GALIOS SERIJOS: PAVYZDŽIAI IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Eilių susideda iš terminų sumavimo į įgaliojimų kintamojo x forma, ar daugiau paprastai, XC, kur c yra konstanta realusis skaičius. Apibendrinant, galių serija išreiškiama taip:

Kai koeficientai a _o , a ₁ , a ₂ … yra realieji skaičiai, o eilutė prasideda nuo n = 0.

1 pav. Galios sekos apibrėžimas. Šaltinis: F. Zapata.

Ši serija yra nukreipta į pastovią reikšmę c, tačiau galite pasirinkti, kad c būtų lygi 0, tokiu atveju galios seka supaprastėja iki:

Serijos prasideda atitinkamai a _arba (xc) ⁰ ir a _arba x ⁰ . Bet mes žinome, kad:

(xc) ⁰ = x ⁰ = 1

Todėl a _o (xc) ⁰ = a _arba x ⁰ = a _o (nepriklausomas terminas)

Geras dalykas, kalbant apie galios eiles, yra tas, kad funkcijos gali būti išreikštos jomis ir tai turi daug privalumų, ypač jei norite dirbti su sudėtinga funkcija.

Tokiu atveju, užuot tiesiogiai naudodamiesi funkcija, naudokite jos galios serijos išplėtimą, kurį lengviau nustatyti, integruoti ar dirbti skaitmeniniu būdu.

Žinoma, viskas priklauso nuo serijos suartėjimo. Serija susilieja, kai pridedama tam tikra daugybė terminų, ir gaunama fiksuota reikšmė. Ir jei vis tiek pridėsime daugiau terminų, tą vertę ir toliau gausime.

Funkcijos kaip galios serija

Kaip funkcijos, išreikštos galios seka, pavyzdį imkime f (x) = e ^x .

Ši funkcija gali būti išreikšta galių seka taip:

ir ^x ≈ 1 + x + (x ² /2!) + (X ³ /3!) + (x ⁴ /4!) + (X ⁵ /5!) … +

Kur! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… ir užtrunka 0! = 1.

Mes pasitelksime skaičiuoklę, ar serija sutampa su aiškiai nurodyta funkcija. Pavyzdžiui, pradėkime padarydami x = 0.

Mes žinome, kad e ⁰ = 1. Pažiūrėkime, ką daro serija:

ir ⁰ ≈ 1 + 0 + (0 ² /2!) + (0 ³ /3!) + (0 ⁴ /4!) + (0 ⁵ /5!) + … = 1

O dabar pabandykime x = 1. Skaičiuoklė grąžina, kad e ¹ = 2,71828, ir palyginkime su sekomis:

ir ¹ ≈ 1 + 1 + (1 ² /2!) + (1 ³ /3!) + (1 ⁴ /4!) + (1 ⁵ /5!) … + = 2 + 0,5000 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 +… ≈ 2,7167

Turėdami tik 5 terminus, jau turime tikslią atitiktį e ≈ 2,71. Mūsų serija turi dar šiek tiek pakeliauti, bet pridedant daugiau terminų, serijos tikrai suartėja iki tikslios e vertės. Pateikimas tikslus, kai n → ∞.

Jei ankstesnė analizė pakartojama, kai n = 2, gaunami labai panašūs rezultatai.

Tokiu būdu esame tikri, kad eksponentinę funkciją f (x) = e ^x galima pavaizduoti šia galių seka:

2 paveikslas. Šioje animacijoje matome, kaip, atsižvelgiant į daugiau terminų, galios seka priartėja prie eksponentinės funkcijos. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Geometrinė galių seka

Funkcija f (x) = e ^x nėra vienintelė funkcija, palaikanti galios sekų vaizdavimą. Pavyzdžiui, funkcija f (x) = 1/1 - x atrodo panašiai kaip gerai žinomos supančios geometrinės eilutės:

Pakanka padaryti a = 1 ir r = x, kad gautumėte šiai funkcijai tinkančią seką, kurios centras yra c = 0:

Tačiau žinoma, kad ši eilutė yra konvergentiška │r│ <1, todėl atvaizdavimas galioja tik intervalu (-1,1), nors funkcija galioja visiems x, išskyrus x = 1.

Kai norite apibrėžti šią funkciją kitame diapazone, jūs tiesiog susitelksite į tinkamą vertę ir viskas bus padaryta.

Kaip rasti funkcijos galių serijos išplėtimą

Bet kurią funkciją galima sukurti galios eilutėje, kurios centre yra c, jei ji turi visų kategorijų darinius, esant x = c. Procedūra naudoja šią teoremą, vadinamą Tayloro teorema:

Tegul f (x) yra funkcija su n kategorijos dariniais, žymimais f ⁽ⁿ⁾ , leidžiančiais nuosekliai išplėsti galias I intervale. Jo serialas „Tayloras“ yra:

Taigi, kad:

Kur R _n , kuris yra devintasis serijos terminas, vadinamas likutiu:

Kai c = 0, serija vadinama „Maclaurin“ serija.

Ši čia pateikta serija yra identiška pradžioje nurodytai serijai, tik dabar mes turime būdą aiškiai surasti kiekvieno termino koeficientus, kuriuos pateikė:

Tačiau turime užtikrinti, kad serijos atitiktų pavaizduojamą funkciją. Taip atsitinka, kad ne kiekviena Taylor serija būtinai suartėja su f (x), kuris buvo galvoje apskaičiuojant koeficientus ties _n .

Taip atsitinka todėl, kad galbūt funkcijos dariniai, įvertinti x = c, sutampa su tos pačios kitos darinių verte, taip pat ir x = c. Šiuo atveju koeficientai būtų vienodi, tačiau raida būtų dviprasmiška, nes nežinia, kurią funkciją ji atitinka.

Laimei, yra būdas sužinoti:

Konvergencijos kriterijus

Jei norite išvengti dviprasmybių, jei R _n → 0 kaip n → ∞ visoms x intervalo I dalims, serija suartėja su f (x).

Pratimas

- Pratimas išspręstas 1

Raskite funkcijos f (x) = 1/2 - x geometrinę galios seką, kurios centre yra c = 0.

Sprendimas

Duota funkcija turi būti išreikšta taip, kad ji kuo labiau sutaptų su 1 / 1- x, kurių seka yra žinoma. Taigi perrašykime skaitiklį ir vardiklį, nepakeisdami pirminės išraiškos:

1/2 - x = (1/2) /

Kadangi ½ yra pastovus, jis išeina iš susumavimo ir yra parašytas pagal naują kintamąjį x / 2:

Atminkite, kad x = 2 nepriklauso funkcijos sričiai, ir pagal konvergencijos kriterijų, pateiktą geometrinės galios serijos skyriuje, išplėtimas galioja │x / 2│ <1 arba lygiaverčiai -2 <x <2.

- Pratimas išspręstas 2

Raskite pirmuosius 5 Maclaurin serijos funkcijos f (x) = sin x išplėtimo terminus.

Sprendimas

1 žingsnis

Pirmiausia yra dariniai:

- 0 eilės darinys: tai ta pati funkcija f (x) = sin x

-Pirmasis darinys: (sin x) ´ = cos x

-Sekundinis darinys: (sin x) ´´ = (cos x) ´ = - sin x

-Trečiasis darinys: (sin x) ´´´ = (-sen x) ´ = - cos x

-Ketvirtasis darinys: (sin x) ´´´´ = (- cos x) ´ = sin x

2 žingsnis

Tada kiekvienas darinys įvertinamas x = c, kaip ir Maclaurin išplėtimas, c = 0:

sin 0 = 0; cos 0 = 1; - sin 0 = 0; -cos 0 = -1; sin 0 = 0

3 žingsnis

Sudaromi koeficientai a _n ;

a _o = 0/0! = 0; a ₁ = 1/1! = 1; a ₂ = 0/2! = 0; a ₃ = -1 / 3! a ₄ = 0/4! = 0

4 žingsnis

Galiausiai serija surenkama pagal:

sin x ≈ 0.x ⁰ + 1. x ¹ + 0 .x ² - (1/3!) x ³ + 0.x ⁴ … = x - (1/3!)) x ³ +…

Ar skaitytojui reikia daugiau terminų? Kiek daugiau, serija yra arčiau funkcijos.

Atminkite, kad koeficientuose yra modelis, kitas terminas, kurio nulis nėra lygus _5, o visi, turintys nelyginį indeksą, taip pat skiriasi nuo 0, pakaitomis žymių, kad:

sin x ≈ x - (1/3!)) x ³ + (1/5!)) x ⁵ - (1/7!)) x ⁷ +….

Tai yra užduotis patikrinti, ar ji suartėja, o koeficiento kriterijus gali būti naudojamas serijų suartėjimui.

Nuorodos

1. CK-12 fondas. „Power Series“: funkcijų ir operacijų vaizdas. Atkurta iš: ck12.org.
2. Engler, A. 2019. Integral Calculus. Litoral nacionalinis universitetas.
3. Larson, R. 2010. Kintamojo apskaičiavimas. 9-asis. Leidimas. McGraw Hill.
4. Matematikos laisvieji tekstai. Galios serija. Atkurta iš: math.liibretexts.org.
5. Vikipedija. Galios serija. Atkurta iš: es.wikipedia.org.