Integrų tipai , kuriuos randame skaičiavime, yra neapibrėžti integralai ir apibrėžti integralai. Nors neabejotini integralai turi daug daugiau pritaikymų nei neapibrėžti integralai, pirmiausia reikia išmokti spręsti neterminuotus integralus.
Vienas iš patraukliausių neabejotinų integraalų pritaikymų yra revoliucijos kietosios medžiagos tūrio apskaičiavimas. Abiejų tipų integralai turi tas pačias tiesiškumo savybes, o integravimo būdai nepriklauso nuo integralo tipo.
Solidi revoliucija
Tačiau nepaisant to, kad jis yra labai panašus, yra vienas pagrindinis skirtumas; pirmojo tipo integralas rezultatas yra funkcija (kuri nėra specifinė), o antrojo tipo rezultatas yra skaičius.
Pagrindiniai integralų tipai
Interalų pasaulis yra labai platus, tačiau jame galima išskirti du pagrindinius integraalų tipus, kurie puikiai pritaikomi kasdieniame gyvenime.
1- Neapibrėžti integralai
Jei F '(x) = f (x) visoms x f srityje, mes sakome, kad F (x) yra f (x) antiderivatyvas, primityvas arba integralas.
Kita vertus, stebėkime, kad (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), o tai reiškia, kad funkcijos integralas nėra unikalus, nes pateikdami skirtingas reikšmes konstanta C gausime skirtingą reikšmę. antiderivatai.
Dėl šios priežasties F (x) + C yra vadinamas neapibrėžtuoju f (x) integralu, o C yra vadinamas integracijos konstanta ir mes ją užrašome taip:
Neapibrėžtas integralas
Kaip matome, neterminuotas funkcijos f (x) integralas yra funkcijų šeima.
Pvz., Jei norite rasti neterminuotą funkcijos f (x) = 3x² integralą, pirmiausia turite rasti f (x) priešinį darinį.
Nesunku pastebėti, kad F (x) = x³ yra darinys, nes F '(x) = 3x². Todėl galima daryti išvadą, kad
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2 - Neapibrėžti integralai
Tegul y = f (x) yra reali nepertraukiama funkcija uždaru intervalu ir tegul F (x) turi būti f (x) darinys. Neabejotinas f (x) integralas tarp a ir b yra vadinamas skaičiumi F (b) -F (a) ir žymimas taip:
Pagrindinė skaičiavimo teorema
Aukščiau parodyta formulė yra geriau žinoma kaip „pagrindinė skaičiavimo teorema“. Čia „a“ vadinama apatine riba, o „b“ vadinama viršutine riba. Kaip matote, neabejotinas funkcijos integralas yra skaičius.
Tokiu atveju, jei intervalas yra apskaičiuojamas neabejotinas f (x) = 3x² integralas, bus gautas skaičius.
Norėdami nustatyti šį skaičių, pasirenkame F (x) = x³ kaip f (x) = 3x ² darinį. Tada mes apskaičiuojame F (3) -F (0), kuris suteikia mums rezultatą 27-0 = 27. Apibendrinant galima pasakyti, kad neabejotinas f (x) integralas intervale yra 27.
Galima pastebėti, kad jei pasirinktas G (x) = x³ + 3, tada G (x) yra f (x) antiderivatas, kuris skiriasi nuo F (x), tačiau tai neturi įtakos rezultatui, nes G (3) -G ( 0) = (27 + 3) - (3) = 27. Dėl šios priežasties integracijos konstanta neatsiranda apibrėžtuose integraluose.
Vienas iš naudingiausių šio tipo integralo pritaikymų yra tas, kad jis leidžia apskaičiuoti plokštumos figūros (kietos revoliucijos) plotą (tūrį), nustatyti tinkamas funkcijas ir integracijos ribas (ir sukimosi ašį).
Neabejotinuose integraliuose galime rasti įvairių jo pratęsimų, tokių kaip linijų integralai, paviršiaus integralai, netinkami integralai, daugybiniai integralai, be kita ko, visi šie metodai yra labai naudingi mokslo ir inžinerijos srityse.
Nuorodos
- Casteleiro, JM (2012). Ar lengva integruoti? Savarankiškų studijų vadovas. Madridas: ESIC.
- Casteleiro, JM, ir Gómez-Álvarez, RP (2002). Integralinis skaičiavimas (iliustruotas leidimas). Madridas: ESIC redakcija.
- Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika. „Prentice Hall“ PTR.
- Flemingas, W., ir Varbergas, DE (1989). Prieškalkulinė matematika: problemų sprendimo metodas (2, iliustruotas leidimas). Mičiganas: „Prentice Hall“.
- Kishanas, H. (2005). Integruotasis skaičiavimas. „Atlantic“ leidėjai ir platintojai.
- Purcell, EJ, Varberg, D., ir Rigdon, SE (2007). Kalkulis (devintasis leidimas). Prentice salė.