KVADRATINĖS SEKOS: PAVYZDŽIAI, TAISYKLĖ IR IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Į kvadratin paveldėjimo , matematinių terminų, susideda iš sekos skaičių, kad po tam tikro taisyklių aritmetiką. Įdomu žinoti šią taisyklę norint nustatyti bet kurią iš sekos sąlygų.

Vienas iš būdų tai padaryti yra nustatyti skirtumą tarp dviejų iš eilės esančių terminų ir pažiūrėti, ar gauta vertė visada kartojasi. Tokiu atveju sakoma, kad tai yra taisyklinga seka.

Skaičių sekos yra būdas organizuoti skaičių sekas. Šaltinis: pixabay.com

Bet jei tai nepasikartos, tuomet galite pabandyti ištirti skirtumą tarp skirtumų ir sužinoti, ar ši vertė yra pastovi. Jei taip, tai yra kvadratinė seka .

Taisyklingų sekų ir kvadratinių sekų pavyzdžiai

Šie pavyzdžiai padeda paaiškinti tai, kas paaiškinta iki šiol:

Reguliaraus paveldėjimo pavyzdys

Tegul seka S = {4, 7, 10, 13, 16, ……}

Ši seka, žymima S, yra begalinis skaičių rinkinys, šiuo atveju sveikieji skaičiai.

Galima pastebėti, kad tai taisyklinga seka, nes kiekvienas terminas gaunamas pridedant 3 prie ankstesnio termino ar elemento:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Kitaip tariant: ši seka yra dėsninga, nes skirtumas tarp kito ir ankstesnio termino suteikia fiksuotą reikšmę. Pateiktame pavyzdyje ši vertė yra 3.

Įprastos sekos, gaunamos pridedant fiksuotą kiekį prie ankstesnio termino, taip pat vadinamos aritmetinėmis progresijomis. Ir skirtumas - pastovus - tarp vienas po kito einančių terminų yra vadinamas santykiu ir žymimas kaip R.

Netaisyklingos ir kvadratinės sekos pavyzdys

Dabar žiūrėkite šią seką:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Kai apskaičiuojami vienas po kito einantys skirtumai, gaunamos šios vertės:

6–2 = 4

12-6 = 6

20–12 = 8

30-20 = 10

Jų skirtumai nėra pastovūs, todėl galima sakyti, kad tai NĖRA taisyklinga seka.

Tačiau jei atsižvelgsime į skirtumų rinkinį, turime kitą seką, kuri bus žymima kaip S _diff :

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Ši nauja seka iš tikrųjų yra taisyklinga seka, nes kiekvienas terminas gaunamas pridedant fiksuotą reikšmę R = 2 prie ankstesnės. Štai kodėl galime tvirtinti, kad S yra kvadratinė seka.

Bendroji kvadratinės sekos konstravimo taisyklė

Kvadratinei sekai sudaryti yra bendra formulė:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

Šioje formulėje T _n yra terminas, esantis sekos n padėtyje. A, B ir C yra fiksuotos vertės, o n skiriasi po vieną, tai yra 1, 2, 3, 4, …

Ankstesnio pavyzdžio seka A = 1, B = 1 ir C = 0. Iš ten išplaukia, kad formulė, sugeneruojanti visus terminus, yra: T _n = n ² + n

Tai yra:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Skirtumas tarp dviejų kvadratinės sekos terminų iš eilės

T _{n + 1} - T _n = -

Išraiškos plėtra naudojant puikų produktą išlieka:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Supaprastinę, jūs gaunate:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Ši formulė pateikia skirtumų S _Dif seką, kurią galima parašyti taip:

Skirtumas _n = A ∙ (2n + 1) + B

Kur aiškiai kitas terminas yra 2 ∙ Kartais ankstesnis. T. y., S _diff skirtumų sekos santykis yra: R = 2 ∙ A.

Išspręstos kvadratinių sekų problemos

1 pratimas

Tegul seka S = {1, 3, 7, 13, 21, ……}. Nustatykite, ar:

i) ar jis reguliarus, ar ne

ii) Ar ji kvadratinė, ar ne

iii) Ji buvo kvadratinė, skirtumų seka ir jų santykis

Atsakymai

i) Apskaičiuokime šių ir ankstesnių terminų skirtumą:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21–13 = 8

Galime patvirtinti, kad seka S nėra taisyklinga, nes skirtumas tarp vienas po kito einančių terminų nėra pastovus.

ii) Skirtumų seka yra dėsninga, nes skirtumas tarp jos terminų yra pastovioji reikšmė 2. Todėl pradinė seka S yra kvadratinė.

iii) Mes jau nustatėme, kad S yra kvadratinė, skirtumų seka yra tokia:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…}, o jo santykis yra R = 2.

2 pratimas

Tegul seka S = {1, 3, 7, 13, 21, ……} iš ankstesnio pavyzdžio, kur buvo patikrinta, ar ji yra kvadratinė. Nustatyti:

i) formulė, nustatanti bendrąjį terminą T _n.

ii) Patikrinkite trečiąjį ir penktąjį terminus.

iii) Dešimtosios kadencijos vertė.

Atsakymai

i) bendra formulė T _n yra: A ∙ n ² + B + C ∙ n Tada belieka žinoti A, B ir C reikšmes.

Skirtumų seka turi 2 santykį. Be to, bet kurios kvadratinės sekos santykis R yra 2 ∙ A, kaip parodyta ankstesniuose skyriuose.

R = 2 ∙ A = 2, kas leidžia daryti išvadą, kad A = 1.

Pirmasis skirtumų sekos S _Dif terminas yra 2 ir turi atitikti A ∙ (2n + 1) + B, kai n = 1 ir A = 1, tai yra:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

spręsdami už B, gauname: B = -1

Tada pirmasis S (n = 1) terminas yra vertas 1, tai yra: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Kaip mes jau žinome, kad A = 1 ir B = -1, pakaitomis mes turime:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Sprendžiant C, gauname jo vertę: C = 1.

Apibendrinant:

A = 1, B = -1 ir C = 1

Tada n-oji kadencija bus T _n = n ² - n + 1

ii) Trečiasis terminas T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 ir jis patikrintas. Penktasis T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, kuris taip pat patikrintas.

iii) Dešimtasis terminas bus T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

3 pratimas

3 pratimo sričių seka. Šaltinis: paties parengimas.

Paveikslėlyje parodyta penkių skaičių seka. Grotelės žymi ilgio vienetą.

i) Nustatykite figūrų ploto seką.

ii) Parodykite, kad tai yra kvadratinė seka.

iii) Raskite 10 pav. plotą (nerodyta).

Atsakymai

i) Seka S, atitinkanti figūrų sekos plotą, yra:

S = {0, 2, 6, 12, 20,. . . . . }

ii) seka, atitinkanti nuosekliuosius S terminų skirtumus, yra:

S _diff = {2, 4, 6, 8,. . . . . }

Kadangi skirtumas tarp iš eilės einančių terminų nėra pastovus, tada S nėra taisyklinga seka. Belieka žinoti, ar ji yra kvadratinė, kuriai mes vėl darome skirtumų seką, gaudami:

{2, 2, 2, …….}

Kadangi visos sekos sąlygos kartojasi, patvirtinama, kad S yra kvadratinė seka.

iii) seka S _diff yra taisyklinga, o jos santykis R yra 2. Naudojant aukščiau parodytą lygtį R = 2 ∙ A, lieka:

2 = 2 ∙ A, tai reiškia, kad A = 1.

Antra terminas skirtumų S seka _dif yra 4 ir n-S terminas _dif yra

A ∙ (2n + 1) + B.

Antroji kadencija turi n = 2. Be to, jau nustatyta, kad A = 1, todėl naudodamiesi ankstesne lygtimi ir ją pakeisdami, turime:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Sprendžiant B, gauname: B = -1.

Yra žinoma, kad antrasis S terminas yra vertas 2 ir kad jis turi atitikti bendrojo termino formulę, kai n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Tai yra pasakyti

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Daroma išvada, kad C = 0, tai yra, kad formulė, suteikianti bendrą sekos terminą S, yra:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Dabar patikrinta penktoji kadencija:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) 10 brėžinyje, kuris čia nėra nupieštas, bus plotas, atitinkantis dešimtuosius sekos S terminus:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Nuorodos

1. https://www.geogebra.org