HIPERBOLINIS PARABOLOIDAS: APIBRĖŽIMAS, SAVYBĖS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Hiperbolinės Paraboloida yra paviršius, kurio bendra lygtis Dekarto koordinačių (x, y, z) atitinka šią lygtį:

(x / a) ² - (y / b) ² - z = 0.

Pavadinimas „paraboloidas“ yra kilęs iš to, kad kintamasis z priklauso nuo kintamųjų x ir y kvadratų. O būdvardis „hiperbolė“ lemia tai, kad esant fiksuotoms z reikšmėms, turime hiperbolės lygtį. Šio paviršiaus forma panaši į arklio balną.

1 paveikslas. Hiperbolinis paraboloidas z = x ² - y ² . Šaltinis: F. Zapata naudojant „Wolfram Mathematica“.

Hiperbolinio paraboloido aprašymas

Norint suprasti hiperbolinio paraboloido pobūdį, bus atlikta ši analizė:

1.- Mes paimsime konkretų atvejį a = 1, b = 1, tai yra, kad paraboloido Dekarto lygtis išlieka kaip z = x ² - y ² .

2.- Plokštės laikomos lygiagrečiomis ZX plokštumai, tai yra, y = ctte.

3.- Kai y = ctte, tai išlieka z = x ² - C, kurie žymi parabolę su šakomis į viršų ir viršūnę žemiau XY plokštumos.

2 pav. Kreivių šeima z = x ² - C. Šaltinis: F. Zapata, naudodamas „Geogebra“.

4.- Kai x = ctte, tai išlieka z = C - y ² , kurie žymi parabolę su šakelėmis žemyn ir viršūnę virš XY plokštumos.

3 pav. Kreivių šeima z = C - y ² . Šaltinis: F. Zapata per „Geogebra“.

5.- Kai z = ctte, tai išlieka C = x ² - y ² , kurie žymi hiperbolę plokštumose, lygiagrečiose XY plokštumai. Kai C = 0, yra dvi linijos (ties + 45º ir -45º X ašies atžvilgiu), kertančios ištaką XY plokštumoje.

4 paveikslas. Kreivių šeima x ² - y ² = C. Šaltinis: F. Zapata, naudodamas Geogebra ..

Hiperbolinio paraboloido savybės

1.- Keturi skirtingi taškai trimatėje erdvėje apibūdina vieną ir tik vieną hiperbolinį paraboloidą.

2.- Hiperbolinis paraboloidas yra dvigubai valdomas paviršius. Tai reiškia, kad nepaisant to, kad paviršius yra lenktas, per kiekvieną hiperbolinio paraboloido tašką eina dvi skirtingos linijos, visiškai priklausančios hiperboliniam paraboloidui. Kitas paviršius, kuris nėra plokštuma ir yra dvigubai valdomas, yra revoliucijos hiperboloidas.

Būtent antroji hiperbolinio paraboloido savybė leido jį plačiai naudoti architektūroje, nes paviršių galima susidaryti iš tiesių sijų ar stygų.

Antroji hiperbolinio paraboloido savybė leidžia alternatyviai jį apibrėžti: tai yra paviršius, kurį gali sukurti judanti tiesi linija, lygiagreti fiksuotai plokštumai, ir iškirpti dvi fiksuotas linijas, kurios tarnauja kaip vadovas. Šis paveikslėlis paaiškina šį alternatyvų hiperbolinio paraboloido apibrėžimą:

5 pav. Hiperbolinis paraboloidas yra dvigubai valdomas paviršius. Šaltinis: F. Zapata.

Dirbami pavyzdžiai

- 1 pavyzdys

Parodykite, kad lygtis: z = xy, atitinka hiperbolinį paraboloidą.

Sprendimas

X ir y kintamiesiems bus taikoma transformacija, atitinkanti Dekarto ašių sukimąsi Z ašies atžvilgiu + 45º. Senosios x ir y koordinatės transformuojamos į naujas x 'ir y' pagal šiuos ryšius:

x = x '- y'

y = x '+ y'

o z koordinatė išlieka ta pati, tai yra, z = z '.

Pakeisdami lygtį z = xy, turime:

z '= (x' - y ') (x' + y ')

Taikant pastebimą skirtumo sandaugą iš sumos, lygios mūsų turimų kvadratų skirtumui

z '= x' ² - y ' ²

kuris aiškiai atitinka iš pradžių pateiktą hiperbolinio paraboloido apibrėžimą.

Plokštumų, lygiagrečių XY ašiai, perėmimas su hiperboliniu paraboloidu z = xy nustato lygiakraščius hiperbolus, kurių asimptotai yra plokštumos x = 0 ir y = 0.

- 2 pavyzdys

Nustatykite hiperbolinio paraboloido, einančio per taškus A (0, 0, 0), parametrus a ir b; B (1, 1,5, 5/9); C (-2, 1, 32/9) ir D (2, -1, 32/9).

Sprendimas

Pagal savo savybes keturi taškai trimatėje erdvėje lemia vieną hiperbolinį paraboloidą. Bendroji lygtis:

z = (x / a) ² - (y / b) ²

Mes pakeičiame nurodytas vertes:

Taškui A turime 0 = (0 / a) ² - (0 / b) ² , lygtį, kuri tenkina bet kokias parametrų a ir b reikšmes.

Pakeitę tašką B, gauname:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

Taškui C jis išlieka:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Galiausiai, taškui D mes gauname:

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Kuris yra identiškas ankstesnei lygčiai. Galų gale reikia išspręsti lygčių sistemą:

5/9 = 1 / a ² - 1 / b ²

32/9 = 4 / a ² - 1 / b ²

Atėmus antrąją lygtį iš pirmosios, gaunama:

27/9 = 3 / a ^2, tai reiškia, kad a ² = 1.

Panašiu būdu iš pirmojo ketverto atimama antroji lygtis, gaunant:

(32-20) / 9 = 4 / a ² - 4 / a ² -1 / b ² + 4 / b ²

Tai supaprastinta taip:

12/9 = 3 / b ² ⇒ b ² = 9/4.

Trumpai tariant, hiperbolinis paraboloidas, einantis per nurodytus taškus A, B, C ir D, turi Dekarto lygtį:

z = x ² - (4/9) y ²

- 3 pavyzdys

Pagal hiperbolinio paraboloido savybes per kiekvieną tašką eina dvi linijos, kurios yra visiškai jame. Atvejui z = x ^ 2 - y ^ 2 raskite dviejų linijų, einančių per tašką P (0, 1, -1), aiškiai priklausančių hiperboliniam paraboloidui, lygtį, kad visi šių linijų taškai taip pat priklausytų tas pats.

Sprendimas

Naudojant puikų kvadratų skirtumo sandaugą, hiperbolinio paraboloido lygtis gali būti parašyta taip:

(x + y) (x - y) = cz (1 / c)

Kur c yra nulio konstanta.

Lygtis x + y = cz, o lygtis x - y = 1 / c atitinka dvi plokštumas, kurių normalieji vektoriai n = <1,1, -c> ir m = <1, -1,0>. Vektorinis sandauga mxn = <- c, -c, -2> nurodo mums dviejų plokštumų susikirtimo linijos kryptį. Tada viena iš linijų, einančių per tašką P ir priklausanti hiperboliniam paraboloidui, turi parametrų lygtį:

= <0, 1, -1> + t <-c, -c, -2>

Norėdami nustatyti c, mes pakeičiame tašką P lygtyje x + y = cz, gaudami:

c = -1

Panašiu būdu, bet atsižvelgiant į lygtis (x - y = kz) ir (x + y = 1 / k), turime parametro tiesinę lygtį:

= <0, 1, -1> + s kai k = 1.

Apibendrinant, dvi eilutės:

= <0, 1, -1> + t <1, 1, -2> ir = <0, 1, -1> + s <1, -1, 2>

Jie visiškai yra hiperboliniame paraboloide z = x ² - y ^2, einančiame per tašką (0, 1, -1).

Tarkime, tarkime, kad t = 1, kuris duoda tašką (1,2, -3) pirmoje eilutėje. Jūs turite patikrinti, ar jis taip pat yra ant paraboloido z = x ² - y ² :

-3 = 1 ² - 2 ² = 1 - 4 = -3

Tai patvirtina, kad jis iš tikrųjų priklauso hiperbolinio paraboloido paviršiui.

Hiperbolinis paraboloidas architektūroje

6 pav. Valensijos (Ispanija) okeanografija. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Hiperbolinį paraboloidą architektūroje panaudojo didieji avangardo architektai, tarp kurių išsiskiria ispanų architekto Antoni Gaudí (1852–1926) ir ypač Ispanijos Félix Candela (1910–1997) vardai.

Žemiau yra keletas darbų, pagrįstų hiperboliniu paraboloidu:

-Kernavakos (Meksika) miesto koplyčia, architekto Félix Candela darbas.

- Valensijos (Ispanija) okeanografija, taip pat Félix Candela.

Nuorodos

1. Matematikos enciklopedija. Valdytas paviršius. Atkurta iš: encyclopediaofmath.org
2. Llera Rubén. Hiperbolinis paraboloidas. Atkurta iš: rubenllera.wordpress.com
3. Weisstein, Eric W. „Hiperbolinis paraboloidas“. Iš „MathWorld“ - „Wolfram“ žiniatinklio šaltinis. Atkurta iš: mathworld.wolfram.com
4. Vikipedija. Paraboloidas. Atkurta iš: en.wikipedia.com
5. Vikipedija. Paraboloidas. Atkurta iš: es.wikipedia.com
6. Vikipedija. Valdo paviršių. Atkurta iš: en.wikipedia.com