EULERIO ARBA E SKAIČIUS: KIEK JIS VERTAS, SAVYBĖS, PROGRAMOS - MATEMATIKA

Oilerio numeris arba numeris El yra gerai žinomas matematinė konstanta, kuris pasirodo dažnai daugelio mokslinių ir ekonominių programų, kartu su numeriu π ir kitų svarbių skaičių matematikos.

Mokslinė skaičiuoklė grąžina šią skaitmens e vertę:

1 pav. Eulerio skaičius dažnai pasirodo „Science“. Šaltinis: F. Zapata.

e = 2.718281828 …

Bet žinoma dar daug dešimtainių skaičių, pvz .:

e = 2.71828182845904523536…

O šiuolaikiniai kompiuteriai yra radę trilijonus skaitmenų po kablelio skaičiaus e.

Tai neracionalus skaičius, o tai reiškia, kad jis turi begalinį skaičių dešimtųjų tikslumu be jokio pasikartojančio modelio (1828 seka pradžioje pasirodo du kartus ir daugiau nebekartojama).

Tai taip pat reiškia, kad skaičius e negali būti gaunamas kaip dviejų sveikų skaičių dalis.

Istorija

Skaičius e identifikavo mokslininkas Jacques'as Bernoulli 1683 m., Tirdamas sudėtinio susidomėjimo problemą, tačiau anksčiau jis netiesiogiai pasirodė škotų matematiko Johno Napierio, kuris maždaug 1618 m. Išrado logaritmus, darbuose.

Tačiau būtent Leonhardas Euleris 1727 m. Suteikė jam pavadinimo numerį e ir intensyviai tyrinėjo jo savybes. Štai kodėl jis taip pat žinomas kaip Eulerio skaičius ir šiuo metu naudojamų natūralių logaritmų (eksponentų) natūralus pagrindas.

Kiek vertas skaičius e?

Skaičius e yra vertas:

e = 2.71828182845904523536…

Elipsė reiškia, kad yra begalinis skaičius po kablelio ir iš tikrųjų su šių dienų kompiuteriais milijonai jų yra žinomi.

Skaičiaus e atvaizdavimas

Yra keletas būdų, kaip apibūdinti e, kuriuos aprašome žemiau:

Skaičius e kaip riba

Vienas iš skaičiaus e išreiškimo būdų yra tas, kurį mokslininkas Bernoulli rado savo darbuose dėl sudėtinių palūkanų:

Kurioje jūs turite n reikšmę paversti labai dideliu skaičiumi.

Su skaičiuokle lengva patikrinti, ar kai n yra labai didelis, ankstesnė išraiška linkusi į aukščiau nurodytą e reikšmę.

Žinoma, mes galime paklausti savęs, kiek gali būti n, taigi išbandykime apvalius skaičius, pavyzdžiui, tokius kaip:

n = 1000; 10 000 arba 100 000

Pirmuoju atveju gauname e = 2.7169239…. Antrajame e = 2,7181459… ir trečiajame jis yra daug arčiau e reikšmės: 2,7182682. Jau galime įsivaizduoti, kad jei n = 1 000 000 ar didesnis, apytikslė bus dar geresnė.

Matematiškai n priartinimo ir priartėjimo prie labai didelės vertės procedūra yra vadinama begalybės riba ir žymima taip:

Begalybei žymėti naudojamas simbolis „∞“.

Skaičius e kaip suma

Taip pat šią operaciją galima apibrėžti skaičiumi e:

Skaičiai, rodomi vardiklyje: 1, 2, 6, 24, 120… atitinka operaciją n !, kur:

Ir pagal apibrėžimą 0! = 1.

Nesunku patikrinti, ar kuo daugiau priedų pridedama, tuo tiksliau pasiekiamas skaičius e.

Padarykime kelis testus naudodamiesi skaičiuokle, pridėdami vis daugiau ir daugiau priedų:

1 +1 + (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,75833

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Kuo daugiau terminų pridedama prie sumos, tuo labiau rezultatas primena e.

Matematikai sugalvojo kompaktišką šių sumų žymėjimą, apimantį daugybę terminų, naudodamas apibendrinimo simbolį Σ:

Ši išraiška skaitoma taip: „suma nuo n = 0 iki 1 begalybės tarp n faktoriaus“.

Skaičius e geometriniu požiūriu

Skaičius e grafiškai vaizduojamas pagal plotą po kreivės grafiku:

y = 1 / x

Kai x reikšmės yra nuo 1 iki e, ši sritis lygi 1, kaip parodyta šiame paveiksle:

2 paveikslas. Grafinis skaičiaus e vaizdas: plotas po 1 / x kreive tarp x = 1 ir x = e yra vertas 1. Šaltinis: F. Zapata.

Skaičiaus savybės e

Kai kurios skaičiaus e savybės yra:

- Tai neracionalu, kitaip tariant, to negalima gauti paprasčiausiai padalinus du sveikus skaičius.

-Skaičius e taip pat yra transcendentinis skaičius, o tai reiškia, kad e nėra jokios daugiaplanės lygties sprendimas.

- Tai susiję su keturiais kitais garsiais skaičiais matematikos srityje, būtent: π, i, 1 ir 0, pasitelkiant Eulerio tapatybę:

- Vadinamieji kompleksiniai skaičiai gali būti išreikšti per e.

- Tai sudaro šių laikų natūralių ar natūralių logaritmų pagrindą (pirminis Johno Napierio apibrėžimas šiek tiek skiriasi).

- Tai vienintelis skaičius, kurio natūralusis logaritmas yra lygus 1, tai yra:

Programos

Statistika

Skaičius e labai dažnai pasirodo tikimybių ir statistikos srityse, rodomas įvairiais pasiskirstymais, tokiais kaip normalusis ar Gausso, Puasono ir kiti.

Inžinerija

Inžinerijoje tai dažna, nes , pvz., Mechanikoje ir elektromagnetizme eksponentinė funkcija y = e ^x . Tarp daugelio programų galime paminėti:

- Kabelis arba grandinė, kuri kabo už galų, priima kreivės formą, kurią suteikia:

y = (e ^x + e ^-x ) / 2

- Iš pradžių ištuštėjęs kondensatorius C, kuris nuosekliai sujungtas su rezistoriumi R ir įtampos šaltiniu V, kad įkrautų, įgyja tam tikrą krūvį Q kaip laiko t funkciją, kurią nustato:

Q (t) = CV (1-e ^{-t / RC} )

biologija

Eksponentinė funkcija y = Ae ^Bx , kai A ir B yra pastovi, naudojama ląstelių augimui ir bakterijų augimui modeliuoti.

Fizinis

Branduolinėje fizikoje radioaktyvusis skilimas ir amžiaus nustatymas modeliuojami remiantis radijo angliavandeniliais.

Ekonomika

Apskaičiuojant sudėtines palūkanas, skaičius e atsiranda natūraliai.

Tarkime, kad jūs turite tam tikrą sumą pinigų P _O investuoti, kai palūkanų norma i% per metus.

Jei paliksite pinigus 1 metams, po to turėsite:

Po kitų metų jo neliesdami turėsite:

Ir tęsdamas tai n metus:

Dabar prisiminkime vieną iš e apibrėžimų:

Tai šiek tiek primena P išraišką, todėl turi būti santykiai.

Mes paskirstysime nominaliąją palūkanų normą i per n laiko periodus, tokiu būdu sudėtinė palūkanų norma bus i / n:

Ši frazė šiek tiek primena mūsų ribą, tačiau vis tiek nėra visiškai ta pati.

Tačiau atlikus keletą algebrinių manipuliacijų galima parodyti, kad pakeitus šį kintamąjį:

Mūsų pinigai P tampa:

O kas yra tarp breketų, net jei jis parašytas raide h, yra lygus ribos, apibrėžiančios skaičių e, argumentui, trūksta tik limito.

Sudarykime h → ∞, o tai, kas yra tarp breketų, tampa skaičiumi e. Tai nereiškia, kad turime laukti be galo ilgai, kad išimtų pinigus.

Jei atidžiai pažvelgsime, padarydami h = n / i ir linkę į ∞, tai, ką mes iš tikrųjų padarėme, yra paskirstyti palūkanų normą per labai, labai mažus laikotarpius:

i = n / h

Tai vadinama nuolatiniu jungimu. Tokiu atveju pinigų suma lengvai apskaičiuojama taip:

Kur i yra metinė palūkanų norma. Pvz., Deponuodami 12 EUR po 9% per metus, naudodami nepertraukiamą kapitalizaciją, po vienerių metų turite:

Su 1,13 euro pelnu.

Nuorodos

Mėgaukitės matematika. Sudėtinės palūkanos: periodinė kompozicija. Atkurta iš: enjoylasmatematicas.com.
Figuera, J. 2000. Matematika 1-as. Įvairus. CO-BO leidimai.
García, M. Skaičius e pradiniame skaičiavime. Atkurta iš: matematica.ciens.ucv.ve.
Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
Larson, R. 2010. Kintamojo apskaičiavimas. 9-asis. Leidimas. McGraw Hill.

EULERIO ARBA E SKAIČIUS: KIEK JIS VERTAS, SAVYBĖS, PROGRAMOS - MATEMATIKA - 2025