LYGYBĖS SAVYBĖS - MATEMATIKA - 2025

Į lygybės savybės ieškokite tarp dviejų matematinių objektų santykiams, ar jie yra numeriai ar kintamieji. Jis žymimas simboliu "=", kuris visada eina tarp šių dviejų objektų. Ši išraiška naudojama nustatyti, ar du matematiniai objektai žymi tą patį objektą; kitaip tariant, kad du objektai yra tas pats dalykas.

Yra atvejų, kai lygybė yra nereikšminga. Pavyzdžiui, akivaizdu, kad 2 = 2. Tačiau kai kalbama apie kintamuosius, jie nebėra nereikšmingi ir turi tam tikrą paskirtį. Pvz., Jei turime, kad y = x, ir, kita vertus, x = 7, galime daryti išvadą, kad ir y = 7.

Aukščiau pateiktas pavyzdys grindžiamas viena iš lygybės savybių, kaip pamatysite netrukus. Šios savybės yra būtinos norint išspręsti lygtis (lygybes su kintamaisiais), kurios sudaro labai svarbią matematikos dalį.

Kokios yra lygybės savybės?

Atspindintis turtas

Refleksinė savybė lygybės atveju teigia, kad kiekvienas skaičius yra lygus sau ir išreiškiamas b = b bet kuriam realiajam skaičiui b.

Konkrečiu lygybės atveju ši savybė atrodo akivaizdi, tačiau kituose santykiuose tarp skaičių ji nėra. Kitaip tariant, ne kiekvienas realaus skaičiaus santykis atitinka šią savybę. Pvz., Toks santykio „mažiau nei“ (<) atvejis; nė vienas skaičius nėra mažesnis už save.

Simetrinė savybė

Simetrinė lygybės savybė sako, kad jei a = b, tai b = a. Nesvarbu, kokia tvarka yra naudojama kintamiesiems, ją išlaikys lygybės santykis.

Papildymo atveju galima pastebėti tam tikrą šios savybės analogiją su komutacine savybe. Pvz., Dėl šios savybės jis yra lygus parašymui y = 4 arba 4 = y.

Pereinamasis turtas

Pereinamojoji lygybės savybė teigia, kad jei a = b ir b = c, tada a = c. Pavyzdžiui, 2 + 7 = 9 ir 9 = 6 + 3; todėl pagal pereinamąją savybę turime 2 + 7 = 6 + 3.

Paprasta programa yra tokia: tarkime, kad Julianui yra 14 metų, o Mario yra tokio paties amžiaus kaip Rosa. Jei Rosa yra tokio amžiaus kaip Julián, kiek metų yra Mario?

Pagal šį scenarijų pereinamasis turtas naudojamas du kartus. Matematiškai jis aiškinamas taip: tebūnie „a“ Mario amžius, „b“ Rosa ir „c“ Julian amžius. Yra žinoma, kad b = c ir kad c = 14.

Pagal pereinamąją savybę turime, kad b = 14; tai yra, Rosa yra 14 metų. Kadangi a = b ir b = 14, dar kartą panaudodami pereinamąją savybę, turime a = 14; y., Mario amžius taip pat yra 14 metų.

Vieningas turtas

Vienoda savybė yra ta, kad jei abi lygybės pusės yra pridedamos arba padaugintos iš vienodo dydžio, lygybė išsaugoma. Pavyzdžiui, jei 2 = 2, tada 2 + 3 = 2 + 3, tai aišku, nes 5 = 5. Ši savybė yra naudingiausia bandant išspręsti lygtį.

Pavyzdžiui, tarkime, kad jūsų paprašyta išspręsti lygtį x-2 = 1. Patogu atsiminti, kad lygties sprendimas yra aiškus dalyvaujančio kintamojo (arba kintamųjų) nustatymas remiantis konkrečiu skaičiumi arba anksčiau nurodytu kintamuoju.

Grįžtant prie lygties x-2 = 1, ką turite padaryti, tai aiškiai supraskite, kiek x verta. Norėdami tai padaryti, kintamasis turi būti išvalytas.

Klaidingai išmokyta, kad šiuo atveju skaičius 2 yra neigiamas, o teiginio ženklu jis pereina į kitą lygybės pusę. Tačiau neteisinga taip sakyti.

Iš esmės tai, ką darote, yra vienodos nuosavybės pritaikymas, kaip pamatysime toliau. Idėja yra išvalyti „x“; y., palikite jį ramybėje vienoje iš lygties pusių. Pagal susitarimą jis paprastai paliekamas kairėje pusėje.

Šiuo tikslu skaičius „pašalinti“ yra -2. Tai galima padaryti pridedant 2, nes -2 + 2 = 0 ir x + 0 = 0. Norint tai padaryti nepakeičiant lygybės, tą pačią operaciją reikia atlikti ir kitai pusei.

Tai leidžia mums suvokti vienodą savybę: kadangi x-2 = 1, jei skaičius 2 pridedamas iš abiejų lygybės pusių, vienoda savybė sako, kad ji nepakinta. Tada mes turime tą x-2 + 2 = 1 + 2, kuris yra lygus sakymui, kad x = 3. Su tuo lygtis būtų išspręsta.

Panašiai, jei norite išspręsti lygtį (1/5) y-1 = 9, galite tęsti naudodami vienodą savybę taip:

Apskritai galima pateikti šiuos teiginius:

- Jei ab = cb, tada a = c.

- Jei xb = y, tada x = y + b.

- Jei (1 / a) z = b, tada z = a ×

- Jei (1 / c) a = (1 / c) b, tada a = b.

Nuosavybės atšaukimas

Panaikinimo savybė yra konkretus vienodo turto atvejis, ypač atsižvelgiant į atimties ir padalijimo atvejus (kurie iš esmės taip pat atitinka sudėjimą ir daugybą). Ši savybė šį atvejį vertina atskirai.

Pvz., Jei 7 + 2 = 9, tada 7 = 9-2. Arba jei 2y = 6, tada y = 3 (dalijant iš dviejų iš abiejų pusių).

Analogiškai ankstesniam atvejui, atšaukiant nuosavybę, galima nustatyti šiuos teiginius:

- Jei a + b = c + b, tada a = c.

- Jei x + b = y, tada x = yb.

- Jei az = b, tada z = b / a.

- Jei ca = cb, tada a = b.

Pakaitalas turtas

Jei mes žinome matematinio objekto vertę, pakaitalo savybė teigia, kad šią reikšmę galima pakeisti bet kuria lygtimi ar išraiška. Pvz., Jei b = 5 ir a = bx, pakeisdami „b“ reikšmę antrojoje lygyje, turime, kad a = 5x.

Kitas pavyzdys yra toks: jei „m“ dalija „n“, o taip pat „n“ dalija „m“, tai mes turime tą m = n.

Iš tikrųjų sakyti, kad „m“ dalijasi „n“ (arba lygiavertiškai, kad „m“ yra „n“ daliklis), reiškia, kad m ÷ n padalijimas yra tikslus; tai yra, padalijus „m“ iš „n“, gaunamas sveikas skaičius, o ne dešimtainis. Tai galima išreikšti teigiant, kad egzistuoja sveikasis skaičius "k", kad m = k × n.

Kadangi "n" taip pat dalija "m", tada egzistuoja toks sveikas skaičius "p", kad n = p × m. Dėl pakeitimo savybės mes turime, kad n = p × k × n, ir tam, kad tai įvyktų, yra dvi galimybės: n = 0, tokiu atveju turėtume tapatybę 0 = 0; op × k = 1, taigi tapatumas n = n.

Tarkime, kad „n“ yra nulis. Tada būtinai p × k = 1; todėl p = 1 ir k = 1. Dar kartą naudodamiesi pakaitalais, pakeisdami k = 1 lygyje m = k × n (arba lygiavertiškai, p = 1 n = p × m), mes galiausiai gauname tą m = n, ką ir norėjome įrodyti.

Jėgos nuosavybė lygybėje

Kaip ir anksčiau buvo matyti, kad jei tokios operacijos kaip sudėjimas, daugyba, atimtis ar padalijimas atliekamos abiem lygybės sąlygomis, ji išsaugoma, tokiu pat būdu gali būti pritaikytos ir kitos operacijos, nepakeičiančios lygybės.

Svarbiausia yra visada tai atlikti iš abiejų lygybės pusių ir iš anksto įsitikinti, ar operacija gali būti atlikta. Tai yra įgalinimo atvejis; y., jei abi lygties pusės yra pakeliamos į tą pačią galią, mes vis tiek turime lygybę.

Pavyzdžiui, kadangi 3 = 3, taigi 3 ² = 3 ² (9 = 9). Apskritai, pateikus sveikąjį skaičių „n“, jei x = y, tada x ⁿ = y ⁿ .

Šaknies nuosavybė lygybėje

Tai yra konkretus įgalinimo atvejis ir taikomas, kai galia yra racionalusis skaičius, kuris nėra sveikasis skaičius, pavyzdžiui, ½, kuris žymi kvadratinę šaknį. Ši savybė teigia, kad jei abiem lygybės pusėms taikoma ta pati šaknis (kai tik įmanoma), lygybė išsaugoma.

Skirtingai nuo ankstesnio atvejo, čia turite būti atidūs taikytinos šaknies paritetui, nes gerai žinoma, kad net neigiamas neigiamas skaičius nėra tiksliai apibrėžtas.

Tuo atveju, jei radikalas yra tolygus, problemos nėra. Pavyzdžiui, jei x ³ = -8, net jei tai yra lygybė, pvz., Negalima pritaikyti kvadratinės šaknies abiem pusėms. Tačiau jei galite pritaikyti kubo šaknį (tai dar patogiau, jei norite aiškiai žinoti x reikšmę), tokiu būdu gaukite x = -2.

Nuorodos

1. Aylwin, CU (2011). Logika, rinkiniai ir skaičiai. Mérida - Venesuela: Leidinių taryba, Universidad de Los Andes.
2. Jiménez, J., Rofríguez, M., & Estrada, R. (2005). Matematika 1 Rugsėjis. Slenkstis.
3. Lira, ML (1994). Simonas ir matematika: matematikos tekstas antrajai klasei: mokinio knyga. Andresas Bello.
4. Preciado, CT (2005). 3-asis matematikos kursas. „Progreso“ redakcija.
5. Segovija, BR (2012). Matematiniai užsiėmimai ir žaidimai su Miguel ir Lucía. „Baldomero Rubio Segovia“.
6. Toral, C., & Preciado, M. (1985). 2-as matematikos kursas. „Progreso“ redakcija.