KOPLANARINIAI TAŠKAI: LYGTIS, PAVYZDYS IR IŠSPRĘSTI UŽDAVINIAI - MATEMATIKA - 2025

Visi plokštumos taškai priklauso tai pačiai plokštumai. Du taškai visada yra plokštuminiai, nes šie taškai nusako liniją, per kurią eina begaliniai plokštumai. Tada abu taškai priklauso kiekvienai plokštumai, einančiai per liniją, ir todėl jie visada bus plokštuminiai.

Kita vertus, trys taškai nusako vieną plokštumą, iš to išplaukia, kad trys taškai visada bus lygiagrečiai plokštumai, kurią jie nustato.

1 pav. A, B, C ir D yra plokštumoje su (Ω) plokštuma. E, F ir G nėra panašios į (Ω), bet yra plokštumos, kurias jie apibrėžia. Šaltinis: F. Zapata.

Daugiau nei trys taškai gali būti daugialypiai arba ne. Pavyzdžiui, 1 paveiksle, taškai A, B, C ir D yra plokštumoje (Ω). Bet E, F ir G nėra plokštumoje (Ω), nors jie yra plokštumoje plokštumos, kurią jie apibrėžia.

Trijų taškų plokštumos lygtis

Trijų žinomų taškų A, B, C nustatyta plokštumos lygtis yra matematinis ryšys, garantuojantis, kad bet kuris taškas P, kurio bendrosios koordinatės (x, y, z) atitiktų lygtį, priklausytų minėtai plokštumai.

Ankstesnis teiginys yra lygus sakymui, kad jei koordinačių P (x, y, z) P atitiktų plokštumos lygtį, tada tas taškas būtų lygiagretus su trimis taškais A, B, C, kurie nustatė plokštumą.

Norėdami sužinoti šios plokštumos lygtį, pradėkime nuo vektorių AB ir AC :

AB =

AC =

Vektorių produktas AB X AC sukuria vektorių, statmeną arba normalų plokštumai, kurią nustato taškai A, B, C.

Bet kuris taškas P su koordinatėmis (x, y, z) priklauso plokštumai, jei vektorius AP yra statmenas vektoriui AB X AC , o tai garantuojama, jei:

AP • (AB X AC) = 0

Tai prilygsta teiginiui, kad AP , AB ir AC trigubas sandauga yra lygus nuliui. Aukščiau pateiktą lygtį galima užrašyti matricos forma:

Pavyzdys

Tegul taškai A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) ir D (a, 0, 1). Kokia turi būti keturių taškų reikšmė, kad jie būtų panašūs?

Sprendimas

Norint sužinoti a vertę, taškas D turi būti plokštumos, kurią nustato A, B ir C, dalis, kuri garantuojama, jei ji atitinka plokštumos lygtį.

Kuriant lemiamą veiksnį, kurį turime:

Ankstesnė lygtis mums sako, kad lygybė turi būti įvykdyta a = -1. Kitaip tariant, vienintelis būdas, kuriuo taškas D (a, 0,1) yra lygiagretus su taškais A, B ir C, yra, kad a būtų -1. Priešingu atveju tai nebus vienodo plano.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Plokštuma kerta Dekarto ašis X, Y, Z atitinkamai 1, 2 ir 3 vietose. Šios plokštumos susikirtimas su ašimis lemia taškus A, B ir C. Raskite taško D komponentą Dz, kurio Dekarto komponentai yra:

Su sąlyga, kad D yra A, B ir C taškų plokštuma.

Sprendimas

Kai žinomos plokštumos pertraukos su Dekarto ašimis, galima naudoti segmentinę plokštumos lygties formą:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

Kadangi taškas D turi priklausyti ankstesnei plokštumai, jis turi:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

Tai yra:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

Iš to, kas išdėstyta, išplaukia, kad taškas D (3, -2, -3) yra lygiagretus su taškais A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) ir C (0, 0, 3).

- 2 pratimas

Nustatykite, ar taškai A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) ir D (2, 3, 1) yra plokštuminiai.

Sprendimas

Mes formuojame matricą, kurios eilutės yra DA, BA ir CA koordinatės. Tada apskaičiuojamas determinantas ir patikrinama, ar jis lygus nuliui.

Atlikus visus skaičiavimus, daroma išvada, kad jie yra plokštuminiai.

- 3 pratimas

Erdvėje yra dvi linijos. Viena iš jų yra tiesė (R), kurios parametrinė lygtis yra:

O kita yra linija (S), kurios lygtis yra:

Parodykite, kad (R) ir (S) yra plokštuminės linijos, tai yra, jos guli toje pačioje plokštumoje.

Sprendimas

Pradėkime savavališkai paimdami du taškus ant linijos (R) ir du ant linijos (S):

(R) linija: λ = 0; A (1, 1, 1) ir λ = 1; B (3, 0, 1)

Tegul x = 0 tiesėje (S) => y = ½; C (0, ½, -1). Ir kita vertus, jei padarysime y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1).

Tai yra, mes paėmėme taškus A ir B, priklausančius linijai (R), ir taškus C ir D, priklausančius linijai (S). Jei tie taškai yra plokštuminiai, tada bus ir dvi linijos.

Dabar mes pasirenkame tašką A kaip pasukimą ir tada randame vektorių AB , AC ir AD koordinates. Tokiu būdu jūs gaunate:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

Kitas žingsnis - sukonstruoti ir apskaičiuoti determinantą, kurio pirmoji eilutė yra vektoriaus AB koeficientai , antroji eilutė yra AC, o trečioji eilutė - vektoriaus AD :

Kadangi determinantas paaiškėja, kad jis yra nulinis, tada galime daryti išvadą, kad keturi taškai yra plokštuminiai. Be to, galima teigti, kad linijos (R) ir (S) taip pat yra daugialypės.

- 4 pratimas

Linijos (R) ir (S) yra daugialypės, kaip parodyta 3 pratime. Raskite plokštumos, kurioje jos yra, lygtį.

Sprendimas

Taškai A, B, C visiškai apibrėžia tą plokštumą, tačiau mes norime įpareigoti, kad bet kuris koordinatės taškas X (x, y, z) priklausytų jai.

Kad X priklausytų plokštumai, apibrėžtoms A, B, C ir kurioje yra tiesės (R) ir (S), būtina panaikinti determinantą, kurį jo pirmoje eilėje sudarė AX komponentai, antroje pateikė AB , o trečiajame - AC :

Po šio rezultato, mes grupuojame tokiu būdu:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

Ir iškart pamatysite, kad tai galima perrašyti taip:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

Todėl x + 2y - z = 2 yra plokštumos, kurioje yra tiesės (R) ir (S), lygtis.

Nuorodos

1. Fleming, W. 1989. Prekalkulinė matematika. „Prentice Hall“ PTR.
2. Kolmanas, B. 2006. Tiesinė algebra. „Pearson Education“.
3. Leal, JM 2005. Plokščioji analitinė geometrija. Mérida - Venesuela: Venesuelos CA redakcija
4. Navarro, Rocio. Vektoriai. Atkurta iš: books.google.co.ve.
5. Pérez, CD 2006. Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.
6. Prenowitz, W. 2012. Pagrindinės geometrijos sampratos. „Rowman & Littlefield“.
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. „Pearson Education“.