SUDĖTINIS PROPORCINGUMAS: PAAIŠKINIMAS, SUDĖTINĖ TRIJŲ TAISYKLIŲ TAISYKLĖ, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Sudėtinis arba sudėtinis proporcingumas yra daugiau nei du dydžių santykis, kuris gali būti tiesiogiai stebimas ir atvirkštinis proporcingumas tarp duomenų ir nežinią. Tai yra sudėtingesnė paprasto proporcingumo versija, nors abiejose procedūrose naudojami metodai yra panašūs.

Pvz., Jei 7 žmonėms reikia iškrauti 10 tonų prekių per 3 valandas, sudėtinis proporcingumas gali būti naudojamas apskaičiuojant, kiek žmonių reikės iškrauti 15 tonų per 4 valandas.

Šaltinis: pixabay.com

Norint atsakyti į šį klausimą, patogu sudaryti vertybių lentelę, kad būtų galima ištirti ir susieti dydžius ir nežinomus dalykus.

Toliau analizuojame santykio tipus tarp kiekvieno dydžio ir dabartinio nežinomo, kuris šiuo atveju atitinka žmonių, kurie dirbs, skaičių.

Didėjant prekių svoriui, didėja žmonių, reikalingų ją iškrauti, skaičius. Dėl šios priežasties svorio ir darbuotojų santykiai yra tiesioginiai.

Kita vertus, didėjant darbuotojų skaičiui, darbo valandos mažėja. Dėl šios priežasties santykis tarp žmonių ir darbo valandų yra atvirkštinis.

Kaip apskaičiuoti sudėtines proporcijas

Aukščiau pateiktiems pavyzdžiams spręsti dažniausiai naudojama trijų metodų sudėtinė taisyklė. Tai susideda iš ryšių tarp kiekių ir nežinomų rūšių nustatymo ir tada atvaizduoja produktą tarp frakcijų.

Pradiniame pavyzdyje reikšmių lentelę atitinkančios trupmenos yra išdėstytos taip:

Bet prieš išspręsdami ir išspręsdami nežinomą, reikia apversti atvirkštinius santykius atitinkančias trupmenas. Kuri šiuo atveju atitinka kintamą laiką. Tokiu būdu bus išspręsta ši operacija:

Vienintelis skirtumas yra trupmenos, atitinkančios laiko kintamąjį 4/3, inversija. Mes pradedame veikti ir išvalome x reikšmę.

Taigi, norint iškrauti 15 tonų prekių per 4 valandas ar mažiau, reikia daugiau nei vienuolikos žmonių.

Paaiškinimas

Proporcingumas yra pastovus santykis tarp keičiamų kiekių, kuris bus simetriškas kiekvienam nagrinėjamam kiekiui. Yra tiesioginiai ir atvirkščiai proporcingi santykiai, taip apibrėždami paprastojo ar sudėtinio proporcingumo parametrus.

Tiesioginė trijų taisyklė

Jį sudaro proporcingas ryšys tarp kintamųjų, kurie modifikuodami rodo tą patį elgesį. Labai dažnai skaičiuojant procentus, susijusius ne su šimtu dydžių, kai vertinama jo pagrindinė struktūra.

Pavyzdžiui, galima apskaičiuoti 15% iš 63. Iš pirmo žvilgsnio šio procento negalima lengvai įvertinti. Tačiau įgyvendinant trijų principą, galima susieti šiuos santykius: jei 100 proc. Yra 63, tada 15 proc., Kiek tai bus?

100% ---- 63

15% ---– X

Atitinkama operacija yra:

(15%. 63) / 100% = 9,45

Kai procentų ženklai yra supaprastinti ir gaunamas skaičius 9.45, kuris sudaro 15% iš 63.

Tris atvirkštinė taisyklė

Kaip rodo jo pavadinimas, šiuo atveju kintamųjų santykis yra priešingas. Prieš pradedant skaičiavimą, turi būti nustatytas atvirkštinis ryšys. Jos procedūra yra homologiška tiesioginės trijų taisyklės taisyklei, išskyrus investiciją į apskaičiuojamą dalį.

Pvz., 3 tapytojams reikia 5 valandų, kad būtų baigta siena. Per kiek valandų jį baigtų 4 tapytojai?

Šiuo atveju santykiai yra atvirkštiniai, nes didėjant dailininkų skaičiui darbo laikas turėtų mažėti. Ryšys užmegztas;

3 dailininkai - 5 valandos

4 dailininkai - X valandos

Kai santykiai yra atvirkštiniai, operacijų tvarka yra atvirkštinė. Tai teisingas būdas;

(3 dailininkai). (5 valandos) / 4 dailininkai = 3,75 valandos

Terminas tapytojai yra supaprastintas, o rezultatas yra 3,75 valandos.

Būklė

Norint sudaryti junginį ar daugialypį proporcingumą, būtina rasti abi ryšių rūšis tarp dydžių ir kintamųjų.

- Tiesioginis: kintamojo elgesys toks pat kaip nežinomo. T. y., Kai vienas padidėja ar sumažėja, kitas pasikeičia vienodai.

- Atvirkštinis: kintamasis turi antoniminį elgesį su nežinomaisiais. Frakcija, apibrėžianti minėtą kintamąjį verčių lentelėje, turi būti apversta, kad būtų parodytas atvirkščiai proporcingas santykis tarp kintamojo ir nežinomo.

Rezultatų tikrinimas

Dirbant su sudėtinėmis proporcijomis, labai svarbu supainioti dydžių tvarką, skirtingai nuo įprastų proporcijų skaičiavimų, kurių pobūdis dažniausiai yra tiesioginis ir išsprendžiamas taikant paprastą trijų taisyklę.

Dėl šios priežasties svarbu išnagrinėti loginę rezultatų tvarką, patikrinant skaičių, pateiktų pagal trijų junginių taisyklę, suderinamumą.

Pradiniame pavyzdyje darant tokią klaidą rezultatas būtų 20. Tai yra, 20 žmonių per 4 valandas iškrauna 15 tonų prekių.

Iš pirmo žvilgsnio tai neatrodo kaip beprotiškas rezultatas, tačiau įdomu, kad darbuotojų skaičius padidėja beveik 200% (nuo 7 iki 20), kai prekių padaugėja 50% ir net su didesne laiko atsarga atlikti darbas.

Taigi, loginis rezultatų patikrinimas yra svarbus žingsnis įgyvendinant sudėtinę trijų taisyklę.

Tarpininkavimas

Nors matematinio rengimo pobūdis yra pagrindinio pobūdžio, klirensas yra svarbus žingsnis proporcingumo atvejais. Pakanka klaidingo klirenso, kad būtų paneigtas rezultatas, gautas taikant paprastąją ar sudėtinę taisyklę trys.

Istorija

Trijų valstybių taisyklė tapo žinoma Vakaruose per arabus, publikavus įvairius autorius. Tarp jų Al-Jwarizmi ir Al-Biruni.

Al-Biruni, naudodamasis savo daugiakultūrinėmis žiniomis, savo kelionėse į Indiją turėjo prieigą prie didžiulės informacijos apie šią praktiką, nes buvo atsakingas už išsamiausią trijų taisyklių taisyklę.

Savo tyrime jis teigia, kad Indija buvo pirmoji vieta, kur tapo įprasta laikytis trijų taisyklių. Rašytojas patikina, kad tai buvo atliekama sklandžiai, tiesiogine, atvirkštine ir netgi sudarytomis versijomis.

Tiksli data, kada trijų taisyklė tapo matematinių žinių apie Indiją dalis, iki šiol nežinoma. Tačiau seniausias dokumentas, kuriame nagrinėjama ši praktika, „Bakhshali“ rankraštis, buvo rastas 1881 m. Šiuo metu jis yra Oksforde.

Daugelis matematikos istorikų teigia, kad šis rankraštis datuojamas dabartinės eros pradžia.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Aviakompanija turi vežti 1 535 žmones. Yra žinoma, kad su 3 lėktuvais paskutiniam keleiviui nuvykti į kelionės tikslą prireiktų 12 dienų. Dar 450 žmonių atvyko į oro linijų bendrovę, o 2 lėktuvus liepta remontuoti, kad būtų lengviau atlikti šią užduotį. Per kiek dienų oro linijoms reikės perkelti kiekvieną paskutinį keleivį į kelionės tikslą?

Žmonių skaičiaus ir darbo dienų santykis yra tiesioginis, nes kuo didesnis žmonių skaičius, tuo daugiau dienų reikės šiam darbui atlikti.

Kita vertus, santykis tarp lėktuvų ir dienų yra atvirkščiai proporcingas. Didėjant lėktuvų skaičiui, dienų, reikalingų visiems keleiviams gabenti, mažėja.

Sudaryta šiuo atveju reikšmių lentelė.

Kaip išsamiai aprašyta pradiniame pavyzdyje, skaitiklis ir vardiklis turi būti apversti trupmena, atitinkančia atvirkštinį kintamąjį nežinomojo atžvilgiu. Operacija yra tokia:

X = 71460/7675 = 9,31 dienos

1985 m. Žmonių perkėlimas naudojant 5 lėktuvus užtrunka daugiau nei 9 dienas.

2 pratimas

25 tonų kukurūzų derlius nuvežamas į krovininius automobilius. Yra žinoma, kad praėjusiais metais jiems prireikė 8 valandų su 150 darbuotojų darbo užmokesčiu. Jei šiais metais darbo užmokestis padidėjo 35%, kiek laiko jiems prireiks užpildyti 40 tonų derlių turinčius krovininius automobilius?

Prieš pateikdami verčių lentelę, reikia nustatyti šių metų darbuotojų skaičių. Palyginti su pradiniu 150 darbuotojų skaičiumi, šis skaičius padidėjo 35%. Tam naudojama tiesioginė trijų taisyklė.

100% ---- 150

35% ---– X

X = (35 100) / 100 = 52,5. Tai yra papildomų darbuotojų skaičius, palyginti su praėjusiais metais, suapvalinus gautą sumą, iš viso gaunant 203 darbuotojus.

Toliau apibrėžiame atitinkamą duomenų lentelę

Šiuo atveju svoris reiškia kintamąjį, tiesiogiai susijusį su nežinomu laiku. Kita vertus, darbuotojų kintamasis turi atvirkštinį ryšį su laiku. Kuo didesnis darbuotojų skaičius, tuo trumpesnė darbo diena.

Atsižvelgdami į šias aplinkybes ir apverčiant trupmeną, atitinkančią darbuotojų kintamąjį, toliau skaičiuojame.

X = 40600/6000 = 6,76 valandos

Kelionė truks šiek tiek mažiau nei 7 valandas.

Siūlomi pratimai

- Nurodykite 73% iš 2875.

- Apskaičiuokite, kiek valandų miega Teresa, jei žinoma, kad ji miega tik 7% visos dienos dienos. Apibrėžkite, kiek valandų jūs miegate per savaitę.

- Laikraštis išleidžia 2000 egzempliorių kas 5 valandas, naudodamas tik 2 spausdinimo mašinas. Kiek egzempliorių jis pagamins per 1 valandą, jei naudoja 7 mašinas? Kiek užtruks 10000 kopijų gamyba naudojant 4 aparatus?

Nuorodos

1. Enciklopedijos „Alvarez“ iniciacija. A. Álvarez, Antonio Álvarez Pérez. EDAF, 2001 m.
2. Pilnas pradinio ir aukštesniojo pradinio mokymo vadovas: skirtas trokštantiems mokytojams ir ypač provincijos įprastų mokyklų studentams, 1 tomas. Joaquín Avendaño. 1844 m. D. Dionisio Hidalgo spausdinimas.
3. Racionalus realių funkcijų suderinimas. PP Petruševas, Vasilis Atanasovas Popovas. „Cambridge University Press“, kovo 3 d. 2011 metai.
4. Pradinė aritmetika mokymui Centrinės Amerikos mokyklose ir kolegijose. Darío González. Patarimas. „Arenales“, 1926 m.
5. Matematikos tyrimas: apie matematikos studijas ir sunkumus. Augustas De Morganas. Baldwinas ir Cradockas, 1830 m.