KAS YRA TRIGONOMETRINĖS RIBOS? (PRATIMAI IŠSPRĘSTI) - MATEMATIKA - 2025

Į trigonometrinių ribos yra ribos funkcijų, pavyzdžiui, kad šios funkcijos yra suformuotas trigonometrinių funkcijų.

Norint suprasti, kaip apskaičiuoti trigonometrinę ribą, reikia žinoti du apibrėžimus.

Šios apibrėžtys:

- Funkcijos «f» riba, kai «x» linkusi į «b»: ją sudaro vertės apskaičiavimas, prie kurio f (x) artėja, kai «x» artėja prie «b», nepasiekdamas «b». ».

- Trigonometrinės funkcijos: trigonometrinės funkcijos yra sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijos, žymimos atitinkamai sin (x), cos (x) ir tan (x).

Kitos trigonometrinės funkcijos gaunamos iš trijų aukščiau paminėtų funkcijų.

Funkcijų ribos

Norėdami paaiškinti funkcijos ribos sąvoką, toliau parodysime keletą paprastų funkcijų pavyzdžių.

- F (x) = 3 riba, kai „x“ yra linkusi į „8“, yra lygi „3“, nes funkcija visada yra pastovi. Nesvarbu, kiek verta „x“, f (x) reikšmė visada bus „3“.

- Kai f „x“ linkęs į „6“, f (x) = x-2 riba yra „4“. Nuo tada, kai „x“ artėja prie „6“, tada „x-2“ artėja prie „6–2 = 4“.

- g (x) = x² riba, kai „x“ linkusi į „3“, yra lygi 9, nes kai „x“ artėja prie „3“, tada „x²“ artėja prie „3² = 9“ .

Kaip matyti iš ankstesnių pavyzdžių, ribos apskaičiavimas susideda iš vertės, kuriai „x“ būdinga funkcija, įvertinimo, o rezultatas bus ribos vertė, nors tai pasakytina tik apie nuolatines funkcijas.

Ar yra sudėtingesnių ribų?

Atsakymas yra taip. Aukščiau pateikti pavyzdžiai yra paprasčiausi ribų pavyzdžiai. Skaičiavimų knygose pagrindiniai limitų pratimai yra tie, kurie sukuria 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ir (∞) tipo neapibrėžtumą. ^ 0.

Šie posakiai vadinami neapibrėžtumais, nes jie yra išraiškos, kurios neturi prasmės matematiškai.

Be to, priklausomai nuo funkcijų, susijusių su pradine riba, rezultatas, gautas sprendžiant neapibrėžtumus, kiekvienu atveju gali būti skirtingas.

Paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžiai

Norint išspręsti ribas, visada labai naudinga žinoti susijusių funkcijų grafikus. Sinuso, kosinuso ir liestinės funkcijos grafikai parodyti žemiau.

Keletas paprastų trigonometrinių ribų pavyzdžių:

- Apskaičiuokite sin (x) ribą, kai «x» linkęs į «0».

Pažvelgus į grafiką galima pastebėti, kad jei „x“ priartėja prie „0“ (tiek iš kairės, tiek iš dešinės), tai sinuso grafikas taip pat priartėja prie „0“. Todėl sin (x) riba, kai „x“ linkusi į „0“, yra „0“.

- Apskaičiuokite cos (x) ribą, kai «x» linkęs į «0».

Stebint kosinuso grafiką galima pastebėti, kad kai „x“ yra artimas „0“, tada kosinuso grafikas yra artimas „1“. Tai reiškia, kad cos (x) riba, kai „x“ linkusi į „0“, yra lygi „1“.

Kaip ir ankstesniuose pavyzdžiuose, riba gali būti (būti skaičius), tačiau taip pat gali atsitikti, kad jos nėra, kaip parodyta kitame pavyzdyje.

- Įdegio (x) riba, kai „x“ iš kairės link siekia „Π / 2“, yra lygi „+ ∞“, kaip matyti diagramoje. Kita vertus, įdegio (x) riba, kai „x“ yra linkusi į „-Π / 2“ iš dešinės, yra lygi „-∞“.

Trigonometrinių ribų tapatybės

Skaičiuojant trigonometrines ribas yra dvi labai naudingos tapatybės:

- „sin (x) / x“ riba, kai „x“ linkusi į „0“, yra lygi „1“.

- «(1-cos (x)) / x» riba, kai «x» linkusi į «0», yra lygi «0».

Šios tapatybės yra naudojamos labai dažnai, kai jūs turite kažkokį neapibrėžtumą.

Išspręsta mankšta

Remdamiesi aukščiau aprašytomis tapatybėmis, išspręskite šias ribas.

- Apskaičiuokite «f (x) = sin (3x) / x» ribą, kai «x» linkęs į «0».

Jei funkcija „f“ įvertinama kaip „0“, gaunamas 0/0 tipo neapibrėžtumas. Todėl mes turime pabandyti išspręsti šį neapibrėžtumą naudodami aprašytas tapatybes.

Vienintelis skirtumas tarp šios ribos ir tapatybės yra skaičius 3, rodomas atliekant sinuso funkciją. Norint pritaikyti tapatybę, funkcija «f (x)» turi būti perrašyta taip: «3 * (sin (3x) / 3x)». Dabar tiek sinuso argumentas, tiek vardiklis yra lygūs.

Taigi kai „x“ linkęs į „0“, naudojant tapatumą, gaunama „3 * 1 = 3“. Todėl f (x) riba, kai „x“ linkusi į „0“, yra lygi „3“.

- Apskaičiuokite «g (x) = 1 / x - cos (x) / x» ribą, kai «x» linkęs į «0».

Kai g (x) pakeičiamas „x = 0“, gaunamas ∞-∞ tipo neapibrėžtumas. Norėdami tai išspręsti, pirmiausia atimamos trupmenos, kurios duoda „(1-cos (x)) / x“.

Taikant antrąją trigonometrinę tapatybę, g (x) riba, kai „x“ linkusi į „0“, yra lygi 0.

- Apskaičiuokite «h (x) = 4tan (5x) / 5x» ribą, kai «x» linkęs į «0».

Vėlgi, jei h (x) įvertinamas kaip "0", gaunamas 0/0 tipo neapibrėžtumas.

Perrašius kaip (5x) kaip sin (5x) / cos (5x), gaunamas h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)).

Taikant šią ribą 4 / cos (x), kai „x“ linkęs į „0“, yra lygus „4/1 = 4“ ir gaunama pirmoji trigonometrinė tapatybė, kad h (x) riba, kai „x“ linkusi a „0“ yra lygus „1 * 4 = 4“.

Stebėjimas

Trigonometrines ribas ne visada lengva išspręsti. Šiame straipsnyje buvo parodyti tik pagrindiniai pavyzdžiai.

Nuorodos

1. Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika. „Prentice Hall“ PTR.
2. Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika: problemų sprendimo metodas (2, iliustruotas leidimas). Mičiganas: „Prentice Hall“.
3. Flemingas, W., ir Varbergas, D. (1991). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
4. Larsonas, R. (2010). Prekalkulis (8 leidimas). „Cengage“ mokymasis.
5. Leal, JM ir „Viloria“, NG (2005). Plokštumos analitinė geometrija. Mérida - Venesuela: Venesuelos CA redakcija
6. Pérez, CD (2006). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.
7. Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Kalkulis (devintasis leidimas). Prentice salė.
8. Saenz, J. (2005). Diferencinis skaičiavimas su ankstyvomis transcendentinėmis funkcijomis mokslui ir inžinerijai (Antrasis leidimas, red.). Hipotenuzė.
9. Scott, CA (2009). Dekarto plokštumos geometrija, dalis: Analitiniai kūgiai (1907) (atspausdinta red.). Žaibo šaltinis.
10. Sullivan, M. (1997). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.