„ALGEBRA“ UŽRAKTAS: ĮRODYMAS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Užraktas nuosavybė algebra yra reiškinys, susijęs su dvi elementų rinkinys su operacija, kur būtina sąlyga yra tai, kad po to, kai 2 elementai tvarkomi pagal minėtą operaciją, rezultatas taip pat priklauso pradinio rinkinio.

Pvz., Jei lyginiai skaičiai imami kaip rinkinys, o suma - kaip operacija, mes gauname to rinkinio užraktą sumos atžvilgiu. Taip yra todėl, kad 2 lyginių skaičių suma visada duos kitą lyginį skaičių, tokiu būdu įvykdydama užrakto sąlygą.

Šaltinis: unsplash.com

charakteristikos

Yra daugybė savybių, kurios lemia algebrines erdves ar kūnus, pavyzdžiui, struktūras ar žiedus. Tačiau užrakto ypatybė yra viena iš geriausiai žinomų pagrindinėje algebroje.

Ne visos šios savybės yra pagrįstos skaitmeniniais elementais ar reiškiniais. Daugybę kasdienių pavyzdžių galima panaudoti remiantis vien tik algebriniu-teoriniu požiūriu.

Pavyzdžiu gali būti šalies piliečiai, prisiimantys bet kokius teisinius santykius, pavyzdžiui, komercinę partnerystę ar santuoką. Atlikus šią operaciją ar valdymą, jie lieka šalies piliečiais. Tokiu būdu pilietybės ir valdymo operacijos, susijusios su dviem piliečiais, reiškia spyną.

Skaitinė algebra

Kalbant apie skaičius, yra daugybė aspektų, kurie buvo tiriami skirtingomis matematikos ir algebros srovėmis. Šių tyrimų metu atsirado daugybė aksiomų ir teoremų, kurios yra šiuolaikinių tyrimų ir darbo teorinis pagrindas.

Jei mes dirbame su skaičių rinkiniais, galime nustatyti kitą galiojantį užrakto ypatybės apibrėžimą. Sakoma, kad rinkinys A yra kito rinkinio B užraktas, jei A yra mažiausias rinkinys, kuriame yra visi rinkiniai ir operacijos, kuriuos sudaro B.

Demonstracija

Užraktas įrodytas elementams ir operacijoms, esančioms realiųjų skaičių aibėje R.

Tegul A ir B yra du skaičiai, priklausantys rinkiniui R, šių elementų uždarymas apibrėžiamas kiekvienai operacijai, esančiai R.

Suma

- Suma: ∀ A ˄ B ∈ R → A + B = C ∈ R

Tai yra algebrinis būdas pasakyti, kad visiems A ir B, priklausantiems tikriesiems skaičiams, mes turime, kad A plius B suma yra lygi C, kuri taip pat priklauso tikriesiems.

Nesunku patikrinti, ar ši nuostata teisinga; pakanka atlikti sumą tarp bet kurio realaus skaičiaus ir patikrinti, ar rezultatas taip pat priklauso tikriesiems skaičiams.

3 + 2 = 5 ∈ R

-2 + (-7) = -9 ∈ R

-3 + 1/3 = -8/3 ∈ R

5/2 + (-2/3) = 11/6 ∈ R

Pastebėta, kad užrakto sąlyga įvykdyta realiesiems skaičiams ir sumai. Tokiu būdu galima daryti išvadą: realiųjų skaičių suma yra algebrinė užraktas.

Daugyba

- Daugyba: ∀ A ˄ B ∈ R → A. B = C ∈ R

Visiems A ir B, priklausantiems reals, mes turime, kad A padauginimas iš B yra lygus C, kuris taip pat priklauso reals.

Tikrinant tuos pačius ankstesnio pavyzdžio elementus, stebimi šie rezultatai.

3 x 2 = 6 ∈ R

-2 x (-7) = 14 ∈ R

-3 x 1/3 = -1 ∈ R

5/2 x (-2/3) = -5/3 ∈ R

Tai yra pakankamai įrodymų, kad būtų padaryta išvada: Realiųjų skaičių daugyba yra algebrinė užraktas.

Šis apibrėžimas gali būti taikomas visoms realiųjų skaičių operacijoms, nors rasime tam tikrų išimčių.

Šaltinis: pixabay.com

Ypatingi atvejai R

Skyrius

Pirmasis ypatingas atvejis yra padalijimas, kai matoma ši išimtis:

∀ A ˄ B ∈ R → A / B ∉ R ↔ B = 0

Visiems A ir B, priklausantiems R, mes turime tai, kad A tarp B nepriklauso valiutoms, jei ir tik tada, kai B yra lygus nuliui.

Šis atvejis susijęs su apribojimu negalėti padalyti iš nulio. Kadangi nulis priklauso tikriesiems skaičiams, tada darytina išvada: padalijimas nėra spynelė ant rifų.

Padavimas

Taip pat yra potenciacijos operacijų, konkrečiau radikalizacijos, kai radikalios galios lygiaverčio indekso išimtims pateikiamos išimtys:

Visiems A, priklausantiems reals, n-oji A šaknis priklauso reals, tada ir tik tuo atveju, jei A priklauso teigiamiesiems reals, sujungtiems su rinkiniu, kurio vienintelis elementas lygus nuliui.

Tokiu būdu pažymima, kad lygios šaknys galioja tik teigiamiems realsams, ir daroma išvada, kad potencijavimas nėra R spynos užraktas.

Logaritmas

Homologiniu būdu galima pastebėti logaritminę funkciją, kuri nėra apibrėžta, kai vertės yra mažesnės ar lygios nuliui. Norėdami patikrinti, ar logaritmas yra R užraktas, atlikite šiuos veiksmus:

Visiems A, priklausantiems reals, A logaritmas priklauso reals, jei ir tik tada, jei A priklauso teigiamiems reals.

Išskyrus neigiamas reikšmes ir nulį, kurie taip pat priklauso R, galima teigti, kad:

Logaritmas nėra realiųjų skaičių užraktas.

Pavyzdžiai

Patikrinkite, ar spynelėje nėra natūraliųjų skaičių sudėjimo ir atėmimo:

Suma N

Pirmas dalykas yra patikrinti užrakto būklę skirtingiems duoto rinkinio elementams. Jei pastebima, kad kai kurie elementai suyra su šia sąlyga, užrakto buvimas gali būti automatiškai paneigtas.

Ši savybė galioja visoms įmanomoms A ir B reikšmėms, kaip matyti atliekant šias operacijas:

1 + 3 = 4 ∈ šiaurės

5 + 7 = 12 ∈ šiaurės

1 000 + 10000 = 11 000 ∈ N

Nėra jokių natūralių vertybių, kurios pažeistų spynos būklę, todėl daroma išvada:

Suma yra užraktas N.

Atimkite N

Ieškomi natūralūs elementai, galintys sugadinti būklę; A - B priklauso vietiniams gyventojams.

Valdant lengva rasti natūralių elementų, neatitinkančių užrakto sąlygų, poras. Pavyzdžiui:

7 - 10 = -3 ∉ a N

Tokiu būdu galime daryti išvadą, kad:

Atimtis nėra natūraliųjų skaičių aibės užraktas.

Siūlomi pratimai

1 - Parodykite, ar užrakto savybė įvykdyta racionaliųjų skaičių aibėje Q, operacijų sudėjimui, atėmimui, dauginimui ir dalijimui.

2 - Paaiškinkite, ar realiųjų skaičių aibė yra sveikųjų skaičių aibė.

3 - nustatykite, kuri skaitinė aibė gali būti realiųjų skaičių užraktas.

4-Įrodykite spynos savybę įsivaizduojamų skaičių rinkiniui sudėti, atimti, dauginti ir dalyti.

Nuorodos

1. Grynos matematikos panorama: „Bourbakist“ pasirinkimas. Jeanas Dieudonné. „Reverte“, 1987 m.
2. Algebrinių skaičių teorija. Alejandro J. Díaz Barriga, Ana Irene Ramírez, Francisco Tomás. Nacionalinis Meksikos autonominis universitetas, 1975 m.
3. Tiesinė algebra ir jos taikymai. Sandra Ibeth Ochoa García, Eduardo Gutiérrez González.
4. Algebrinės struktūros V: kūno teorija. Hektorius A. Merklenas. Amerikos valstybių organizacija, Generalinis sekretoriatas, 1979 m.
5. Įvadas į komutacinę algebrą. Michaelas Francis Atiyah, IG MacDonald. „Reverte“, 1973 m.