ĮSIVAIZDUOJAMI SKAIČIAI: SAVYBĖS, PROGRAMOS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Į įsivaizduojamas numeriai yra tie, kurie išspręsti lygtį, kurioje nežinomas, padidėjusi aikštėje yra lygus neigiamų realių skaičių. Įsivaizduojamas vienetas yra i = √ (-1).

Lygtyje: z ² = - a, z yra įsivaizduojamas skaičius, išreiškiamas taip:

z = √ (-a) = i√ (a)

Būdamas teigiamas tikrasis skaičius. Jei a = 1, tada z = i, kur i yra įsivaizduojamas vienetas.

1 paveikslas. Sudėtinga plokštuma, parodanti kai kuriuos realiuosius, kai kuriuos įsivaizduojamus skaičius ir keletą. Šaltinis: F. Zapata.

Apskritai grynasis įsivaizduojamas skaičius z visada išreiškiamas tokia forma:

z = y⋅i

Kur y yra tikrasis skaičius, o i yra įsivaizduojamas vienetas.

Lygiai taip, kaip realieji skaičiai pavaizduoti linijoje, vadinamoje realiąja linija, panašiai įsivaizduojami skaičiai vaizduojami įsivaizduojamoje eilutėje.

Įsivaizduojama linija visada yra stačiakampė (90º formos) prie tikrosios linijos, o abi linijos nusako Dekarto plokštumą, vadinamą sudėtinga plokštuma.

1 paveiksle pavaizduota sudėtinga plokštuma, o joje pavaizduoti kai kurie tikrieji skaičiai, kai kurie įsivaizduojami skaičiai ir keletas sudėtingų skaičių:

X ₁ , X ₂ , X ₃ yra realieji skaičiai

Y ₁ , Y ₂ , Y ₃ yra įsivaizduojami skaičiai

Z ₂ ir Z ₃ yra sudėtingieji skaičiai

Skaičius O yra tikrasis nulis ir jis taip pat yra įsivaizduojamas nulis, todėl O išvada yra kompleksinis nulis, išreikštas:

0 + 0i

Savybės

Įsivaizduojamų skaičių aibė žymima:

I = {……, -3i,…, -2i,…., - i,…., 0i,…., Aš,…., 2i,…., 3i, ……}

Ir jūs galite apibrėžti kai kurias šio skaitmeninio rinkinio operacijas. Įsivaizduojamas skaičius ne visada gaunamas iš šių operacijų, todėl pažvelkime į juos šiek tiek detaliau:

Sudėkite ir atimkite įsivaizduojamą

Įsivaizduojamus skaičius galima sudėti ir atimti vienas nuo kito, gaunant naują įsivaizduojamą skaičių. Pavyzdžiui:

3i + 2i = 5i

4i - 7i = -3i

Įsivaizduojamo produkto

Kai sudaromas vieno įsivaizduojamo skaičiaus sandauga su kitu, rezultatas yra tikrasis skaičius. Pabandykime atlikti šią operaciją:

2i x 3i = 6 xi ² = 6 x (√ (-1)) ² = 6 x (-1) = -6.

Ir kaip matome, -6 yra tikrasis skaičius, nors jis gautas padauginus du grynus įsivaizduojamus skaičius.

Kito įsivaizduojamo realaus skaičiaus sandauga

Jei tikrasis skaičius padauginamas iš i, rezultatas bus įsivaizduojamas skaičius, kuris atitinka 90 laipsnių pasukimą prieš laikrodžio rodyklę.

Ir tai yra tai, kad i ² atitinka du iš eilės 90 laipsnių posūkius, o tai prilygsta padauginti iš -1, tai yra, i ² = -1. Tai galima pamatyti šioje diagramoje:

2 pav. Padauginimas iš įsivaizduojamo vieneto i atitinka 90 ° sukimąsi prieš laikrodžio rodyklę. Šaltinis: „wikimedia commons“.

Pavyzdžiui:

-3 x 5i = -15i

-3 xi = -3i.

Įsivaizduojamojo įgalinimas

Galite apibrėžti įsivaizduojamo skaičiaus potencialo didėjimą sveiku skaičiumi:

i ¹ = i

i ² = ixi = √ (-1) x √ (-1) = -1

i ³ = ixi ² = -i

i ⁴ = i ² xi ² = -1 x -1 = 1

i ⁵ = ixi ⁴ = i

Apskritai, mes turime, kad i ⁿ = i ^ (n mod 4), kur mod yra likusi dalis tarp n ir 4.

Taip pat gali būti daroma neigiama sveikojo skaičiaus potencija:

i ^-1 = 1 / i ¹ = i / (ixi ¹ ) = i / (i ² ) = i / (-1) = -i

i- ² = 1 / i ² = 1 / (-1) = -1

i- ³ = 1 / i ³ = 1 / (- i) = (-1) / i = -1 xi ^-1 = (-1) x (-i) = i

Apskritai įsivaizduojamas skaičius b⋅i, padidintas iki galios n, yra:

(b⋅i) i ⁿ = b ⁿ i ⁿ = b ⁿ i ^ (n mod 4)

Keli pavyzdžiai:

(5 i) ¹² = 5 ¹² i ¹² = 5 ¹² i ⁰ = 5 ¹² x 1 = 244140625

(5 i) ¹¹ = 5 ¹¹ i ¹¹ = 5 ¹¹ i ³ = 5 ¹¹ x (-i) = -48828125 i

(-2 i) ¹⁰ = -2 ¹⁰ i ¹⁰ = 2 ¹⁰ i ² = 1024 x (-1) = -1024

Realiojo skaičiaus ir įsivaizduojamo skaičiaus suma

Kai pridedate realų skaičių su įsivaizduojamu, rezultatas nėra nei tikras, nei įsivaizduojamas, tai yra naujas skaičių tipas, vadinamas sudėtinguoju numeriu.

Pvz., Jei X = 3,5 ir Y = 3,75i, tada rezultatas yra komplekso skaičius:

Z = X + Y = 3,5 + 3,75 i

Atminkite, kad sumoje realioji ir įsivaizduojamoji dalys negali būti sugrupuotos, todėl sudėtingas skaičius visada turės tikrąją ir įsivaizduojamąją dalis.

Ši operacija išplečia realiųjų skaičių aibę iki plačiausių skaičių.

Programos

Įsivaizduojamų skaičių pavadinimą pasiūlė prancūzų matematikas René Descartesas (1596–1650) kaip pasityčiojimą ar nesutikimą su to paties pasiūlymu, kurį pateikė šimtmečio italų matematikas Raffaelle'as Bombelli.

Kiti puikūs matematikai, tokie kaip Euleris ir Leibnizas, palaikė Descartes'ą šiame nesutarime ir pavadino įsivaizduojamus skaičius amfibiniais skaičiais, kurie buvo suplyšę tarp būties ir nieko.

Įsivaizduojamų skaičių pavadinimas išlieka ir šiandien, tačiau jų egzistavimas ir svarba yra labai tikri ir apčiuopiami, nes jie natūraliai atsiranda daugelyje fizikos sričių, tokių kaip:

- reliatyvumo teorija.

-In elektromagnetizmas.

-Kvantinė mechanika.

Pratimai su įsivaizduojamais skaičiais

- 1 pratimas

Raskite šios lygties sprendimus:

z ² + 16 = 0

Sprendimas

z ² = -16

Turėdami kvadratinę šaknį iš abiejų narių, turime:

√ (z ² ) = √ (-16)

± z = √ (-1 x 16) = √ (-1) √ (16) = ix 4 = 4i

Kitaip tariant, pirminės lygties sprendimai yra šie:

z = + 4i oz = -4i.

- 2 pratimas

Suraskite įsivaizduojamo vieneto padidinimo iki galios 5 rezultatą, atėmus įsivaizduojamo vieneto, pakelto iki galios, –5.

Sprendimas

i ⁵ - i- ⁵ = i ⁵ - 1 / i ⁵ = i - 1 / i = i - (i) / (ixi) = i - i / (- 1) = i + i = 2i

- 3 pratimas

Raskite šios operacijos rezultatą:

(3i) ³ + 9i

Sprendimas

3 ³ i ³ - 9 = 9 (-i) + 9i = -9i + 9i = 0i

- 4 pratimas

Raskite šios kvadratinės lygties sprendimus:

(-2x) ² + 2 = 0

Sprendimas

Lygtis pertvarkyta taip:

(-2x) ² = -2

Tada imama abiejų narių kvadratinė šaknis

√ ((- 2x) ² ) = √ (-2)

± (-2x) = √ (-1 x 2) = √ (-1) √ (2) = i √ (2) = √2 i

Tada mes išsprendžiame x, kad galiausiai gautume:

x = ± √2 / 2 i

Tai yra, yra du galimi sprendimai:

x = (√2 / 2) i

Arba šis:

x = - (√2 / 2) i

- 5 pratimas

Raskite Z reikšmę, apibrėžtą:

Z = √ (-9) √ (-4) + 7

Sprendimas

Mes žinome, kad negatyviojo realaus skaičiaus kvadratinė šaknis yra įsivaizduojamas skaičius, pavyzdžiui, √ (-9) yra lygus √ (9) x √ (-1) = 3i.

Kita vertus, √ (-4) yra lygus √ (4) x √ (-1) = 2i.

Taigi originalią lygtį galima pakeisti taip:

3i x 2i - 7 = 6 i ² - 7 = 6 (-1) - 7 = -6 - 7 = -13

- 6 pratimas

Raskite Z reikšmę, gautą padarius du sudėtinius skaičius:

Z = (9 - i ² ) / (3 + i)

Sprendimas

Išraiškos skaitiklį galima apskaičiuoti naudojant šią savybę:

Taigi:

Z = / (3 + i)

Gauta išraiška supaprastinta žemiau, paliekant

Z = (3 - i)

Nuorodos

1. Earlas, R. Sudėtingi skaičiai. Atkurta iš: maths.ox.ac.uk.
2. Figuera, J. 2000. Matematika 1-as. Įvairus. CO-BO leidimai.
3. Hoffmann, J. 2005. Matematikos temų pasirinkimas. „Monfort“ leidiniai.
4. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
5. Vikipedija. Įsivaizduojamas skaičius. Atkurta iš: en.wikipedia.org