CENTRINĖ SIMETRIJA: SAVYBĖS, PAVYZDŽIAI IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Du taškai A ir A 'turi centrinę simetriją taško O atžvilgiu, kai segmentas AA' eina per jį ir yra AA vidurys. Taškas O vadinamas simetrijos centru.

Trikampio ABC centrinė simetrija taško O atžvilgiu yra kitas trikampis A'B'C ', turintis šias charakteristikas:

-Homologiniai segmentai yra vienodo ilgio

-Jų atitinkami kampai turi tą patį dydį.

1 pav. Trikampis ABC ir jo simetriškas A'B'C '. Šaltinis: F. Zapata.

1 paveiksle pavaizduotas trikampis ABC (raudonas) ir jo centrinė simetrija A'B'C '(žalia) simetrijos centro O atžvilgiu.

Tame pačiame paveikslėlyje dėmesingas stebėtojas suprastų, kad tas pats rezultatas gaunamas sukant pirminį trikampį, jei jis yra 180º kampo ir yra centre O.

Todėl centrinė simetrija yra lygi 180 ° posūkiui simetrijos centro atžvilgiu.

Centrinės simetrijos savybės

Centrinė simetrija turi šias savybes:

-Simetrijos centras yra segmentas, jungiantis tašką su savo simetrija, vidurio taškas.

-Simetriškas kitas taškas, esantis simetrijos centre, sutampa su simetrijos centru.

-Centrinė trikampio simetrija yra lygiagretus trikampis (lygus) originalui.

- Vaizdas pagal apskritimo centrinę simetriją yra dar vienas lygaus spindulio apskritimas.

- Apvalas turi centrinę simetriją savo centro atžvilgiu.

2 pav. Dizainas su centrine simetrija. Šaltinis: „Pixabay“.

- Elipsė turi centrinę simetriją savo centro atžvilgiu.

-A segmentas turi vidurinę simetriją savo vidurio taško atžvilgiu.

Lygiakraštis trikampis neturi centrinės simetrijos jo centro atžvilgiu, nes jo simetrija, nors ir sutampanti su pirmuoju, suteikia pasuktą lygiakraštį trikampį.

-Kvadratai turi centrinę simetriją savo centro atžvilgiu.

- Penkiakampiui trūksta centrinės simetrijos jo centro atžvilgiu.

- Reguliarūs daugiakampiai turi centrinę simetriją, kai jie turi lyginį skaičių šonų.

Pavyzdžiai

Simetrijos kriterijai yra pritaikomi daug moksle ir inžinerijoje. Gamtoje yra centrinė simetrija, pavyzdžiui, ledo kristalai ir voratinkliai turi tokią simetriją.

Be to, pasinaudojus centrinės simetrijos ir kitų rūšių simetrija, daugelį problemų lengva išspręsti. Todėl patogu greitai nustatyti, kada tai įvyksta.

3 pav. Ledo kristalai turi centrinę simetriją. Šaltinis: „Pixabay“.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į koordinatės tašką P (a, b), turime rasti jo simetrinio P 'koordinates koordinačių kilmės O atžvilgiu (0, 0).

Pirmas dalykas yra sukonstruoti tašką P ', kuriam nubrėžta linija, einanti per ištaką O ir per tašką P. Šios tiesės lygtis yra y = (b / a) x.

Dabar vadinkime (a ', b') simetrinio taško P 'koordinates. Taškas P 'turi būti ties linija, einančia per O, todėl tiesa: b' = (b / a) a '. Be to, atstumas OP turi būti lygus OP ', kuris analitine forma parašytas taip:

√ (a ² + b ² ) = √ (a ' ² + b' ² )

Tai turi pakeisti b '= ankstesne išraiška ir iš abiejų lygybės pusių paversti kvadratu, kad būtų pašalinta kvadrato šaknis: (a ² + b ² ) =

Ištraukdami bendrą koeficientą ir supaprastinę, gauname, kad a ' ² = a ² . Ši lygtis turi du realius sprendimus: a '= + a arba' '= -a.

Norėdami gauti b ', mes vėl naudojame b' = (b / a) a '. Jei teigiamas a 'sprendimas yra pakeistas, gauname, kad b' = b. Ir kai neigiamas tirpalas yra pakeistas, tada b '= -b.

Teigiamas sprendimas P 'suteikia tą patį tašką P, taigi jis atmetamas. Neigiamas sprendimas neabejotinai nurodo simetrinio taško koordinates:

P ': (-a, -b)

2 pavyzdys

Būtina parodyti, kad segmentas AB ir jo centrinė simetrinė A'B 'yra vienodo ilgio.

Pradedant taško A, kuris yra (Ax, Ay), ir taško B koordinatėmis: (Bx, By), segmento AB ilgis nurodomas taip:

d (AB) = √ ((Bx - ašis) ² + (pagal - Ay) ² )

Pagal analogiją simetrinio segmento A'B 'ilgis bus pateiktas taip:

d (A'B ') = √ ((Bx' - kirvis ') ² + (rašo' - Ay ') ² )

Simetrinio taško A 'koordinatės yra Ax' = -Ax ir Ay '= -Ay. Panašiai kaip B 'yra Bx' = -Bx ir By '= -By. Jei šios koordinatės yra pakeistos atstumo d (A'B ') lygtimi, turime:

d (A'B ') = √ ((-Bx + Ax) ² + (-By + Ay) ² ), kuris ekvivalentiškas:

√ ((Bx - ašis) ² + (pagal - Ay) ² ) = d (AB)

Taigi parodoma, kad abu segmentai yra vienodo ilgio.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Analitiškai parodykite, kad R spindulio apskritimo ir O centro centrinė simetrinė O yra ta pati originali.

Sprendimas

Apskritimo, kurio spindulys R ir centras O (0,0), lygtis yra:

x ² + y ² = R ² (lygtis, kurios perimetras C)

Jei kiekviename koordinačių (x, y) apskritimo y taške P randamas jo simetriškas koordinačių P 'P (x', y ') P, simetrinio apskritimo lygtis yra:

x " ² + y ' ² = R ² (lygtis simetriškai apskritimo C")

Dabar remiamės 1 pavyzdžio rezultatu, kuriame daroma išvada, kad taško P 'koordinatės, simetriškos P ir koordinatės (a, b), yra (-a, -b).

Tačiau atliekant šį pratimą taškas P turi koordinates (x, y), todėl jo simetriškas P 'turės koordinates x' = -xe y '= -y. Pakeitus tai simetrinio apskritimo lygtimi, kurią turime:

(-X) ² + (-y) ² = R ²

Kuris yra lygiavertis: x ² + y ² = R ² , daryti išvadą, kad centrinis simetriškai iš apskritimo su atsižvelgiant į jo centro yra pati ratas.

- 2 pratimas

Geometrine forma parodykite, kad centrinė simetrija išsaugo kampus.

Sprendimas

4 paveikslas. Simetrinių 2 pratimo taškų konstravimas. Šaltinis: F. Zapata.

Lėktuve yra trys taškai A, B ir C. Jos simetrija A ', B' ir C 'yra sukonstruota simetrijos centro O atžvilgiu, kaip parodyta 4 paveiksle.

Dabar turime parodyti, kad kampas ∡ABC = β turi tą patį matą kaip kampas ∡A'B'C '= β'.

Kadangi C ir C 'yra simetriškos, tada OC = OC'. Panašiai OB = OB 'ir OA = OA'. Kita vertus, kampas ∡BOC = ∡B'OC ', nes jiems priešinga viršūnė.

Todėl trikampiai BOC ir B'OC 'yra suderinti, nes jie turi vienodą kampą tarp dviejų vienodų pusių.

Kadangi BOC sutampa su B'OC ', tada kampai γ ir γ' yra lygūs. Bet šie kampai, be to, kad įvykdo γ = γ ', yra ir vidiniai kintamieji tarp linijų BC ir B'C', tai reiškia, kad linija BC yra lygiagreti B'C '.

Panašiai BOA yra artima B'OA ', iš kurios darytina išvada, kad α = α'. Bet α ir α 'yra pakaitiniai vidiniai kampai tarp linijų BA ir B'A', iš kurių daroma išvada, kad BA linija yra lygiagreti B'A '.

Kadangi kampo ∡ABC = β kraštinės yra lygiagrečios kampui ∡A'B'C '= β' ir abi yra aštrios, daroma išvada, kad:

∡ABC = ∡A'B'C '= β = β'

Tokiu būdu įrodant, kad centrinė simetrija išsaugo kampų matmenis.

Nuorodos

1. Baldor, JA 1973. Lėktuvo ir kosmoso geometrija. Centrinės Amerikos kultūros.
2. Matematiniai dėsniai ir formulės. Kampų matavimo sistemos. Atkurta iš: ingemecanica.com.
3. Wentworth, G. Plane geometrija. Atkurta iš: gutenberg.org.
4. Vikipedija. Centrinė simetrija. Atkurta iš: es.wikipedia.com
5. Vikipedija. Konvejeris. Atkurta iš: es.wikipedia.com
6. Zapata F. Konjuguoti vidiniai ir išoriniai kampai. Atgauta iš: lifeder.com