- Svarbūs produktai ir pavyzdžiai
- Binominis kvadratas
- Konjuguotų binomialų produktas
- Dviejų žiūronų su bendru terminu produktas
- Polinomo kvadratas
- Dvinaris kubas
- Trejybės kubas
- Išspręsti žymių gaminių pratimai
- 1 pratimas
- Sprendimas
- 2 pratimas
- Sprendimas
- Nuorodos
Į nuostabūs produktai yra algebrinių operacijų, kuriose išreikštos daugybos polinomo, kurios nereikia būti išspręsta tradiciškai, tačiau su tam tikromis taisyklėmis pagalba galima rasti to paties rezultatai.
Polinomai dauginami iš taip, todėl gali būti, kad jie turi daug terminų ir kintamųjų. Kad procesas būtų trumpesnis, naudojamos žymios gaminio taisyklės, kurios leidžia daugintis, nesigilinant į terminą.
Svarbūs produktai ir pavyzdžiai
Kiekvienas pastebimas produktas yra formulė, gauta faktorizuojant, sudaryta iš kelių terminų polinomų, tokių kaip dvinariai ar trinominiai, vadinami faktoriais.
Veiksniai yra galios pagrindas ir turi eksponentą. Kai koeficientai padauginami, reikia sudėti eksponentus.
Yra keletas puikių produktų formulių, kai kurios yra labiau naudojamos nei kitos, atsižvelgiant į polinomus, ir jos yra šios:
Binominis kvadratas
Tai yra binomijos dauginimas, išreikštas galia, kai terminai pridedami arba atimami:
į. Binominė kvadratinės sumos suma: ji yra lygi pirmosios kadencijos kvadratui, pridėjus dvigubai daugiau terminų sandaugos, plius antros kadencijos kvadratui. Jis išreiškiamas taip:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Kitame paveikslėlyje galite pamatyti, kaip produktas vystosi pagal minėtą taisyklę. Rezultatas vadinamas tobulos kvadrato trinariu.
1 pavyzdys
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
2 pavyzdys
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
b. Kvadrato atimties dvinaris binas : galioja ta pati sumos binomio taisyklė, tik šiuo atveju antrasis terminas yra neigiamas. Jos formulė yra tokia:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
1 pavyzdys
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36.
Konjuguotų binomialų produktas
Du binomai yra konjuguojami, kai antrieji dėmenys turi skirtingus ženklus, tai yra, pirmasis yra teigiamas, o antrasis neigiamas arba atvirkščiai. Tai išspręsta suskaidžius kiekvieną monomitą ir atimant. Jos formulė yra tokia:
(a + b) * (a - b)
Toliau pateiktame paveikslėlyje pateiktas dviejų konjuguotų binominių junginių sandauga, kai pastebima, kad rezultatas yra kvadratų skirtumas.
1 pavyzdys
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
Dviejų žiūronų su bendru terminu produktas
Tai yra vienas iš sudėtingiausių ir retai naudojamų žymių gaminių, nes tai yra dviejų binomų, kurie turi bendrą terminą, padauginimas. Taisyklėje nurodoma:
- Bendrojo termino kvadratas.
- Plius sudėti terminus, kurie nėra įprasti, tada padauginkite juos iš bendro termino.
- Plius nedaug vartojamų terminų daugybos suma.
Jis pavaizduotas formulėje: (x + a) * (x + b) ir kuriamas taip, kaip parodyta paveikslėlyje. Rezultatas yra netobulas kvadratinis trinomas.
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54.
Yra galimybė, kad antrasis terminas (skirtingas terminas) yra neigiamas, o jo formulė yra tokia: (x + a) * (x - b).
2 pavyzdys
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8.
Taip pat gali būti, kad abu skirtingi terminai yra neigiami. Jo formulė bus: (x - a) * (x - b).
3 pavyzdys
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30.
Polinomo kvadratas
Šiuo atveju yra daugiau nei du terminai, ir norint jį sukurti, kiekvienas iš jų yra padalijamas į kvadratą ir pridedamas du kartus padauginus vieną iš kitų; jos formulė: (a + b + c) 2 , o operacijos rezultatas yra kvadrato formos trinomija.
1 pavyzdys
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Dvinaris kubas
Tai nepaprastai sudėtingas produktas. Norėdami ją sukurti, binomialis padauginamas iš jo kvadrato:
į. Už binominį kubo sumą:
- Pirmos kadencijos kubas plius trigubas pirmosios kadencijos kvadratas ir antrosios kartas.
- Plius pirmosios kadencijos trigubas, antrosios kvadratas.
- Plius antros kadencijos kubas.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a 2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 .
1 pavyzdys
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 a 2 + 27a + 27.
b. Dvimetės atimties kubeliais:
- Pirmos kadencijos kubas, atėmus tris kartus pirmosios kadencijos kvadratą, antrą kartą.
- Plius pirmosios kadencijos trigubas, antrosios kvadratas.
- Atėmus antros kadencijos kubą.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
2 pavyzdys
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125.
Trejybės kubas
Jis kuriamas padauginus iš kvadrato. Tai labai platus puikus produktas, nes jūs turite 3 dėmenis supjaustyti kubeliais, plius tris kartus kiekvieną terminą padalijus į kvadratą, padaugintą iš kiekvieno termino, plius šešis kartus iš trijų terminų sandaugos. Žiūrint geriau:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc.
1 pavyzdys
Išspręsti žymių gaminių pratimai
1 pratimas
Išskleiskite šiuos dvejetainius kubus: (4x - 6) 3 .
Sprendimas
Prisimenant, kad dvinaris kubo formos dydis yra lygus pirmajam kablelio žodžiui, atėmus tris kartus iš pirmo kablelio kvadrato, antrą kartą; plius pirmosios kadencijos trigubas, antrosios kvadratūros kartus, atėmus antros kadencijos kubą.
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36.
2 pratimas
Sukurkite šią binominę: (x + 3) (x + 8).
Sprendimas
Yra binomas, kuriame yra bendras terminas, kuris yra x, o antrasis terminas yra teigiamas. Norėdami jį sukurti, turite tik pažymėti bendrąjį terminą, pridėdami nebendrinčių terminų sumą (3 ir 8), tada padauginkite juos iš bendro termino, pridėdami ne bendrinių terminų daugybos sumą.
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24.
Nuorodos
- Angelas, AR (2007). Pradinė algebra. „Pearson Education“,.
- Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
- Das, S. (nd). „Maths Plus“ 8. Jungtinė Karalystė: Ratna Sagar.
- Jerome E. Kaufmann, KL (2011). Pradinė ir tarpinė algebra: kombinuotas požiūris. Florida: „Cengage“ mokymasis.
- Pérez, CD (2010). „Pearson Education“.