ASOCIACINĖ SAVYBĖ: SUDĖJIMAS, DAUGYBA, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Asociatyvumas nuo to atstovauja Association charakterį papildymo operacijos įvairių matematinių rinkinių. Jame trys (ar daugiau) minėtų rinkinių elementai yra susiję, vadinami a, b ir c, kad visada būtų tiesa:

a + (b + c) = (a + b) + c

Tokiu būdu garantuojama, kad, nepaisant to, kaip grupuoti operaciją, rezultatas bus tas pats.

1 paveikslas. Atlikdami aritmetines ir algebrines operacijas, daug kartų naudojame asociacinę savybę. (Brėžinys: „freepik“ kompozicija: F. Zapata)

Tačiau reikia pažymėti, kad asociatyvioji savybė nėra komutacinės savybės sinonimas. Tai yra, mes žinome, kad priedų tvarka nekeičia sumos arba kad veiksnių tvarka nekeičia produkto. Taigi sumą galima parašyti taip: a + b = b + a.

Tačiau asociatyvinėje nuosavybėje jis skiriasi, nes išlaikoma pridedamų elementų tvarka ir tai, kas keičiasi, pirmiausia atliekama operacija. Tai reiškia, kad pridedant pirmąjį (b + c) ir pridedant a prie šio rezultato nėra svarbu, nei pradėti pridėti „a“ prie rezultato pridedant c.

Daugelis svarbių operacijų, tokių kaip papildymas, yra asociatyvios, tačiau ne visos. Pavyzdžiui, atimant realiuosius skaičius atsitinka taip:

a - (b - c) ≠ (a - b) - c

Jei a = 2, b = 3, c = 1, tada:

2– (3 - 1) ≠ (2 - 3) - 1

0 ≠ -2

Asociacinė daugybos savybė

Kaip buvo padaryta pridedant, asociatyvioji dauginimo savybė teigia, kad:

a ˟ (b ˟ c) = (a ˟ b) ˟ c

Realiųjų skaičių aibės atveju lengva įsitikinti, kad taip yra visada. Pavyzdžiui, naudodami reikšmes a = 2, b = 3, c = 1, turime:

2 _˟ (3 _˟ 1) = (2 _˟ 3) _˟ 1 → 2 _˟ 3 = 6 _˟ 1

6 = 6

Realieji skaičiai įvykdo asociacinę ir sudėjimo, ir daugybos savybę. Kita vertus, kitame rinkinyje, tokiame kaip vektoriai, suma yra asociatyvi, tačiau kryžminis produktas ar vektoriaus sandauga nėra.

Asociatyvinės daugybos savybės taikymai

Operacijų, kurių metu vykdoma asociacinė savybė, pranašumas yra galimybė grupuoti patogiausiu būdu. Tai padaro žymiai lengvesnį.

Pavyzdžiui, tarkime, kad mažoje bibliotekoje yra 3 lentynos, kiekvienoje yra po 5 lentynas. Kiekvienoje lentynoje yra 8 knygos. Kiek iš viso yra knygų?

Operaciją galime atlikti taip: iš viso knygų = (3 x 5) x 8 = 15 x 8 = 120 knygų.

Arba taip: 3 x (5 x 8) = 3 x 40 = 120 knygų.

2 paveikslas. Taikant asociatyviąją daugybos savybę, reikia apskaičiuoti knygų skaičių kiekvienoje lentynoje. Atvaizdą sukūrė F. Zapata.

Pavyzdžiai

-Natūraliųjų, sveikųjų, racionaliųjų, realiųjų ir sudėtingųjų skaičių aibėse įvykdoma asociatyvioji sudėjimo ir daugybos savybė.

3 pav. Realių skaičių atveju įvykdyta asociatyvioji sudėjimo savybė. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

- Polinomams jie taip pat taikomi atliekant šias operacijas.

- Atimant, dalijant ir plečiant operacijas, asociatyvinė savybė netaikoma realiesiems skaičiams ar polinomams.

-Matricų atveju asociatyvinė savybė įvykdoma sudėjus ir padauginus, nors pastaruoju atveju komutacinis aktyvumas nėra įvykdytas. Tai reiškia, kad atsižvelgiant į A, B ir C matricas, tiesa:

(A x B) x C = A x (B x C)

Bet … A x B ≠ B x A

Asociacinė savybė vektoriuose

Vektoriai sudaro kitokią nei realieji ar kompleksiniai skaičių aibę. Vektorių rinkiniui apibrėžtos operacijos yra šiek tiek skirtingos: yra sudėjimo, atimties ir trijų rūšių produktai.

Vektorių suma įvykdo asociacinę savybę, kaip ir skaičiai, polinomai ir matricos. Kalbant apie skaliarinius produktus, tarp vektorių sudarytą skaliarų ir kryžminį ryšį, kuris yra padarytas tarp vektorių, tai pastarasis jo nevykdo, tačiau skaliarinis sandauga, kuri yra dar viena operacijos rūšis tarp vektorių, ją įvykdo, atsižvelgdama į tai:

-Skaliarų ir vektorių sandauga lemia vektorių.

-Ir kai skaliariai padauginus du vektorius, gaunamas skalaras.

Taigi, atsižvelgiant į vektorius v , u ir w bei papildomai skalę λ, galima parašyti:

- Vektorių suma: v + ( u + w ) = ( v + u) + w

-Skaliarinis produktas: λ ( v • u ) = (λ v ) • u

Pastaroji yra įmanoma dėl to, kad v • u yra skaliarinis, o λ v yra vektorius.

Tačiau:

v × ( u × w ) ≠ ( v × u) × w

Polinomų faktorizavimas grupuojant terminus

Ši programa yra labai įdomi, nes, kaip buvo pasakyta anksčiau, asociatyvinė savybė padeda išspręsti tam tikras problemas. Monomolių suma yra asociatyvi ir tai gali būti naudojama faktoringui, kai akivaizdus bendras veiksnys neatrodo iš pirmo žvilgsnio.

Pvz., Tarkime, jūsų paprašys atsižvelgti į: x ³ + 2 x ² + 3 x +6. Šis polinomas neturi bendro faktoriaus, bet pažiūrėkime, kas atsitiks, jei jis bus sugrupuotas taip:

Pirmasis skliaustas turi bendrą ašies ² faktorių :

Antrajame dažnis yra 3:

Pratimai

- 1 pratimas

Mokyklos pastatas yra 4 aukštų, kiekviename iš jų yra 12 kabinetų, kurių viduje yra 30 stalų. Kiek stalų yra mokykloje?

Sprendimas

Ši problema išspręsta pritaikius asociacinę daugybos savybę, pažiūrėkime:

Bendras rašomųjų stalų skaičius = 4 aukštai x 12 klasių / grindų x 30 rašomųjų stalų = (4 x 12) x 30 rašomieji stalai = 48 x 30 = 1440 rašomieji stalai.

Arba, jei norite: 4 x (12 x 30) = 4 x 360 = 1440 stalai

- 2 pratimas

Atsižvelgiant į polinomus:

A (x) = 5x ³ + 2x ² -7x + 1

B (x) = x ⁴ + 6x ³ -5x

C (X) = -8 k ² + 3x -7

Norėdami rasti A (x) + B (x) + C (x), naudokite asociatyvią pridėjimo savybę.

Sprendimas

Galite sugrupuoti pirmuosius du ir prie rezultato pridėti trečiąjį:

A (x) + B (x) = + = x ⁴ + 11x ³ + 2x ² -12x +1

Iškart pridedama polinomas C (x):

+ = x ⁴ + 11x ³ - 6x ² -9x -6

Skaitytojas gali patikrinti, ar rezultatas yra identiškas, jei jis išspręstas pasirinkus A (x) +.

Nuorodos

1. Jiménez, R. 2008. Algebra. Prentice salė.
2. Matematika yra smagi Komutaciniai, asociaciniai ir paskirstomieji įstatymai. Atkurta iš: mathisfun.com.
3. Matematikos sandėlis. Asociacinio turto apibrėžimas. Atkurta iš: mathwarehouse.com.
4. Mokslas. Asociatyvi ir komutacinė sudėjimo ir daugybos savybės (su pavyzdžiais). Atgauta iš: sciencing.com.
5. Vikipedija. Asociacinis turtas. Atkurta iš: en.wikipedia.org.