TRIKAMPIO NELYGYBĖ: ĮRODYMAS, PAVYZDŽIAI, IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Ji vadinama nelygiaverte trikampio savybe, kuri atitinka du realiuosius skaičius, kuriuos sudaro absoliučioji jų sumos vertė visada yra mažesnė arba lygi jų absoliučių verčių sumai. Ši savybė taip pat žinoma kaip Minkowskio nelygybė arba trikampė nelygybė.

Ši skaičių savybė vadinama trikampio nelygybe, nes trikampiuose taip atsitinka, kad vienos kraštinės ilgis visada yra mažesnis arba lygus kitų dviejų sumai, nors ši nelygybė ne visada taikoma trikampių srityje.

1 pav. Absoliuti dviejų skaičių sumos vertė visada yra mažesnė arba lygi jų absoliučių verčių sumai. (Parengė R. Pérez)

Yra keletas trikampio nelygybės realiaisiais skaičiais įrodymų, tačiau šiuo atveju mes pasirinksime vieną pagal absoliučiosios vertės savybes ir dvinarį kvadratą.

Teorema: Kiekvienai skaičių a ir b porai, priklausančiai realiesiems skaičiams, kuriuos turime:

- a + b - ≤ - a - + - b -

Demonstracija

Pradėsime nuo pirmojo nelygybės dalyvio, kuris bus padalintas į kvadratą:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (1 lygmuo)

Ankstesniame žingsnyje mes naudojome savybę, kad bet kuris skaičius kvadratu yra lygus absoliučiai minėto kvadrato skaičiaus vertei, tai yra: -x- ^ 2 = x ^ 2. Taip pat buvo naudojamas kvadratinis dvinaris išplėtimas.

Kiekvienas skaičius x yra mažesnis arba lygus jo absoliučiai vertei. Jei skaičius teigiamas, jis lygus, bet jei skaičius neigiamas, jis visada bus mažesnis už teigiamą skaičių. Tokiu atveju gali būti teigiama, kad x ≤ - x -.

Produktas (ab) yra skaičius, todėl taikoma, kad (ab) ≤ - ab -. Kai ši savybė taikoma (1 lygmuo), mes turime:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (2 lygmuo)

Atsižvelgiant į tai, kad - ab - = - a - b - la (2 lygmuo) gali būti parašytas taip:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (3 lygmuo)

Bet kadangi mes anksčiau sakėme, kad skaičiaus kvadratas yra lygus absoliučiai kvadrato skaičiaus vertei, 3 lygtį galima perrašyti taip:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (4 lygmuo)

Antrame nelygybės elemente atpažįstamas puikus produktas, kuris pritaikius lemia:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (5 lygis)

Ankstesniame posakyje reikėtų pažymėti, kad abiejose nelygybės dalyse kvadratinės vertės yra teigiamos, todėl taip pat reikia įsitikinti, kad:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (6 lygmuo)

Ankstesnė išraiška yra būtent ta, kurią norėjote pademonstruoti.

Pavyzdžiai

Toliau patikrinsime trikampį nelygybę keliais pavyzdžiais.

1 pavyzdys

Paimame reikšmę a = 2 ir vertę b = 5, tai yra, abu teigiamus skaičius ir patikriname, ar nelygybė patenkinta, ar ne.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Lygybė patikrinta, todėl trikampio nelygybės teorema įvykdyta.

2 pavyzdys

Pasirinktos šios vertės a = 2 ir b = -5, tai yra, teigiamas skaičius, o kitas neigiamas, mes patikriname, ar nelygybė tenkinama.

- 2 - 5 - ≤ -2- + - 5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Nelygybė tenkinama, todėl patikrinta trikampė nelygybės teorema.

3 pavyzdys

Mes imame reikšmę a = -2 ir vertę b = 5, tai yra, neigiamą skaičių ir kitą teigiamą, patikriname, ar nelygybė tenkinama.

- -2 + 5 - ≤ - 2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Nelygybė patikrinta, todėl teorema įvykdyta.

4 pavyzdys

Pasirinktos šios vertės a = -2 ir b = -5, tai yra, abu neigiami skaičiai, ir mes patikriname, ar nelygybė tenkinama.

- -2 - 5 - ≤ - 2- + - 5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Lygybė patikrinta, todėl Minkowskio nelygybės teorema įvykdyta.

5 pavyzdys

Mes imame reikšmę a = 0 ir vertę b = 5, tai yra skaičių nulį ir kitą teigiamą, tada patikriname, ar nelygybė patenkinta, ar ne.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Lygybė įvykdyta, todėl patikrinta trikampio nelygybės teorema.

6 pavyzdys

Mes imame reikšmę a = 0 ir vertę b = -7, tai yra skaičių nulį, o kitą teigiamą, tada patikriname, ar nelygybė patenkinta, ar ne.

- 0 - 7 - ≤ -0- + - 7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Lygybė patikrinta, todėl įvykdyta trikampio nelygybės teorema.

Išspręsta mankšta

Tolesniuose pratimuose geometriškai parodykite skaičių a ir b trikampio arba Minkowskio nelygybę.

Skaičius a bus vaizduojamas kaip segmentas X ašyje, jo pradžia O sutampa su X ašies nuliu, o kitas segmento galas (taške P) bus teigiama X ašies kryptimi (dešinėje), jei a > 0, bet jei a <0, tai bus neigiamos X ašies kryptimi, tiek vienetų, kiek rodo jo absoliuti vertė.

Panašiai skaičius b bus pavaizduotas kaip segmentas, kurio kilmė yra taške P. Kitas kraštutinumas, tai yra, taškas Q bus P dešinėje, jei b yra teigiamas (b> 0), o taškas Q bus -b - vienetai kairėje nuo P, jei b <0.

1 pratimas

Nubraižykite trikampio nelygybę a = 5 ir b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

2 pratimas

Nubraižykite trikampio nelygybę a = 5 ir b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

3 pratimas

Grafiškai parodykite trikampio nelygybę a = -5 ir b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

4 pratimas

Grafiškai sukonstruokite trikampių nelygybę a = -5 ir b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, kur c = a + b.

Nuorodos

1. E. Whitesitt. (1980). Būlio algebra ir jos programos. Redakcinė įmonė „Continental CA“
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Santraukos analizės elementai. . Matematikos katedra. Dublino universiteto koledžas, Beldfield, Dublind.
3. J. Van Wyk. (2006 m.) Matematika ir inžinerija kompiuterių moksle. Kompiuterių ir technologijos institutas. Nacionalinis standartų biuras. Vašingtone, 20234 m
4. Erikas Lehmanas. Kompiuterijos matematika. „Google Inc.“
5. F Thomsonas Leightonas (1980). Kalkulis. Masačūsetso technologijos instituto Matematikos ir informatikos katedra bei AI laboratorija.
6. Khano akademija. Trikampio nelygybės teorema. Atkurta iš: khanacademy.org
7. Vikipedija. Trikampė nelygybė. Išieškota iš: es. wikipedia.com