SIMPSONO TAISYKLĖ: FORMULĖ, ĮRODYMAS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Simpson 'ai taisyklė yra skaičiavimo metodas, maždaug, neabejotinas integralas. Tai pagrįsta integracijos intervalo padalijimu į lyginį skaičių vienodai išdėstytų sub-intervalų.

Dviejų iš eilės dalių padalos kraštutinės reikšmės nusako tris taškus, prie kurių dera parabolė, kurios lygtis yra antrojo laipsnio polinomas.

1 pav. Taikant „Simpson“ metodą, integracijos intervalas yra padalijamas į lyginį vienodo pločio intervalų skaičių. Funkcija apytiksliai nustatoma parabolės pagalba kas 2 intervalus, o integralas apytiksliai apskaičiuojamas pagal plotą po parabolėmis sumos. Šaltinis: upv.es.

Tada plotas po funkcijos kreive per du iš eilės intervalus apytiksliai nustatomas pagal interpoliacinės polinomo plotą. Pridedant indėlį į plotą, kuriame yra parabolė, iš eilės einančių visų intervalų, gauname apytikslę integralo vertę.

Kita vertus, kadangi parabolės integralas gali būti tiksliai apskaičiuotas algebriškai, tada galima rasti apibrėžtosios integralo apytikslės vertės analitinę formulę. Jis žinomas kaip „Simpson“ formulė.

Tokiu būdu gauto apytikslio rezultato paklaida mažėja, nes didesnis padalijimų skaičius n (kai n yra lyginis skaičius).

Žemiau bus pateikta išraiška, leidžianti įvertinti apytikslės I integralo paklaidos viršutinę ribą, kai bendrojo intervalo n dalijami n reguliarūs n tarpiniai intervalai.

Formulė

Integravimo intervalas yra padalintas į n pointervalus, kai n yra lygus sveikasis skaičius. Kiekvieno padalinio plotis bus:

h = (b - a) / n

Tokiu būdu skaidymas atliekamas per intervalą:

{X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn}

Kur X0 = a, X1 = X0 + h, X2 = X0 + 2h,…, Xn-1 = X0 + (n-1) h, Xn = X0 + nh = b.

Formulė, leidžianti apytiksliai apibrėžti ištisinį nepertraukiamo ir, geriausia, sklandaus, intervalo funkcinį vienetą, yra:

Demonstracija

Norint gauti Simpsono formulę, kiekviename pointervalyje funkcija f (X) yra apytiksliai suderinta su antrojo laipsnio polinomu p (X) (parabola), einančiu per tris taškus :; ir.

Tada apskaičiuojamas polinomo p (x) integralas, kuriame jis artimas funkcijos f (X) integralui tame intervale.

2 paveikslas. Simpsonų formulės parodymo schema. Šaltinis: F. Zapata.

Interpoliacijos polinomo koeficientai

Parabolės p (X) lygtis turi tokią formą: p (X) = AX ² + BX + C. Kadangi parabolė eina per raudonai pažymėtus taškus Q (žr. Paveikslą), koeficientai A, B, C yra nustatomi pagal šią lygčių sistemą:

A (-h) ² - B h + C = f (Xi)

C = f (Xi + 1)

A (h) ² + B h + C = f (Xi + 2)

Matyti, kad koeficientas C yra nustatytas. Norėdami nustatyti koeficientą A, pridedame pirmą ir trečią lygtis, gaudami:

2 A h ² + 2 C = f (Xi) + f (Xi + 2).

Tada C vertė pakeičiama ir A išvaloma, paliekant:

A = / (2 val. ² )

Norint nustatyti koeficientą B, iš pirmojo atimama trečioji lygtis ir išspręsta B, gaunant:

B = = 2 val.

Apibendrinant galima pasakyti, kad antrojo laipsnio polinomas p (X), einantis per taškus Qi, Qi + 1 ir Qi + 2, turi koeficientus:

A = / (2 val. ² )

B = = 2 val

C = f (Xi + 1)

Apytikslio integralo apskaičiavimas

Apytikslis integralo apskaičiavimas

Kaip jau minėta, pertvaras {X0, X1, X2, …, Xn-1, Xn} per visą integracijos intervalą atliekamas per žingsnį h = Xi + 1 - Xi = (b - a) / n, kur n yra lyginis skaičius.

Aproksimacijos klaida

Atminkite, kad paklaida mažėja, atsižvelgiant į ketvirtąją padalijimo skaičiaus intervalo galią. Pvz., Jei pereinate iš n poskyrio į 2n, paklaida sumažėja koeficientu 1/16.

Viršutinę paklaidos ribą, gautą taikant Simpsono apytikslį metodą, galima gauti iš tos pačios formulės, ketvirtąją išvestinę pakeičiant maksimalia absoliučia ketvirtojo darinio verte intervale.

Dirbami pavyzdžiai

- 1 pavyzdys

Apsvarstykite funkciją f (X) = 1 / (1 + X ² ).

Raskite apibrėžtą funkcijos f (X) integralą intervale, naudodamiesi Simpsono metodu, su dviem padalijimais (n = 2).

Sprendimas

Paimame n = 2. Integracijos ribos yra a = -1 ir b = -2, taigi skaidinys atrodo taip:

X0 = -1; X1 = 0 ir X2 = +1.

Todėl Simpsono formulė yra tokia:

3 pav. Skaitmeninės integracijos pavyzdys pagal Simpsono taisyklę naudojant programinę įrangą. Šaltinis: F. Zapata.

Nuorodos

1. Casteleiro, JM 2002. Išsamus skaičiavimas (iliustruotas leidimas). Madridas: ESIC redakcija.
2. UPV. Simpsono metodas. Valensijos politechnikos universitetas. Atkurta iš: youtube.com
3. Purcell, E. 2007. Devintasis „Calculus“ leidimas. Prentice salė.
4. Vikipedija. Simpsono taisyklė. Atkurta iš: es.wikipedia.com
5. Vikipedija. Lagrango daugianario interpoliacija. Atkurta iš: es.wikipedia.com