LYGIAGRETAINIS: CHARAKTERISTIKOS, TIPAI, PLOTAS, TŪRIS - MATEMATIKA - 2025

Gretasienis yra geometrinis kūnas sudarytas iš šešių veidų, pagrindinė savybė yra tai, kad visi jo paviršių yra parallelograms ir taip pat, kad jos priekinė pusė yra priešais lygiagrečios viena kitai. Tai yra įprastas daugialypis elektronas mūsų kasdieniniame gyvenime, nes jį galime rasti batų dėžėse, plytos pavidale, mikrobangų krosnelės formoje ir kt.

Būdamas daugiakampis, lygiagretainis apgaubia baigtinį tūrį, o visi jo veidai yra plokšti. Tai prizmių, kurios yra daugiagyslės, kuriose visos jos viršūnės yra išdėstytos dviem lygiagrečiomis plokštumomis, grupės dalis.

Paralelepiped elementai

Veidai

Jie yra kiekvienas iš regionų, sudarytų iš paralelių schemų, kurios riboja paralelę. Lygiagretainis turi šešis veidus, kur kiekvienas veidas turi keturis gretimus veidus ir vieną priešais. Taip pat kiekvienas veidas yra lygiagretus savo priešingumui.

Kraštai

Jie yra bendra dviejų veidų pusė. Iš viso lygiagretainis turi dvylika kraštų.

Vertex

Tai yra bendras trijų veidų, esančių greta vienas kito, du taškai. Lygiagretainis turi aštuonias viršūnes.

Įstrižainė

Atsižvelgiant į du priešais vienas kitą esančius lygiagretainio kraštus, galime nubrėžti linijos segmentą, einantį nuo vieno veido viršūnės iki priešingo kito paviršiaus.

Šis segmentas yra žinomas kaip lygiagretainio įstrižainė. Kiekvienas lygiagretainis turi keturias įstrižas.

Centras

Tai taškas, kuriame susikerta visos įstrižainės.

Lygiagretainio bruožas

Kaip jau minėjome, šis geometrinis kūnas turi dvylika kraštų, šešis veidus ir aštuonias viršūnes.

Lygiagrečiu kampu galima atpažinti tris keturių briaunų sudarytus rinkinius, kurie yra lygiagrečiai vienas kitam. Be to, minėtų rinkinių kraštai taip pat turi tokią pačią ilgį.

Kita paralelinio vamzdžio savybė yra ta, kad jie yra išgaubti, tai yra, jei paimsime bet kurią tašką, priklausančią lygiagretainio vidui, segmentas, kurį nustato taškų pora, taip pat bus lygiagretainio viduje.

Be to, išgaubtos daugiagyslės lygiagretainiai vamzdžiai atitinka Eulerio daugianarės teoremą, kuri suteikia ryšį tarp veidų skaičiaus, kraštų skaičiaus ir viršūnių skaičiaus. Šis santykis pateikiamas kaip ši lygtis:

C + V = A + 2

Ši savybė yra žinoma kaip Eulerio savybė.

Kur C yra veidų skaičius, V - viršūnių skaičius ir A - kraštų skaičius.

Tipai

Mes galime klasifikuoti lygiagretainius pagal jų veidus į šiuos tipus:

Stačiatikių

Tai yra lygiagretainiai, kurių veidus sudaro šeši stačiakampiai. Kiekvienas stačiakampis yra statmenas tiems, kurie turi kraštą. Jie yra labiausiai paplitę mūsų kasdieniniame gyvenime, tai yra įprasta batų dėžučių ir plytų forma.

Įprastas kubas arba šešiakampis

Tai yra konkretus ankstesnio atvejis, kai kiekvienas iš veidų yra kvadratas.

Kubas taip pat yra geometrinių kūnų, vadinamų platoninėmis kietosiomis medžiagomis, dalis. Platoniška kieta medžiaga yra išgaubtas daugiakampis, kad jo abu paviršiai ir vidiniai kampai būtų vienodi.

Šermukšnis

Tai veido paralelė su rombais. Visi šie romai yra lygūs vienas kitam, nes turi bendrus briaunas.

Šermukšnis

Šeši jos veidai yra romboidai. Prisiminkite, kad romboidas yra daugiakampis, turintis keturias puses ir keturis kampus, lygius du prieš du. Rombai yra paralelės, kurios nėra nei kvadratai, nei stačiakampiai, nei rombai.

Kita vertus, įstrižos paralelepipeds yra tokios, kurių bent vienas aukštis nesutampa su jų kraštu. Į šią klasifikaciją galime įtraukti romboedrę ir romboedrę.

Įstrižainių skaičiavimas

Norėdami apskaičiuoti ortoedrono įstrižainę, galime naudoti Pitagoro teoremą R ³ .

Prisiminkite, kad ortoedronas turi savybę, kad kiekviena pusė yra statmena šonams, kurie turi kraštą. Iš šio fakto galime daryti išvadą, kad kiekvienas kraštas yra statmenas tiems, kurie turi viršūnę.

Norėdami apskaičiuoti stačiakampio įstrižainės ilgį, darome taip:

1. Mes apskaičiuojame vieno iš veido įstrižainę, kurią mes įdėsime kaip pagrindą. Tam mes naudojame Pitagoro teoremą. Pavadinkime šią įstrižainę d _b .

2. Tada su d _b galime sudaryti naują dešinįjį trikampį taip, kad minėto trikampio hipotenuzė būtų ieškomoji įstrižainė.

3. Dar kartą naudojame Pitagoro teoremą ir turime prielaidą, kad šios įstrižainės ilgis yra:

Kitas būdas įstrižaines apskaičiuoti grafiškiau - pridedant laisvųjų vektorių.

Prisiminkite, kad pridedami du laisvieji vektoriai A ir B, uždedant vektoriaus B uodegą su vektoriaus A galu.

Vektorius (A + B) yra tas, kuris prasideda nuo A uodegos ir baigiasi B galu.

Panagrinėkime lygiagretainį, kurio norime apskaičiuoti įstrižainę.

Kraštus identifikuojame patogiai orientuotais vektoriais.

Tada pridėsime šiuos vektorius ir gautas vektorius bus lygiagretainio įstrižainė.

Plotas

Lygiagretainio plotas pateikiamas pagal kiekvieno jo paviršiaus ploto sumą.

Jei kaip pagrindą nustatysime vieną iš šonų,

A _L + 2A _B = bendras plotas

Kur A _L yra lygus visų šonų, besiribojančių su pagrindu, plotų, vadinamų šoniniu plotu, sumai, o A _B yra pagrindo plotas.

Priklausomai nuo to, kokio tipo lygiagretainį mes dirbame, galime perrašyti šią formulę.

Ortoedrono plotas

Jis pateiktas pagal formulę

A = 2 (ab + bc + ca).

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į šį stačiakampį, kurio kraštinės a = 6 cm, b = 8 cm ir c = 10 cm, apskaičiuokite lygiagretainio plotą ir jo įstrižainės ilgį.

Naudodami ortoedrono ploto formulę turime tokią

A = 2 = 2 = 2 = 376 cm ² .

Atkreipkite dėmesį, kad kadangi tai yra ortodronas, jo keturių įstrižainių ilgis yra vienodas.

Naudodamiesi Pitagoro teorema erdvei, mes tokią turime

D = (6 ² + 8 ² + 10 ² ) ^1/2 = (36 + 64 + 100) ^1/2 = (200) ^1/2

Kubo plotas

Kadangi kiekvienas kraštas yra vienodo ilgio, mes turime, kad a = b ir a = c. Pakaitalas pagal ankstesnę formulę

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a ² ) = 6a ²

A = 6a ²

2 pavyzdys

Žaidimų pulto dėžutė yra formos kaip kubas. Jei norime šią dėžutę apvynioti dovanų pakavimu, kiek popieriaus išleistume žinodami, kad kubo kraštų ilgis yra 45 cm?

Naudodami kubo ploto formulę gauname tokią

A = 6 (45 cm) ² = 6 (2025 cm ² ) = 12150 cm ²

Romboedrono plotas

Kadangi visi jų veidai yra vienodi, tiesiog apskaičiuokite vieno iš jų plotą ir padauginkite jį iš šešių.

Turime išvadą, kad rombo plotą galima apskaičiuoti pagal jo įstrižaines pagal šią formulę

A _R = (Dd) / 2

Naudojant šią formulę paaiškėja, kad bendras romboedro plotas yra

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Dd.

3 pavyzdys

Tolesnio romboedrono paviršiai yra sudaryti iš rombo, kurio įstrižainės yra D = 7 cm ir d = 4 cm. Jūsų sritis bus

A = 3 (7cm) (4cm) = 84cm ² .

Romboedrono plotas

Norėdami apskaičiuoti romboedrono plotą, turime apskaičiuoti jį sudarančių romboidų plotą. Kadangi lygiagrečiai vamzdžiai įvykdo savybę, kad priešingos pusės turi tą patį plotą, šonus galime susieti trimis poromis.

Tokiu būdu mes turime, kad jūsų sritis bus

A _T = 2b ₁ h ₁ + 2b ₂ h ₂ + 2b ₃ h ₃

Kur b _i yra su šonais susieti pagrindai ir h _i jų santykinis aukštis atitinka šias pagrindus.

4 pavyzdys

Apsvarstykite šią paralelę,

kur A ir A pusės (priešingos jos pusės) pagrindas yra b = 10, o aukštis h = 6. Pažymėto ploto vertė bus

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B ir B 'turi b = 4 ir h = 6, taigi

A ₂ = 2 (4) (6) = 48

Taigi YC ir C 'turi b = 10 ir h = 5

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Pagaliau romboedro plotas yra

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Lygiagretainio tūris

Formulė, kuri suteikia mums lygiagretainio tūrį, yra jo veido paviršiaus ploto sandauga, atitinkanti tą veidą.

V = A _C h _C

Atsižvelgiant į lygiagretainio tipą, šią formulę galima supaprastinti.

Pavyzdžiui, mes turime, kad ortoedrono tūrį duotų

V = abc.

Kur a, b ir c žymi ortoedrono kraštų ilgį.

Ir konkrečiu atveju kubas yra

V = a ³

1 pavyzdys

Yra trys skirtingi slapukų dėžučių modeliai ir norite žinoti, kuriame iš šių modelių galite laikyti daugiau slapukų, tai yra kuris iš dėžių turi didžiausią tūrį.

Pirmasis yra kubas, kurio krašto ilgis yra = 10 cm

Jo tūris bus V = 1000 cm ³

Antrasis turi kraštus b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Todėl jo tūris yra V = 765 cm ³

O trečioji turi e = 9 cm, f = 9 cm ir g = 13 cm

O jo tūris yra V = 1053 cm ³

Todėl didžiausio tūrio dėžutė yra trečioji.

Kitas būdas gauti lygiagretainio tūrį yra naudoti vektorinę algebrą. Visų pirma, trigubo taško produktas.

Viena iš geometrinių aiškinimų, kuriuos turi trigubas skaliarinis sandauga, yra lygiagretainio vamzdžio tūris, kurio kraštinės yra trys vektoriai, turintys tą pačią viršūnę kaip atskaitos taškas.

Tokiu būdu, jei mes turime paralelę ir norime sužinoti, koks yra jos tūris, pakanka ją pavaizduoti koordinačių sistemoje R ^3, padarydami vieną iš jos viršūnių sutampančią su kilme.

Tada mes pavaizduojame kraštus, kurie sutampa ištakose su vektoriais, kaip parodyta paveikslėlyje.

Ir tokiu būdu mes turime, kad minėto lygiagretainio tūris yra duotas

V = - „AxB“ ∙ C-

Arba, atitinkamai, tūris yra 3 × 3 matricos, kurią sudaro kraštinių vektorių komponentai, lemiantis veiksnys.

2 pavyzdys

Atstovaujant šią gretasienio į mokslinius ³ matome, kad vektoriai, kurie lemia, kad yra tokia

u = (-1, -3,0), v = (5, 0, 0) ir w = (-0,25, -4, 4)

Naudojant trigubą skaliarinį produktą, kurį turime

V = - (uxv) ∙ w-

uxv = (-1, -3,0) x (5, 0, 0) = (0,0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, - 15) ∙ (-0,25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Iš to darome išvadą, kad V = 60

Dabar apsvarstykime šią R3 paralelę, kurios kraštus nulemia vektoriai

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ir C = (3, 4, 4)

Naudojant determinantus, gauname tai

Taigi mes turime tai, kad minėto paralelės vamzdžio tūris yra 112.

Abu yra lygiaverčiai tūrio apskaičiavimo būdai.

Puikiai lygiagreti

Stačiakampis yra žinomas kaip Eulerio plyta (arba Eulerio blokas), kuri įvykdo savybę, kad tiek jo kraštų ilgis, tiek kiekvieno veido paviršiaus įstrižainės yra sveikieji skaičiai.

Nors Euleris nebuvo pirmasis mokslininkas, tyręs šią savybę atitinkančią ortoedrą, jis rado apie juos įdomių rezultatų.

Mažiausią „Euler“ plytą atrado Paulius Halcke'as, o jos kraštų ilgis yra a = 44, b = 117 ir c = 240.

Atvira numerių teorijos problema yra tokia

Ar yra tobula ortoedra?

Šiuo metu į šį klausimą nebuvo atsakyta, nes nebuvo įmanoma įrodyti, kad tokių kūnų nėra, tačiau nė vienas jų nerastas.

Iki šiol buvo parodyta, kad egzistuoja puikūs paraleliniai vamzdžiai. Pirmasis aptiktas kraštų ilgis yra 103, 106 ir 271.

Bibliografija

1. Vaikinas, R. (1981). Neišspręstos skaičių teorijos problemos. Springeris.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometrija. Progresas.
3. Leithold, L. (1992). Skaičiavimas naudojant analitinę geometriją. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Techninis brėžinys: 3 veiklos knyga. 2-asis Bachillerato. Tebaras.
5. Resnick, R., Halliday, D., & Krane, K. (2001). „Physics“, 1 tomas. Meksika: žemynas.