SKAIČIAVIMO TECHNIKA: TECHNIKA, PRITAIKYMAS, PAVYZDŽIAI, PRATIMAI - DUDAS - 2025

Į skaičiavimo metodai yra tikimybių metodais serijos skaičiuoti galimų susitarimų per nustatytą ar kelių rinkinių objektų skaičius. Jie naudojami, kai tvarkyti abonementus rankiniu būdu tampa sudėtinga dėl daugybės objektų ir (arba) kintamųjų.

Pavyzdžiui, šios problemos sprendimas yra labai paprastas: įsivaizduokite, kad jūsų viršininkas prašo suskaičiuoti naujausius produktus, kurie atkeliavo per paskutinę valandą. Tokiu atveju jūs galite nueiti ir suskaičiuoti produktus po vieną.

Tačiau įsivaizduokite, kad problema yra tokia: jūsų viršininkas prašo suskaičiuoti, kiek 5 to paties tipo produktų grupių gali būti suformuotos su tomis, kurios atkeliavo per paskutinę valandą. Šiuo atveju skaičiavimas yra sudėtingas. Tokio tipo situacijai naudojami vadinamieji skaičiavimo būdai.

Šie būdai yra įvairūs, tačiau patys svarbiausi yra suskirstyti į du pagrindinius principus, kurie yra daugyba ir priedas; permutacijos ir deriniai.

Daugybos principas

Programos

Daugybos principas kartu su priedu yra pagrindinis dalykas norint suprasti skaičiavimo metodų veikimą. Daugybinio koeficiento atveju jį sudaro:

Įsivaizduokime veiklą, apimančią tam tikrą žingsnių skaičių (bendrą sumą žymime kaip „r“), kur pirmą žingsnį galima atlikti N1 būdais, antrą žingsnį N2 būdu, o žingsnį „r“ be būdų. Tokiu atveju veikla gali būti atliekama atsižvelgiant į formų, gautų atlikus šią operaciją, skaičių: N1 x N2 x ……… .x Nr figūrų

Štai kodėl šis principas vadinamas daugybiniu ir reiškia, kad kiekvienas žingsnis, kuris reikalingas veiklai vykdyti, turi būti atliekamas vienas po kito.

Pavyzdys

Įsivaizduokime žmogų, norintį statyti mokyklą. Norėdami tai padaryti, atsižvelkite į tai, kad pastato pagrindą galima pastatyti dviem skirtingais būdais: cementu arba betonu. Kalbant apie sienas, jos gali būti pagamintos iš adobe, cemento ar plytų.

Kalbant apie stogą, jis gali būti pagamintas iš cemento arba cinkuotos skardos. Galiausiai, galutinis dažymas gali būti atliekamas tik vienu būdu. Kyla toks klausimas: kiek būdų jis turi pastatyti mokyklą?

Pirmiausia atsižvelgiame į laiptelių skaičių, tai būtų pagrindas, sienos, stogas ir dažai. Iš viso 4 žingsniai, taigi r = 4.

Taip bus išvardyti N:

N1 = bazės pastatymo būdai = 2

N2 = sienų konstrukcijos būdai = 3

N3 = stogo gaminimo būdai = 2

N4 = dažymo būdai = 1

Todėl galimų figūrų skaičius būtų apskaičiuojamas pagal aukščiau aprašytą formulę:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 mokyklos ugdymo būdų.

Priedo principas

Programos

Šis principas yra labai paprastas ir susideda iš to, kad tuo atveju, kai tai pačiai veiklai vykdyti yra kelios alternatyvos, galimus būdus sudaro skirtingų galimų visų alternatyvų atlikimo būdų suma.

Kitaip tariant, jei mes norime užsiimti veikla su trimis alternatyvomis, kai pirmąją alternatyvą galima padaryti M būdais, antrąją N būdais ir paskutinę W būdais, veiklą galima atlikti: M + N + ……… + W formos.

Pavyzdys

Įsivaizduokime šį kartą žmogų, norintį įsigyti teniso raketę. Norėdami tai padaryti, turite tris prekės ženklus, kuriuos galite pasirinkti: „Wilson“, „Babolat“ ar „Head“.

Eidami į parduotuvę pamatysite, kad „Wilson“ raketę galima nusipirkti su dviejų skirtingų dydžių rankena - L2 arba L3 - keturiais skirtingais modeliais ir ji gali būti susegta arba neaprišta.

Kita vertus, „Babolat“ raketa turi tris rankenas (L1, L2 ir L3), yra du skirtingi modeliai, ji taip pat gali būti pritvirtinta arba nerišta.

Savo ruožtu galvos raketę galima įsigyti tik su viena rankena, L2, dviem skirtingais modeliais ir tik nenuimama. Kyla klausimas: kiek būdų šis asmuo turi nusipirkti savo raketę?

M = būdų, kaip pasirinkti „Wilson“ raketę, skaičius

N = būdų, kaip pasirinkti „Babolat“ raketę, skaičius

W = Galvos raketės pasirinkimo būdų skaičius

Mes vykdome daugiklio principą:

M = 2 x 4 x 2 = 16 figūrų

N = 3 x 2 x 2 = 12 būdų

W = 1 x 2 x 1 = 2 būdai

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 būdų, kaip pasirinkti raketę.

Kad žinotumėte, kada reikia naudoti dauginimo principą ir priedą, turite tik išsiaiškinti, ar veikla turi atlikti keletą veiksmų, o jei yra keletas alternatyvų, priedą.

Permutacijos

Programos

Norint suprasti, kas yra permutacija, svarbu paaiškinti, kas yra derinys, kad galėtumėte juos atskirti ir žinoti, kada juos naudoti.

Derinys būtų elementų išdėstymas, kuriame mes nesidomime, kokią poziciją kiekvienas užima.

Kita vertus, permutacija būtų elementų išdėstymas, kuriame mus domina pozicija, kurią užima kiekvienas iš jų.

Pateiksime pavyzdį, kad geriau suprastume skirtumą.

Pavyzdys

Įsivaizduokime klasę, kurioje yra 35 mokiniai, ir tokiose situacijose:

1. Mokytojas nori, kad trys jo mokiniai padėtų jam išlaikyti švarą klasėje arba prireikus perduotų medžiagą kitiems mokiniams.
2. Mokytojas nori paskirti klasės atstovus (prezidentą, padėjėją ir finansininką).

Sprendimas būtų toks:

1. Įsivaizduokime, kad Juanas, María ir Lucía balsų būdu išrenka klasę ar pristato medžiagas. Akivaizdu, kad tarp 35 galimų studentų galėjo būti sudarytos kitos trijų grupių grupės.

Turime savęs paklausti: ar kiekvieno studento tvarka ar pozicija yra svarbi juos renkantis?

Jei pagalvosime apie tai, pamatysime, kad tai tikrai nėra svarbu, nes grupė bus atsakinga už abi užduotis vienodai. Šiuo atveju tai yra derinys, nes mums neįdomi elementų padėtis.

1. Dabar įsivaizduokime, kad Juanas yra išrinktas prezidentu, Maria - padėjėju, o Lucia - finansininke.

Ar tokiu atveju tvarka būtų svarbi? Atsakymas yra „taip“, nes jei pakeisime elementus, rezultatas pasikeis. T. y., Užuot paskyrę Juaną prezidentu, o jį pavadintume padėjėju, o María - prezidente, galutinis rezultatas pasikeistų. Šiuo atveju tai yra permutacija.

Kai skirtumas bus suprastas, mes gausime permutacijų ir derinių formules. Vis dėlto pirmiausia turime apibrėžti terminą „n!“ (ene faktorialus), nes jis bus naudojamas skirtingose ​​formulėse.

n! = produktas nuo 1 iki n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..xn

Jo naudojimas su tikraisiais skaičiais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3 628 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

Permutacijų formulė būtų tokia:

nPr = n! / (nr)!

Su juo mes galime išsiaiškinti, kur tvarka yra svarbi, o kur n elementai skiriasi.

Deriniai

Programos

Kaip jau komentavome anksčiau, deriniai yra išdėstymai, kai mums nerūpi elementų padėtis.

Jos formulė yra tokia:

nCr = n! / (nr)! r!

Pavyzdys

Jei yra 14 mokinių, norinčių savanoriškai išvalyti klasę, kiek valymo grupių galima sudaryti, jei kiekvienoje grupėje turi būti 5 žmonės?

Todėl sprendimas būtų toks:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 - 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupės

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Šaltinis: „Pixabay.com“

Motinos prašo Natalijos, kad ji nueitų į maisto prekių parduotuvę ir nusipirktų jai sodos, kad atvėstų. Kai Natalija paprašo tarnautojo išgerti, jis pasako jai, kad yra keturių gaiviųjų gėrimų skoniai, trijų rūšių ir trijų dydžių.

Gaiviųjų gėrimų skonis gali būti: kola, citrina, apelsinas ir mėta.

Kolos rūšys gali būti: įprastos, be cukraus, be kofeino.

Dydžiai gali būti: maži, vidutiniai ir dideli.

Natalijos mama nenurodė, kokio gaiviojo gėrimo ji nori. Keliais būdais Natalija turi nusipirkti gėrimą?

Sprendimas

M = dydžio ir tipo numeris, kurį galite pasirinkti renkantis kolą.

N = dydžio ir tipo skaičius, kurį galite pasirinkti renkantis citrinos soda.

W = dydžio ir tipo numeris, kurį galite pasirinkti renkantis oranžinę soda.

Y = dydžio ir tipo numeris, kurį galite pasirinkti renkantis mėtų soda.

Mes vykdome daugiklio principą:

M = 3 × 3 = 9 būdai

N = 3 × 3 = 9 būdai

W = 3 × 3 = 9 būdai

Y = 3 × 3 = 9 būdai

M + N + W + Y = 9 + 9 + 9 + 9 = 36 būdai, kaip pasirinkti soda.

2 pratimas

Šaltinis: pixabay.com

Sporto klubas reklamuoja nemokamas prieigos dirbtuves vaikams, kad jie išmoktų čiuožti. Priimta 20 vaikų, todėl dvi dešimties žmonių grupės nusprendžia jas padalyti, kad instruktoriai galėtų patogiau mokyti užsiėmimus.

Savo ruožtu jie nusprendžia nupiešti, į kurią grupę pateks kiekvienas vaikas. Į kiek skirtingų grupių vaikas galėtų patekti?

Sprendimas

Tokiu atveju būdas rasti atsakymą yra derinimo technika, kurios formulė buvo: nCr = n! / (Nr)! R!

n = 20 (vaikų skaičius)

r = 10 (grupės dydis)

20C10 = 20! / (20 - 10)! 10! = 20! / 10! 10! = 20 x 19 x 18 x 17 x 16 x 15x 14x 13x 12x 11x 10! / 10! 10! = 184 756 grupės.

Nuorodos

1. Jeffrey, RC, Tikimybių ir sprendimo menas, Cambridge University Press. (1992).
2. William Feller, „Įvadas į tikimybių teoriją ir jos pritaikymą“ (1 tomas), 3-asis leidimas, (1968), Wiley
3. Finetti, Bruno de (1970). "Loginiai pagrindai ir subjektyvios tikimybės matavimas". „Acta Psychologica“.
4. Hoggas, Robertas V .; Craigas, Allenas; McKean, Joseph W. (2004). Įvadas į matematinę statistiką (6-asis leidimas). Upper Saddle River: Pearson.
5. Franklin, J. (2001) „Mokslo spėlionės: įrodymai ir tikimybė prieš Paskalį“, Johns Hopkins University Press.