IMTIES PAKLAIDA: FORMULĖS IR LYGTYS, SKAIČIAVIMAS, PAVYZDŽIAI - DUDAS - 2025

Atranka klaida arba mėginių ėmimo paklaida statistikos yra skirtumas tarp vidutinės vertės mėginio ir vidutinės vertės visų gyventojų skirtumas. Idėją iliustruokime, įsivaizduokime, kad bendras miesto gyventojų skaičius yra vienas milijonas žmonių, iš kurių norite, kad jo vidutinis batų dydis būtų imamas atsitiktiniu būdu iš tūkstančio žmonių.

Vidutinis imties dydis nebūtinai sutaps su visos populiacijos dydžiu, nors jei imtis nėra šališka, vertė turi būti artima. Šis skirtumas tarp mėginio vidutinės vertės ir visos populiacijos vertės yra mėginių ėmimo paklaida.

1 paveikslas. Kadangi imtis yra visos populiacijos pogrupis, imties vidurkis turi klaidų ribą. Šaltinis: F. Zapata.

Vidutinė visos populiacijos vertė paprastai nėra žinoma, tačiau yra metodų, leidžiančių sumažinti šią klaidą, ir formulių, skirtų atrankos klaidų dydžiui įvertinti, kurie bus aptariami šiame straipsnyje.

Formulės ir lygtys

Tarkime, kad norime sužinoti tam tikros išmatuojamos charakteristikos x vidutinę vertę N dydžio populiacijoje, tačiau kadangi N yra didelis skaičius, neįmanoma atlikti visų gyventojų skaičiaus tyrimo, tada imame atsitiktinę imtį iš dydis n <

Vidutinė mėginio vertė žymima o vidutinė visų gyventojų vertė žymima graikiška raide μ (skaityti mu arba miu).

Tarkime, kad m mėginiai imami iš visos populiacijos N, visi jie yra vienodo dydžio n ir vidutinės vertės 1>, 2>, 3>,….m>.

Šios vidutinės vertės nebus tapačios viena kitai ir bus visos aplink gyventojų vidurkį μ. Atrankos paklaida E rodo numatomą vidutinių verčių atskyrimą atsižvelgiant į populiacijos vidutinę vertę μ per tam tikrą procentą, vadinamą patikimumo lygiu γ (gama).

N dydžio imties standartinė paklaidos riba ε yra:

ε = σ / √n

čia σ yra standartinis nuokrypis (dispersijos kvadratinė šaknis), kuris apskaičiuojamas pagal šią formulę:

σ = √

Standartinės paklaidos ribos ε reikšmė yra tokia:

Vidutinė vertė gauti iš n dydžio mėginio, įtraukiami į intervalą ( - ε, + ε), kai pasitikėjimo lygis 68,3%.

Kaip apskaičiuoti atrankos paklaidą

Ankstesniame skyriuje buvo pateikta formulė n dydžio mėginio standartinės klaidos ribai surasti, kur žodis standartas rodo, kad tai yra 68% pasikliovimo paklaida.

Tai rodo, kad jei bus paimta daug to paties dydžio n pavyzdžių, 68% jų bus pateiktos vidutinės vertės diapazone.

Yra paprasta taisyklė, vadinama 68–95–99,7 taisykle, leidžiančia lengvai rasti atrankos paklaidos ribą E 68%, 95% ir 99,7% pasikliovimo lygiui, nes ši riba yra 1⋅ ε, 2 ⋅ ε ir 3⋅ ε atitinkamai.

Už pasitikėjimo lygį

Jei patikimumo lygis γ nėra vienas iš aukščiau išvardytų, atrankos paklaida yra standartinis nuokrypis σ, padaugintas iš koeficiento Zγ, kuris gaunamas pagal šią procedūrą:

1.- Pirmiausia nustatomas reikšmingumo lygis α, kuris apskaičiuojamas iš pasikliautinio lygio γ naudojant šį santykį: α = 1 - γ

2.- Tada turime apskaičiuoti vertę 1 - α / 2 = (1 + γ) / 2, kuri atitinka sukauptą normalųjį dažnį tarp –∞ ir Zγ, esant normaliam arba Gauso paskirstymui, tipizuotam F (z), kurio apibrėžimas galima pamatyti 2 paveiksle.

3.- Lygtis F (Zγ) = 1 - α / 2 išspręsta naudojant normaliojo paskirstymo (kaupiamojo) F lenteles arba naudojant kompiuterinę programą, turinčią atvirkštinę Gauso funkciją F ^-1 .

Pastaruoju atveju mes turime:

Zγ = G ^-1 (1 - α / 2).

4.- Galiausiai ši formulė taikoma atrankos paklaidai, kurios patikimumo lygis γ:

E = Zγ ⋅ (σ / √n)

2 paveikslas. Normaliojo pasiskirstymo lentelė. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Pavyzdžiai

- 1 pavyzdys

Apskaičiuokite standartinį paklaidos dydį pagal 100 naujagimių imties vidutinį svorį. Apskaičiuotas vidutinis svoris= 3100 kg, kai standartinis nuokrypis σ = 1 500 kg.

Sprendimas

Standartinė paklaidos riba yra ε = σ / √n = (1 500 kg) / √100 = 0,15 kg. Tai reiškia, kad remiantis šiais duomenimis galima daryti išvadą, kad 68% naujagimių svoris yra nuo 2 950 kg iki 3,25 kg.

- 2 pavyzdys

Nustatykite mėginio ėmimo paklaidos paklaidą E ir 100 naujagimių svorio intervalą su 95% pasikliovimo lygiu, jei vidutinis svoris yra 1 100 kg, kai standartinis nuokrypis σ = 1 500 kg.

Sprendimas

Jei taikoma 68 taisyklė; 95; 99,7 → 1⋅ ε; 2⋅ ε; 3⋅ ε, mes turime:

E = 2⋅ε = 2⋅0,15 kg = 0,30 kg

Kitaip tariant, 95 proc. Naujagimių svoris bus nuo 2800 kg iki 3 400 kg.

- 3 pavyzdys

1 pavyzdyje nustatykite naujagimių svorio diapazoną su 99,7% pasikliovimo riba.

Sprendimas

Atrankos paklaida, kurios patikimumas yra 99,7%, yra 3 σ / √n, kuri mūsų pavyzdyje yra E = 3 * 0,15 kg = 0,45 kg. Iš to išplaukia, kad 99,7% naujagimių svoris bus nuo 2 650 kg iki 3 550 kg.

- 4 pavyzdys

Nustatykite koeficientą Zγ, kai pasitikėjimo lygis yra 75%. 1 pavyzdyje pateiktu atveju nustatykite mėginių ėmimo paklaidos ribą pagal šį patikimumo lygį.

Sprendimas

Pasitikėjimo lygis yra γ = 75% = 0,75, kuris yra susijęs su reikšmingumo lygiu α per ryšį γ = (1 - α), kad reikšmingumo lygis būtų α = 1 - 0,75 = 0. , 25.

Tai reiškia, kad kumuliacinė normalioji tikimybė tarp -∞ ir Zγ yra:

P (Z ≤ Zγ) = 1 - 0,125 = 0,875

Kuris atitinka 1.1503 Zγ vertę, kaip parodyta 3 paveiksle.

3 paveikslas. Zγ faktoriaus, atitinkančio 75% pasikliovimo lygį, nustatymas. Šaltinis: F. Zapata per „Geogebra“.

Kitaip tariant, atrankos paklaida yra E = Zγ ⋅ (σ / √n) = 1,15 ⋅ (σ / √n).

Taikant duomenis iš 1 pavyzdžio, gaunama tokia klaida:

E = 1,15 * 0,15 kg = 0,17 kg

Su 75% pasitikėjimo lygiu.

- 5 pratimas

Koks yra pasitikėjimo lygis, jei Z _{α / 2} = 2,4?

Sprendimas

P (Z ≤ Z _{α / 2} ) = 1 - α / 2

P (Z ≤ 2,4) = 1 - α / 2 = 0,9918 → α / 2 = 1 - 0,9918 = 0,0082 → α = 0,0164

Reikšmingumo lygis yra:

α = 0,0164 = 1,64%

Galiausiai pasitikėjimo lygis išlieka:

1- α = 1 - 0,0164 = 100% - 1,64% = 98,36%

Nuorodos

1. Canavos, G. 1988. Tikimybė ir statistika: taikymai ir metodai. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Inžinerijos ir mokslo tikimybės ir statistika. 8-asis. Leidimas. Cengažas.
3. Levin, R. 1988. Administratorių statistika. 2-asis. Leidimas. Prentice salė.
4. Sudmanas, S. 1982 m. Klausimų pateikimas: praktinis anketų sudarymo vadovas. San Franciskas. Jossey Bassas.
5. Walpole, R. 2007. Inžinerijos ir mokslų tikimybės ir statistika. Pearsonas.
6. Wonnacott, TH ir RJ Wonnacott. 1990. Įvadinė statistika. 5-asis Edis
7. Vikipedija. Atrankos klaida. Atkurta iš: en.wikipedia.com
8. Vikipedija. Klaidos riba. Atkurta iš: en.wikipedia.com