SUDĖTINGI SKAIČIAI: SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI, OPERACIJOS - MATEMATIKA - 2025

Į Kompleksiniai skaičiai yra skaitmeninis rinkinys apima realius skaičius ir visas iš Polinomas įskaitant porų šaknų neigiami skaičiai šaknis. Šios šaknys neegzistuoja realiųjų skaičių aibėje, bet sudėtiniuose skaičiuose yra sprendimas.

Sudėtingą skaičių sudaro tikroji dalis ir dalis, vadinama „įsivaizduojama“. Realioji dalis vadinama, pavyzdžiui, a, ir įsivaizduojamąja dalimi ib, su a ir b realiaisiais skaičiais ir „i“ kaip įsivaizduojamąja dalimi. Tokiu būdu sudėtingas skaičius įgauna formą:

1 paveikslas. Kompleksinio skaičiaus binominis vaizdas realiosios ir įsivaizduojamosios dalies atžvilgiu. Šaltinis: „Pixabay“.

Sudėtingų skaičių pavyzdžiai yra 2 - 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Bet prieš operuodami su jais, pažiūrėkime iš kur yra vaizduojamasis vienetas i, atsižvelgiant į šią kvadratinę lygtį:

x ² - 10x + 34 = 0

Kurioje a = 1, b = -10 ir c = 34.

Taikydami skiriamąją formulę sprendimui nustatyti, nustatome:

Kaip nustatyti √-36 reikšmę? Nėra tikrojo skaičiaus, kuris iš kvadrato duotų neigiamą kiekį. Tada daroma išvada, kad ši lygtis neturi realių sprendimų.

Tačiau mes galime parašyti taip:

√-36 = √-6 ² = √6 ² (-1) = 6√-1

Jei apibrėžtume tam tikrą vertę x taip:

x ² = -1

Taigi:

x = ± √-1

Ir aukščiau pateikta lygtis turėtų sprendimą. Todėl įsivaizduojamas vienetas buvo apibrėžtas kaip:

i = √-1

Taigi:

√-36 = 6i

Daugelis antikos laikų matematikų, ypač Renesanso laikų Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) ir Raffaele Bombelli (1526-1572), dirbo sprendžiant panašias problemas.

Po metų René Descartesas (1596-1650) kiekius pavadino „įsivaizduojamais“, tokiais kaip √-36 pavyzdyje. Dėl šios priežasties √-1 yra žinomas kaip įsivaizduojamas vienetas.

Sudėtingų skaičių savybės

- Sudėtingų skaičių aibė žymima C ir apima tikruosius skaičius R ir įsivaizduojamuosius skaičius Im. Skaičių rinkiniai pavaizduoti Venno diagramoje, kaip parodyta šiame paveiksle:

2 pav. Skaičių aibių Venn diagrama. Šaltinis: F. Zapata.

-Visas kompleksinis skaičius susideda iš tikrosios ir įsivaizduojamos dalies.

-Kai įsivaizduojama komplekso skaičiaus dalis yra 0, tai grynasis realusis skaičius.

-Jei tikroji komplekso skaičiaus dalis yra 0, tada skaičius yra grynai įsivaizduojamas.

-Dvi sudėtingi skaičiai yra lygūs, jei jų realioji ir įsivaizduojamoji dalys yra vienodos.

- Su sudėtiniais skaičiais atliekamos žinomos sudėjimo, atėmimo, daugybos, sandaugos ir padidinimo operacijos, gaunant kitą sudėtingą skaičių.

Sudėtingų skaičių vaizdavimas

Sudėtingi skaičiai gali būti vaizduojami įvairiais būdais. Čia yra pagrindiniai:

- Dvinarė forma

Tai yra forma, pateikta pradžioje, kur z yra sudėtingas skaičius, a yra tikroji dalis, b yra įsivaizduojama dalis ir i yra įsivaizduojamas vienetas:

Arba:

Vienas iš būdų pavaizduoti sudėtingą skaičių yra šiame paveiksle parodyta kompleksinė plokštuma. Įsivaizduojama ašis Im yra vertikali, o tikroji ašis yra horizontali ir žymima kaip Re.

Sudėtingas skaičius z šioje plokštumoje vaizduojamas kaip koordinačių taškas (x, y) arba (a, b), kaip tai daroma su tikrosios plokštumos taškais.

Atstumas nuo pradžios iki taško z yra komplekso skaičiaus modulis, žymimas r, o φ yra kampas, kurį r sudaro su tikrąja ašimi.

3 pav. Komplekso skaičiaus atvaizdavimas kompleksinėje plokštumoje. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Šis vaizdas yra glaudžiai susijęs su vektoriais tikrojoje plokštumoje. R vertė atitinka komplekso skaičiaus modulį.

- Poliarinė forma

Polinę formą sudaro kompleksinio skaičiaus išreiškimas pateikiant r ir φ reikšmes. Jei pažvelgsime į figūrą, r vertė atitinka stačiakampio trikampio hipotenuzę. Kojos vertos a ir b, arba x ir y.

Iš binominės ar binomialinės formos mes galime pereiti prie polinės formos:

Kampas φ yra tas, kurį sudaro segmentas r su horizontalia ašimi arba įsivaizduojama ašimi. Jis žinomas kaip sudėtingas skaičiaus argumentas. Šiuo būdu:

Argumentas turi begales reikšmių, atsižvelgiant į tai, kad kiekvieną kartą pasukus posūkį, kurio vertė yra 2π radianas, r vėl užima tą pačią padėtį. Tokiu būdu z argumentas, žymimas Arg (z), išreiškiamas taip:

Kur k yra sveikas skaičius ir naudojamas nurodžius pasukimų skaičių: 2, 3, 4…. Ženklas rodo sukimosi kryptį, jei jis yra pagal laikrodžio rodyklę arba prieš laikrodžio rodyklę.

4 pav. Kompleksinio skaičiaus poliarinis pavaizdavimas kompleksinėje plokštumoje. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Ir jei mes norime pereiti nuo polinės formos prie binominės formos, naudojame trigonometrinius koeficientus. Iš ankstesnio paveikslo matome, kad:

x = r cos φ

y = r sin φ

Tokiu būdu z = r (cos φ + i sin φ)

Kuris yra sutrumpintas taip:

z = r cis φ

Sudėtingų skaičių pavyzdžiai

Šie sudėti skaičiai pateikiami dvejetainiu pavidalu:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

Tai yra užsakytos poros forma:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7,0)

Pagaliau ši grupė pateikiama poliarine arba trigonometrine forma:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Kam jie skirti?

Sudėtingų skaičių naudingumas peržengia pradžioje pateiktos kvadratinės lygties sprendimą, nes jie yra būtini inžinerijos ir fizikos srityse, ypač:

-Elektromagnetinių bangų tyrimas

- kintamos srovės ir įtampos analizė

- Visų rūšių signalų modeliavimas

- Reliatyvumo teorija, kai laikas yra numanomas kaip įsivaizduojamas dydis.

Sudėtingos skaičiaus operacijos

Turėdami sudėtingus skaičius, mes galime atlikti visas operacijas, kurios atliekamos su tikromis. Kai kuriuos lengviau padaryti, jei skaičiai yra dvejetainiai, pavyzdžiui, sudėti ir atimti. Priešingai, daugyba ir dalijimas yra paprastesni, jei jie atliekami su poline forma.

Pažiūrėkime keletą pavyzdžių:

- 1 pavyzdys

Pridėkite z ₁ = 2 + 5i ir z ₂ = -3 -8i

Sprendimas

Tikrosios dalys pridedamos atskirai nuo įsivaizduojamų dalių:

z ₁ + z ₂ = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

- 2 pavyzdys

Padauginkite z ₁ = 4 cis 45º ir z ₂ = 5 cis 120º

Sprendimas

Galima parodyti, kad dviejų sudėtingų skaičių, sudarytų iš polinės ar trigonometrinės formos, sandauga gaunama:

z ₁ . z ₂ = r ₁ .r ₂ cis (φ ₁ + φ ₂ )

Pagal šitą:

z ₁ . z ₂ = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Taikymas

Paprastas sudėtingų skaičių taikymas yra rasti visas daugianarės lygties, kaip parodyta straipsnio pradžioje, šaknis.

Jei lygtis x ² - 10x + 34 = 0, taikydami skiriamąją formulę, gauname:

Todėl sprendimai yra šie:

x ₁ = 5 + 3i

x ₂ = 5 - 3i

Nuorodos

1. Earlas, R. Sudėtingi skaičiai. Atkurta iš: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1-as. Įvairus. CO-BO leidimai.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikos temų pasirinkimas. „Monfort“ leidiniai.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
5. Vikipedija. Sudėtingi skaičiai. Atkurta iš: en.wikipedia.org