--4 -> - 1-

2- X ir Y kintamieji išvalomi:

X = (1 - 2Y) / 5

Y = X / 4

3 - Pateikiama savavališka pradinė vertė, vadinama „sėkla“: Xo = 1, I = 2.

4 prasideda iteracija: norint gauti pirmąjį X1, Y1 apytikslį, sėkla pakeičiama pirmoje 2 pakopos lygtyje, o rezultatas gaunamas pagal antrąją 2 pakopos lygtį:

X1 = (1 - 2 I) / 5 = (1 - 2 × 2) / 5 = -3 / 5

Y1 = X1 / 4 = (-3/5) / 4 = -3/20

5- Mes einame panašiu būdu, kad gautume antrą lygčių sistemos sprendimo apytikslę:

X2 = (1 - 2 Y1) / 5 = (1 - 2x (-3/20)) / 5 = 13/50

Y2 = X2 / 4 = (13/50) / 4 = 13/200

6- Trečioji iteracija:

X3 = (1 - 2 Y2) / 5 = (1 - 2 (13/200)) / 5 = 87/500

Y3 = X3 / 4 = (87/500) / 4 = 87/2000

7- Ketvirtoji iteracija, kaip paskutinė šio aiškinamojo atvejo iteracija:

X4 = (1 - 2 Y3) / 5 = (1 - 2 (87/2000)) / 5 = 913/5000

Y4 = X4 / 4 = (913/5000) / 4 = 913/20000

Šios vertybės gana gerai sutaria su sprendimu, kuris rastas kitais skyrybų būdais. Skaitytojas gali greitai tai patikrinti naudodamasis internetine matematikos programa.

Metodo analizė

Kaip matyti, taikant Gauso-Seidelio metodą, apytikslės vertės, gautos ankstesniam kintamajam tame pačiame žingsnyje, turi būti pakeistos kitame kintamajame. Tai išskiria jį iš kitų kartojamųjų metodų, tokių kaip Jacobi metodai, kuriuose kiekvienam žingsniui reikia ankstesnio etapo suderinimų.

Gauso-Seidelio metodas nėra lygiagreti procedūra, o Gauso-Jordanio metodas yra. Tai taip pat priežastis, kad Gauso-Seidelio metodas suartėja greičiau (per keletą žingsnių) nei Jordanijos metodas.

Kalbant apie įstrižai dominuojančią matricos sąlygą, tai ne visada patenkinama. Tačiau daugeliu atvejų, norint įvykdyti šią sąlygą, pakanka paprasčiausiai pakeisti eilutes iš originalios sistemos. Be to, metodas beveik visada suartėja, net jei neįvykdytos įstrižainės dominavimo sąlygos.

Ankstesnį rezultatą, gautą keturiomis Gauso-Seidelio metodo iteracijomis, galima užrašyti po kablelio:

X4 = 0,1826

Y4 = 0,04565

Tikslus siūlomos lygčių sistemos sprendimas:

X = 2/11 = 0,1818

Y = 1/22 = 0,04545.

Taigi atlikdami tik 4 pakartojimus, gausite rezultatą su tūkstantąja tikslumu (0.001).

1 paveiksle pavaizduota, kaip viena po kitos keliamos iteracijos greitai virsta tiksliu sprendimu.

Programos

Gauso-Seidelio metodas neapsiriboja vien tik 2 × 2 linijinių lygčių sistema. Ankstesnę procedūrą galima apibendrinti, kad būtų galima išspręsti tiesinę n lygčių sistemą su n nežinomaisiais, kuri pavaizduota matricoje taip:

A X = b

Kur A yra nxn matrica, o X yra n kintamųjų, kuriuos reikia apskaičiuoti, n vektoriaus n komponentai; ir b yra vektorius, turintis nepriklausomų terminų reikšmes.

Norint apibendrinti iteracijų seką, taikomą aiškinamuoju atveju nxn sistemai, iš kurios kintamasis Xi nori būti apskaičiuotas, bus taikoma ši formulė:

Šioje lygtyje:

- k yra vertės, gautos pakartojant k, rodyklė.

-k + 1 rodo naują reikšmę toliau.

Galutinis iteracijų skaičius nustatomas, kai k + 1 iteracijoje gauta vertė skiriasi nuo tuo, kuri gauta prieš pat, tokiu dydžiu ε, kuris yra tiksliai norimas tikslumas.

Gauso-Seidelio metodo pavyzdžiai

- 1 pavyzdys

Parašykite bendrąjį algoritmą, leidžiantį apskaičiuoti nxn lygčių tiesinės sistemos apytikslių sprendimų X vektorių , atsižvelgiant į koeficientų A matricą, nepriklausomų sąlygų vektorių b , iteracijų skaičių (i ter) ir pradinę vertę arba „sėklą“. "vektoriaus X .

Sprendimas

Algoritmą sudaro du „To“ ciklai, vienas skirtas pakartojimų skaičiui, kitas - kintamųjų skaičiui. Tai būtų taip:

Dėl k ∊

Dėl i ∊

X: = (1 / A) * (b - ∑ _{j = 1} ⁿ (A * X) + A * X)

- 2 pavyzdys

Patikrinkite ankstesnio algoritmo veikimą naudodamiesi nemokama ir nemokama matematikos programine įranga „SMath Studio“, pasiekiama „Windows“ ir „Android“. Kaip pavyzdį paimkite 2 × 2 matricą, kuri mums padėjo iliustruoti Gauso-Seidelio metodą.

Sprendimas

2 pav. 2 x 2 pavyzdžių lygčių sistemos sprendimas naudojant „SMath Studio“ programinę įrangą. Šaltinis: F. Zapata.

- 3 pavyzdys

Taikykite Gausso-Seidelio algoritmą sekančiai 3 × 3 lygčių sistemai, kuri anksčiau buvo paskirta taip, kad dominuotų įstrižainės koeficientai (tai yra, didesnė absoliuti reikšmė nei absoliutinės koeficientų vertės). ta pati eilutė):

9 X1 + 2 X2 - X3 = -2

7 X1 + 8 X2 + 5 X3 = 3

3 X1 + 4 X2 - 10 X3 = 6

Naudokite nulinį vektorių kaip sėklą ir apsvarstykite penkias iteracijas. Komentuok rezultatą.

Sprendimas

3 pav. 3 pavyzdžio lygčių sistemos sprendimas naudojant „SMath Studio“. Šaltinis: F. Zapata.

Ta pačiai sistemai su 10 pakartojimų vietoj 5 gaunami šie rezultatai: X1 = -0,485; X2 = 1,0123; X3 = -0,3406

Tai mums sako, kad norint gauti tris tikslumus po kablelio tikslumo pakanka penkių kartojimų ir kad metodas greitai suartėja su sprendimu.

- 4 pavyzdys

Naudodamiesi aukščiau pateiktu Gauso-Seidelio algoritmu, suraskite toliau pateiktos 4 × 4 lygčių sistemos sprendimą:

10 x1 - x2 + 2 x3 + 0 x4 = 6

-1 x1 + 11 x2 - 1 x3 + 3 x4 = 25

2 x1 - 1 x2 + 10 x3 - 1 x4 = -11

0 x1 + 3 x2 - 1 x3 + 8 x4 = 15

Norėdami pradėti metodą, naudokite šią sėklą:

x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0 ir x4 = 0

Apsvarstykite 10 iteracijų ir įvertinkite rezultato paklaidą, palyginti su iteracijos numeriu 11.

Sprendimas

4 pav. 4 pavyzdžio lygčių sistemos sprendimas naudojant „SMath Studio“. Šaltinis: F. Zapata.

Lyginant su kita iteracija (skaičius 11), rezultatas yra identiškas. Didžiausi skirtumai tarp dviejų pakartojimų yra 2 × 10 ^–8 , o tai reiškia, kad rodomo sprendimo tikslumas yra mažiausiai septyni po kablelio.

Nuorodos

1. Iteraciniai sprendimo metodai. Gausas-Seidelis. Atkurta iš: cimat.mx
2. Skaitmeniniai metodai. Gausas-Seidelis. Atkurta iš: test.cua.uam.mx
3. Skaitinis: Gauso-Seidelio metodas. Atkurta iš: aprendeenlinea.udea.edu.co
4. Vikipedija. Gauso-Seidelio metodas. Susigrąžinta iš: en. wikipedia.com
5. Vikipedija. Gauso-Seidelio metodas. Atkurta iš: es.wikipedia.com