ATVIRKŠTINĖ MATRICA: SKAIČIAVIMAS IR IŠSPRĘSTAS PRATIMAS - MATEMATIKA - 2025

Tam tikros matricos atvirkštinė matrica yra ta matrica, kuri, padauginta iš originalo, suteikia tapatumo matricą. Atvirkštinė matrica yra naudinga sprendžiant linijinių lygčių sistemas, todėl svarbu žinoti, kaip ją apskaičiuoti.

Matricos yra labai naudingos fizikoje, inžinerijoje ir matematikoje, nes yra kompaktiškas įrankis sudėtingoms problemoms spręsti. Matricų naudingumas padidėja, kai jos yra nenuverčiamos, o jų atvirkštinė reikšmė taip pat žinoma.

1 paveikslas. Parodyta bendroji 2 × 2 matrica ir jos atvirkštinė matrica. (Parengė Ricardo Pérez)

Grafinio apdorojimo, didžiųjų duomenų, duomenų gavybos, mašininio mokymosi ir kt. Srityse naudojami veiksmingi ir greiti algoritmai, skirti įvertinti atvirkštinę nxn matricų, turinčių labai didelę n, matricą tūkstančių ar milijonų tvarka.

Norėdami iliustruoti atvirkštinės matricos naudojimą tvarkant tiesinių lygčių sistemą, pradėsime nuo paprasčiausio atvejo: 1 × 1 matricos.

Paprasčiausias atvejis: nagrinėjama tiesinė vieno kintamojo lygtis: 2 x = 10.

Idėja yra surasti x reikšmę, tačiau ji bus padaryta „matrica“.

Matrica M = (2), padauginanti vektorių (x), yra 1 × 1 matrica, kurios rezultatas yra vektorius (10):

M (x) = (10)

Matricos M atvirkštinė dalis žymima M ^-1 .

Bendras šios „linijinės sistemos“ užrašymo būdas yra:

MX = B, kur X yra vektorius (x) ir B yra vektorius (10).

Pagal apibrėžimą atvirkštinė matrica yra ta, kuri, padauginta iš pradinės matricos, sukuria tapatybės matricą I:

M ^-1 M = I

Nagrinėjamu atveju matrica M ^-1 yra matrica (½), tai yra M ^-1 = (½), nes M ^-1 M = (½) (2) = (1) = I

Norėdami rasti nežinomą vektorių X = (x), siūlomoje lygtyje abu nariai dauginami iš atvirkštinės matricos:

M ^-1 M (x) = M ^-1 (10)

(½) (2) (x) = (½) (10)

(½ 2) (x) = (½ 10)

(1) (x) = (5)

(x) = (5)

Buvo pasiekta dviejų vektorių lygybė, kurie yra lygūs tik tada, kai jų atitinkami elementai yra lygūs, tai yra, x = 5.

Matricos atvirkštinės vertės apskaičiavimas

Atvirkštinės matricos skaičiavimas motyvuoja rasti universalųjį metodą linijinėms sistemoms, tokioms kaip ši 2 × 2 sistema, spręsti:

x - 2 y = 3

-x + y = -2

Atlikdami 1 × 1 atvejo, išnagrinėto ankstesniame skyriuje, veiksmus, lygčių sistemą surašome matricos forma:

2 pav. Linijinė sistema matricos pavidalu.

Atminkite, kad ši sistema kompaktiškomis vektorinėmis žymomis parašyta taip:

MX = B

kur

Kitas žingsnis - surasti M atvirkštę.

1 metodas: Gauso eliminacijos naudojimas

Bus taikomas Gauso eliminacijos metodas. Tai susideda iš elementarių operacijų atlikimo matricos eilutėse:

- Padauginkite eilutę iš nulio, neturinčio nulio.

- Pridėkite arba atimkite kitą eilutę iš eilės arba kitos eilutės kartotinį.

- Keiskite eiles.

Šių operacijų tikslas yra pradinę matricą paversti tapatumo matrica.

Tai atliekant, M matricoje tapatumo matricai atliekamos lygiai tokios pačios operacijos. Kai po kelių operacijų eilutėse M virsta vieneto matrica, tada ta, kuri iš pradžių buvo matavimo vienetas, taps atvirkštine M matrica, tai yra M ^-1 .

1- Mes pradedame procesą rašydami matricą M ir šalia jos matricos matricą:

2- Pridedame dvi eilutes ir dedame rezultatą į antrą eilę, tokiu būdu gaudami nulį antrame eilės elemente:

3- Antrąją eilę padauginame iš -1, kad gautume 0 ir 1 antroje eilėje:

4- Pirma eilutė padauginama iš ½:

5 - Antrasis ir pirmasis pridedami ir rezultatas dedamas į pirmąją eilę:

6- Dabar, norint baigti procesą, pirmoji eilutė padauginama iš 2, kad būtų gauta tapatybės matrica pirmoje eilutėje, o atvirkštinė pradinės matricos M matrica antroje:

Tai yra:

Sistemos sprendimas

Gavus atvirkštinę matricą, lygčių sistema išsprendžiama pritaikant atvirkštinę matricą abiem kompaktiškojo vektoriaus lygties nariams:

M ^-1 M X = M ^-1 B

X = M ^-1 B

Kuris aiškiai atrodo taip:

Tada, norint gauti vektorių X, atliekama matricos daugyba:

2 metodas: naudojant pritvirtintą matricą

Šiuo antruoju metodu atvirkštinė matrica apskaičiuojama iš pradinės matricos A gretutinės matricos .

Tarkime, kad matricą A pateikė:

kur _{i, j} yra matricos A i eilutės ir j stulpelio elementas .

Matricos A gretima bus vadinama Adj (A), o jos elementai yra:

skelbimas _{i, j} = (-1) ^{(i + j)} ¦Ai, j¦

kur Ai, j yra papildoma apatinė matrica, gauta pašalinant pradinės matricos A eilutę i ir stulpelį . Stulpeliai ¦ ¦ rodo, kad apskaičiuojamas determinantas, ty ,Ai, j¦ yra mažosios papildomosios matricos determinantas.

Atvirkštinė matricos formulė

Apibrėžtis, kaip surasti atvirkštinę matricą, pradedant nuo gretimos pradinės matricos matricos, yra tokia:

Is, atvirkštinė A matrica , A ^-1 , yra jungties A transpozicija, padalyta iš A determinanto .

Matricos A perkėlimas A ^T gaunamas keičiant eilutes į stulpelius, tai yra, pirmoji eilutė tampa pirmąja stulpeliu, o antroji eilutė tampa antrąja stulpeliu ir taip toliau, kol bus užpildytos n pradinės matricos eilutės.

Pratimas išspręstas

Tegul A matrica yra tokia:

Skaičiuojamas kiekvienas elementas gretimoje A matricoje: Adj (A)

Dėl to A, Adj (A) rišamoji matrica yra tokia:

Tada apskaičiuojamas matricos A determinantas, det (A):

Galiausiai gaunama atvirkštinė A matrica:

Nuorodos

1. Anthony Nicolaides (1994) Determinantai ir matricos. Leidimų leidimas.
2. Awol Assen (2013) 3 × 3 determinantų skaičiavimo tyrimas
3. Casteleiro Villalba M. (2004) Įvadas į tiesinę algebrą. ESIC redakcija.
4. Dave'as Kirkby (2004 m.) „Matematika prisijungti“. Heinemannas.
5. Jenny Olive (1998) Matematika: studento išgyvenimo vadovas. Cambridge University Press.
6. Richardas J. Brownas (2012) 30 sekundžių matematika: 50 labiausiai protą išskleidžiančių matematikos teorijų. „Ivy Press Limited“.
7. Matrica. Lap Lambert akademinė leidyba.