Yra stačiakampė matrica, kai ta matrica, padauginta iš jos perkėlimo, sukuria tapatumo matricą. Jei matricos atvirkštinė vertė lygi transponavimui, tada originali matrica yra stačiakampė.
Stačiakampės matricos pasižymi tuo, kad eilučių skaičius yra lygus stulpelių skaičiui. Be to, eilučių vektoriai yra vienetiniai ortogonaliniai vektoriai, o eilučių vektoriai taip pat yra.
1 pav. Stačiakampės matricos pavyzdys ir kaip ji transformuoja geometrinius objektus. (Parengė Ricardo Pérez)
Kai stačiakampė matrica padauginama iš vektorinės erdvės vektorių, ji sukuria izometrinę transformaciją, tai yra, transformaciją, kuri nekeičia atstumų ir išsaugo kampus.
Tipiškas stačiakampių matricų atstovas yra sukimosi matricos. Stačiatikių matricų transformacijos vektorinėje erdvėje vadinamos ortogonalinėmis transformacijomis.
Dekarto vektorių vaizduojamų taškų sukimosi ir atspindžio geometrinės transformacijos yra atliekamos naudojant originalių vektorių ortogonines matricas, kad būtų gautos transformuotų vektorių koordinatės. Būtent dėl šios priežasties ortogonalinės matricos yra plačiai naudojamos kompiuterinės grafikos apdorojime.
Savybės
Adatinių M yra statmenos, jei, padaugintas iš jo perkėlimą į nacionalinę teisę M , T suteikia kaip rezultatas tapatybės matrica I . Panašiai, kai ortogonaliosios matricos perkėlimo iš originalios matricos rezultatas yra tapatumo matrica:
MM T = M T M = I
Kaip ankstesnio teiginio rezultatas, mes manome, kad stačiakampės matricos perkėlimas yra lygus jos atvirkščiai matricai:
M T = M -1 .
Nxn dydžio stačiakampių matricų rinkinys sudaro ortogonalią grupę O (n). Ortogonalių matricų O (n) pogrupis su determinantu +1 sudaro Unitarinių specialiųjų matricų grupę SU (n). SU (n) grupės matricos yra matricos, kurios sukuria linijines sukimosi transformacijas, dar žinomas kaip sukimosi grupė.
Demonstracija
Norime parodyti, kad matrica yra stačiakampė tada ir tik tada, kai eilutės vektoriai (arba stulpelių vektoriai) yra statmenai vienas kitam ir 1 norma.
Tarkime, kad stačiakampės matricos nxn eilutės yra n ortonorminiai vektoriai, kurių matmuo n. Jei jis žymimas v 1 , v 2 , …, V n n vektoriams reiškia:
Kur akivaizdu, kad iš tikrųjų eilučių vektorių rinkinys yra ortogonalių vektorių, kurių viena norma, aibė.
Pavyzdžiai
1 pavyzdys
Parodykite, kad 2 x 2 matrica, kurios pirmoje eilutėje yra vektorius v1 = (-1 0), o antroje eilutėje vektorius v2 = (0 1) yra stačiakampė matrica.
Sprendimas: Sudaryta matrica M ir apskaičiuojamas jos transponentas M T :
Šiame pavyzdyje matrica M yra savaime perkelta, tai yra, matrica ir jos perkėlimas yra identiški. Padauginkite M iš jos perkėlimo M T :
Patikrinama, ar MM T yra lygus tapatybės matricai:
Kai matrica M padauginama iš vektoriaus ar taško koordinačių, gaunamos naujos koordinatės, atitinkančios transformaciją, kurią matrica daro vektoriuje ar taške.
1 paveiksle parodyta, kaip M paverčia vektorių u į u ' , taip pat kaip M paverčia mėlyną daugiakampį į raudoną daugiakampį. Kadangi M yra stačiakampė, tada tai yra stačiakampė transformacija, išlaikanti atstumus ir kampus.
2 pavyzdys
Tarkime, kad jūs turite 2 x 2 matricą, apibrėžtą realijose, pateiktomis šia išraiška:
Raskite tikrąsias a, b, c ir d reikšmes taip, kad matrica M yra stačiakampė matrica.
Sprendimas: Pagal apibrėžimą matrica yra stačiakampė, padauginta iš jos perkėlimo, gaunama tapatybės matrica. Prisimenant, kad perkelta matrica gaunama iš originalo, keičiant stulpelių eiles, gaunama tokia lygybė:
Mes atliekame matricos daugybą:
Lygindami kairiosios matricos elementus su tapatybės matricos elementais dešinėje, gauname keturių lygčių sistemą su keturiais nežinomaisiais a, b, c ir d.
Mes siūlome šias a, b, c ir d reikšmes išreikšti kaip sinonimo ir kosinuso trigonometriniai santykiai:
Dėl šio pasiūlymo ir dėl pagrindinės trigonometrinės tapatybės pirmoji ir trečioji lygtys automatiškai patenkinamos lygiomis matricos elementais. Trečioji ir ketvirtoji lygtys yra vienodos ir matricinėje lygyje, pakeitus siūlomas reikšmes, atrodo taip:
kuris lemia tokį sprendimą:
Pagaliau gauti stačiakampės matricos M sprendimai:
Atkreipkite dėmesį, kad pirmasis iš tirpalų turi determinantą +1, taigi jis priklauso SU (2) grupei, o antrasis tirpalas turi determinantą -1 ir todėl nepriklauso šiai grupei.
3 pavyzdys
Atsižvelgiant į šią matricą, raskite a ir b reikšmes, kad turėtume stačiakampę matricą.
Sprendimas: Kad duota matrica būtų stačiakampė, produktas su jo perkėlimu turi būti tapatumo matrica. Tada atliekamas duotos matricos sandauga su perkeltąja matrica, gaunant tokį rezultatą:
Tada rezultatas prilyginamas 3 x 3 tapatumo matricai:
Antroje eilėje trečiasis stulpelis turi (ab = 0), bet a negali būti lygus nuliui, nes priešingu atveju nebūtų įvykdyta antrosios eilės ir antrosios stulpelio elementų lygybė. Tada būtinai b = 0. Pakaitinę b reikšmę 0 turime:
Tada išspręsta lygtis: 2a ^ 2 = 1, kurios sprendiniai yra: + ½√2 ir -½√2.
Gavus teigiamą a tirpalą, gaunama ši ortogonalioji matrica:
Skaitytojas gali lengvai patikrinti, ar eilučių vektoriai (taip pat stulpelių vektoriai) yra stačiakampiai ir vienetiniai, tai yra, ortonormalūs.
4 pavyzdys
Parodykite, kad matrica A, kurios eilutės vektoriai yra v1 = (0, -1 0) , v2 = (1, 0, 0) ir v3 = (0 0 -1), yra stačiakampė matrica. Papildomai raskite, kad vektoriai iš kanoninės bazės i, j, k yra paverčiami vektoriais u1 , u2 ir u3 .
Sprendimas: Reikia atsiminti, kad matricos elementas (i, j), padaugintas iš jo perkėlimo, yra (i) eilutės vektoriaus taškinis sandauga iš transponuojamos (j) stulpelio. Be to, šis produktas yra lygus Kroneckerio deltai tuo atveju, jei matrica yra stačiakampė:
Mūsų atveju tai atrodo taip:
v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1
v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1
v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1
v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0
v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0
v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0
v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0
v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0
Su ja parodyta, kad tai yra stačiakampė matrica.
Be to, u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) ir galiausiai u3 = A k = (0, 0, -1)
Nuorodos
- Anthony Nicolaides (1994) Determinantai ir matricos. Leidimų leidimas.
- „Birkhoff“ ir „MacLane“. (1980). Šiuolaikinė algebra, red. Vicens-Vives, Madridas.
- Casteleiro Villalba M. (2004) Įvadas į tiesinę algebrą. ESIC redakcija.
- Dave'as Kirkby (2004 m.) „Matematika prisijungti“. Heinemannas.
- Jenny Olive (1998) Matematika: studento išgyvenimo vadovas. Cambridge University Press.
- Richardas J. Brownas (2012) 30 sekundžių matematika: 50 labiausiai protą išskleidžiančių matematikos teorijų. „Ivy Press Limited“.
- Vikipedija. Stačiakampė matrica. Atkurta iš: es.wikipedia.com
- Vikipedija. Stačiakampė matrica. Atkurta iš: en.wikipedia.com