INERCIJOS MOMENTAS: FORMULĖS, LYGTYS IR SKAIČIAVIMO PAVYZDŽIAI - FIZINIS - 2025

Inercijos momentas kieto kūno atžvilgiu tam tikrą sukimosi ašies reiškia atsparumą keičia savo kampinį greitį aplink ašį. Tai proporcinga masei, taip pat sukimosi ašies vietai, nes kūnas, atsižvelgiant į jo geometriją, gali lengviau pasisukti aplink tam tikras ašis nei kitose.

Tarkime, didelis objektas (susidedantis iš daugybės dalelių), kuris gali suktis aplink ašį. Tarkime, kad jėga F veikia tangenciškai masės elementui Δm _i , sukuriančiam sukimo momentą ar momentą, išreikštą τ _neto = ∑ r _i x F _i . Vektorius r _i yra Δm _{i padėtis} (žr. 2 paveikslą).

1 paveikslas. Įvairių figūrų inercijos akimirkos. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Šis momentas yra statmenas sukimosi plokštumai (kryptis + k = paliekant popierių). Kadangi jėga ir radialinės padėties vektorius visada yra statmeni, kryžminis produktas išlieka:

τ _neto = ∑ F _i r _i k = ∑ (Δm _i a _i ) r _i k = ∑ Δm _i (a _i r _i ) k

2 pav. Dalelė, priklausanti standžiajai kietai medžiagai sukasi. Šaltinis: Serway, R. 2018. Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. „Cengage“ mokymasis.

Pagreitis a _i žymi tangentinį pagreičio komponentą, nes radialinis pagreitis neturi įtakos sukimo momentui. Kaip kampinio pagreičio α funkciją, galime nurodyti, kad:

Todėl grynasis sukimo momentas atrodo taip:

τ _neto = ∑ Δm _i (α r _i ² ) k = ( ∑ r _i ² Δm _i ) α k

Kampinis pagreitis α yra vienodas visam objektui, todėl jo neįtakoja indeksas „i“ ir jis gali palikti sumą, kuri yra būtent objekto inercijos momentas, kurį simbolizuoja raidė I:

Tai yra diskretaus masės pasiskirstymo inercijos momentas. Kai pasiskirstymas yra tęstinis, sumavimas pakeičiamas integralu ir m tampa masės skirtumu dm. Integralas atliekamas per visą objektą:

Inercijos momento vienetai SI tarptautinėje sistemoje yra kg xm ² . Tai yra skaliarinis ir teigiamas dydis, nes jis yra masės ir atstumo kvadrato sandauga.

Skaičiavimo pavyzdžiai

Išplėstas objektas, toks kaip strypas, diskas, rutulys ar kitas, kurio tankis ρ yra pastovus ir žinant, kad tankis yra masės ir tūrio santykis, masės skirtumas dm užrašomas taip:

Pakaitinę integrale inercijos akimirką, turime:

Tai yra bendra išraiška, taikoma trimačiam objektui, kurio tūris V ir padėtis r yra erdvinių koordinačių x, y ir z funkcijos. Atkreipkite dėmesį, kad, būdamas pastovus, tankis yra už integralo ribų.

Tankis ρ taip pat žinomas kaip tūrinis tankis, tačiau jei objektas yra labai plokščias, pavyzdžiui, lakštas arba labai plonas ir siauras kaip strypas, gali būti naudojamos kitos formos tankis, pažiūrėkime:

- Jei naudojamas labai plonas lakštas, naudojamas tankis yra σ, paviršiaus tankis (masė ploto vienetui), o dA yra ploto skirtumas.

- Ir jei tai yra plona juosta, kur svarbus tik ilgis, naudojami linijiniai masės tankiai λ ir ilgio skirtumas pagal ašį, naudojamą kaip atskaitos tašką.

Tolesniuose pavyzdžiuose visi objektai laikomi standžiais (nedeformuojamais) ir turi vienodą tankį.

Plonos juostos inercijos momentas ašies, kertančios jos centrą, atžvilgiu

Čia apskaičiuosime plono, kieto, vienalyčio ilgio L ir masės M inercijos momentą ašies, einančios per terpę, inercijos momentą.

Pirmiausia reikia sukurti koordinačių sistemą ir sudaryti figūrą su tinkama geometrija, pavyzdžiui:

3 pav. Geometrija, skirta apskaičiuoti plono strypo inercijos momentą vertikalios ašies, einančios per jos centrą, atžvilgiu. Šaltinis: F. Zapata.

Sukimosi ašimi buvo pasirinkta x ašis išilgai juostos ir y ašis. Integro nustatymo procedūra taip pat reikalauja, kad būtų parinktas juostos masės diferencialas, vadinamas dm, kurio ilgis diferencialas yra dx ir jis yra pasirinktoje x padėtyje, centro x = 0 atžvilgiu.

Pagal linijinio masės tankio λ apibrėžimą:

Kadangi tankis yra vienodas, kuris galioja M ir L, tai galioja ir dm bei dx:

Kita vertus, masės elementas yra x padėtyje, taigi, pakeisdami šią geometriją apibrėžime, turime neabejotiną integralą, kurio ribos yra juostos galai pagal koordinačių sistemą:

Linijinio tankio λ = M / L pakaitalas:

Norėdami rasti juostos inercijos momentą kitos sukimosi ašies atžvilgiu, pavyzdžiui, tą, kuri eina per vieną iš jos galų, galite naudoti Steinerio teoremą (žr. Pabaigoje pateiktą pratimą) arba atlikti tiesioginį skaičiavimą, panašų į parodytą. čia, tačiau atitinkamai modifikuojant geometriją.

Disko inercijos momentas ašies, kertančios jos centrą, atžvilgiu

Labai plonas mažo storio diskas yra plokščia figūra. Jei masė tolygiai pasiskirsto visame A srities paviršiuje, masės tankis σ yra:

Tiek dm, tiek dA atitinka paveiksle pavaizduoto diferencialo žiedo masę ir plotą. Mes manysime, kad visas mazgas sukasi aplink y ašį.

Galite įsivaizduoti, kad diską sudaro daug koncentrinių žiedų, kurių spindulys r, kiekvienas iš jų turi atitinkamą inercijos momentą. Sudėję visų žiedų įnašus, kol pasieksime spindulį R, turėsime bendrą disko inercijos momentą.

4 pav. Geometrija disko inercijos momentui apskaičiuoti ašinės ašies atžvilgiu. Šaltinis: F. Zapata.

Kur M žymi visą disko masę. Disko plotas priklauso nuo jo spindulio r:

Išvestinės atsižvelgiant į r:

Pakeitus pirmiau pateiktą apibrėžimą I:

Pakaitą σ = M / (π.R ² ) gauname:

Kietos sferos, maždaug skersmens, inercijos momentas

R spindulio sfera gali būti laikoma diskų, išdėstytų vienas ant kito, serija, kai kiekvieno disko, kurio masė dm, spindulys r ir storis dz, inercijos momentas yra:

Norėdami rasti šį skirtumą, mes tiesiog paėmėme formulę iš ankstesnio skyriaus ir atitinkamai pakeitėme M ir R dm ir r. Tokį diską galima pamatyti 5 paveikslo geometrijoje.

5 pav. Geometrija, skirta apskaičiuoti tvirtos R spindulio kietosios sferos inercijos momentą ašies, kertančios skersmenį, atžvilgiu. Šaltinis: F. Zapata.

Sudėjus visus begalinius sukrautų diskų inercijos momentus, gaunamas visas sferos inercijos momentas:

Kuris yra lygus:

Norėdami išspręsti integralą, turite tinkamai išreikšti dm. Kaip visada, tai pasiekiama iš tankio:

Diferencinio disko tūris yra:

Disko aukštis yra storis dz, o pagrindo plotas yra πr ² , todėl:

Ir pakeitęs siūlomą integralą, jis atrodytų taip:

Bet prieš integruodami turime pastebėti, kad r - disko spindulys priklauso nuo z ir R - rutulio spindulys, kaip matyti iš 5 paveikslo. Naudojant Pitagoro teoremą:

Kas mus veda į:

Norėdami integruoti visoje sferoje, pažymime, kad z svyruoja tarp –R ir R, todėl:

Žinodamas, kad ρ = M / V = ​​M / galutinai gaunamas, supaprastinus:

Kieto cilindro inercijos momentas ašinės ašies atžvilgiu

Šiam objektui naudojamas metodas, panašus į tą, kuris naudojamas rutuliui, tik šį kartą lengviau, jei įsivaizduojama, kad cilindras būtų sudarytas iš cilindrinių apvalkalų, kurių spindulys r, storis dr ir aukštis H, tarsi jie būtų svogūno sluoksniai. .

6 paveikslas. Geometrija, skirta apskaičiuoti tvirto R spindulio kietojo cilindro inercijos momentą ašinės ašies atžvilgiu. Šaltinis: Serway, R. 2018. Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. Cengage.

Cilindrinio sluoksnio tūris dV yra:

Todėl apvalkalo masė yra:

Ši išraiška pakeičiama inercijos momento apibrėžime:

Aukščiau pateikta lygtis rodo, kad cilindro inercijos momentas priklauso ne nuo jo ilgio, o tik nuo jo masės ir spindulio. Jei L keistųsi, inercijos momentas apie ašinę ašį išliktų toks pats. Dėl šios priežasties cilindro I sutampa su anksčiau apskaičiuoto plono disko dydžiu.

Stačiakampio lakšto inercijos momentas ašies, kertančios jos centrą, atžvilgiu

Sukimosi ašimi pasirinkta horizontalioji y ašis. Žemiau pateiktame paveikslėlyje parodyta geometrija, reikalinga integracijai atlikti:

7 paveikslas. Stačiakampės plokštės inercijos momento apskaičiavimo geometrija ašies atžvilgiu, lygiagrečiai lakštui ir kertančiai jo centrą. Šaltinis: F. Zapata.

Ploto elementas, pažymėtas raudonai, yra stačiakampis. Jo plotas yra bazinis x aukštis, todėl:

Todėl masės skirtumas yra:

Kalbant apie atstumą nuo ploto elemento iki sukimosi ašies, jis visada yra z. Mes visa tai pakeičiame inercijos momento integrale:

Dabar paviršiaus masės tankis σ pakeičiamas taip:

Ir tai tikrai atrodo taip:

Atminkite, kad tai yra tarsi plona juosta.

Kvadratinio lakšto inercijos momentas ašies, kertančios jos centrą, atžvilgiu

Kvadrato, kurio kraštinė L, ankstesnėje išraiškoje, galiojančioje stačiakampyje, tiesiog pakeiskite b reikšmę L:

Inercijos teoremų akimirka

Yra dvi ypač naudingos teoremos, palengvinančios inercijos momentų kitoms ašims apskaičiavimą, kurias priešingu atveju būtų sunku rasti dėl simetrijos trūkumo. Šios teoremos yra:

Steinerio teorema

Dar vadinama lygiagrečių ašių teorema, ji inercijos momentą ašies atžvilgiu susieja su kita, kertančia objekto masės centrą, jei ašys yra lygiagrečios. Norint jį pritaikyti, reikia žinoti atstumą D tarp abiejų ašių ir, žinoma, objekto masę M.

Tegul I _z yra objekto inercijos momentas, einantis z ašies atžvilgiu, I _CM inercijos momentas ašies, einančios per minėto objekto masės centrą (CM), atžvilgiu, tada įsitikina, kad:

Arba pažymint šį paveikslą: I _{z '} = I _z + Md ²

8 pav. Steinerio teorema arba lygiagrečios ašys. Šaltinis: „Wikimedia Commons“. Džekas See

Statmenų ašių teorema

Ši teorema taikoma plokštuminiams paviršiams ir eina taip: plokštumos objekto inercijos momentas aplink statmeną ašį yra inercijos momentų suma aplink dvi ašis, statmenas pirmajai ašiai, sumą:

9 pav. Statmenų ašių teorema. Šaltinis: F. Zapata.

Jei objekto simetrija tokia, kad I _x ir I _y yra lygūs, tai tiesa, kad:

Pratimas išspręstas

Raskite juostos inercijos momentą ašies, einančios per vieną iš jos galų, atžvilgiu, kaip parodyta 1 paveiksle (žemiau ir dešinėje) ir 10 paveikslą.

10 paveikslas. Vienalyčio strypo aplink ašį, kertančią vieną galą, inercijos momentas. Šaltinis: F. Zapata.

Sprendimas:

Mes jau turime strypo inercijos momentą aplink ašį, einančią per jos geometrinį centrą. Kadangi strypas yra vienalytis, jo masės centras yra toje vietoje, taigi tai bus mūsų I _CM, norint pritaikyti Steinerio teoremą.

Jei juostos ilgis yra L, z ašis yra atstumu D = L / 2, todėl:

Nuorodos

1. Bauer, W. 2011. Fizika inžinerijai ir mokslams. 1 tomas. Mc Graw Hill. 313-340
2. Rex, A. 2011. Fizikos pagrindai. Pearsonas. 190-200.
3. Lygiagrečios ašies teorema. Atkurta iš: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Serway, R. 2018. Fizika mokslui ir inžinerijai. 1 tomas. Cengage.
5. Sevilijos universitetas. Sferinių kietųjų dalelių inercijos momentas. Atkurta iš: laplace.us.es.
6. Sevilijos universitetas. Dalelių sistemos inercijos momentas. Atkurta iš: laplace.us.es.
7. Vikipedija. Lygiagrečios ašies teorema. Atkurta iš: en.wikipedia.org