TELESKOPINIS APIBENDRINIMAS: KAIP JIS SPRENDŽIAMAS IR KAIP SPRENDŽIAMI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Suma teleskopinis yra filialo skaitinė serijos. Čia nagrinėjamas elementų, susidedančių iš išraiškos, kurios argumentas atitinka bet kurį iš šių modelių, pradinę reikšmę į „n“, sumavimas:

(F _x - F _{x + 1} ); (F _{x + 1} - F _x )

Taip pat:

Šaltinis: „Pixabay.com“

Jie atspindi elementų, kuriuos sukūrus panaikinamos priešingos sąlygos, apibendrinimą. Tai leidžia apibrėžti šią lygybę teleskopiniams apibendrinimams:

Jo pavadinimas kilęs iš santykio su klasikinio teleskopo, kuris galėtų būti sulankstytas ir išskleistas, išvaizda, ypač pakeitus jo matmenis. Be to, begalinio pobūdžio teleskopinius apibendrinimus galima apibendrinti supaprastinta išraiška:

F ₁ - F _{n + 1}

Demonstracija

Kuriant terminų apibendrinimą, veiksnių pašalinimas yra gana akivaizdus. Kiekvienu atveju kitoje iteracijoje atsiras priešingų elementų.

Pirmasis atvejis (F _x - F _{x + 1} ) bus paimtas kaip pavyzdys , nes procesas veikia homologiškai (F _{x + 1 –} F _x ).

Sukūrus pirmąsias 3 reikšmes {1, 2, 3}, pastebima supaprastinimo tendencija

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1} ) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1} ) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1} ) = F ₃ - F ₄

Kur išreiškiant aprašytų elementų sumą:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Pastebėta, kad terminai F ₂ ir F ₃ yra aprašyti kartu su jų priešingybėmis, todėl jų supaprastinimas neišvengiamas. Lygiai taip pat pastebima, kad terminai F ₁ ir F ₄ yra išlaikomi.

Jei suma buvo padaryta nuo x = 1 iki x = 3, tai reiškia, kad elementas F ₄ atitinka bendrąjį terminą F _{n + 1.}

Taip pademonstruodami lygybę:

Kaip tai išspręsta?

Teleskopinių apibendrinimų tikslas yra palengvinti darbą, kad nereikėtų kurti begalinio skaičiaus terminų ar supaprastinti per ilgos priedų grandinės.

Norint ją išspręsti, reikės įvertinti tik terminus F ₁ ir F _{n + 1} . Šie paprasti pakeitimai sudaro galutinį susumuojimo rezultatą.

Terminų visuma nebus išreikšta, tapant būtina tik rezultatui parodyti, bet ne įprastam skaičiavimo procesui.

Svarbu pastebėti skaičių eilučių suartėjimą. Kartais sumavimo argumentas nebus išreikštas teleskopiškai. Tokiais atvejais labai dažnai naudojami alternatyvūs faktoringo metodai.

Būdingas faktorizacijos metodas atliekant teleskopinius priedus yra paprastųjų frakcijų. Tai įvyksta, kai pradinė frakcija suskaidoma į kelių frakcijų sumą, kur galima pastebėti teleskopinį modelį (F _x - F _{x + 1} ) arba (F _{x + 1} - F _x ).

Skilimas į paprastas frakcijas

Norint patikrinti skaitinių eilučių konvergenciją, labai dažnai racionalias išraiškas reikia transformuoti paprastosios trupmenos metodu. Tikslas - sumodeliuoti sklypą į teleskopinės sumos pavidalą.

Pavyzdžiui, ši lygybė reiškia skilimą į paprastas trupmenas:

Kuriant skaičių eilutes ir taikant atitinkamas savybes, išraiška įgauna tokią formą:

Kur vertinama teleskopinė forma (F _x - F _{x + 1} ).

Procedūra yra gana intuityvi ir susideda iš skaitiklio reikšmių, kurios, nepažeisdamos lygybės, leidžia atskirti vardiklyje esančius produktus, skaičiaus. Lygtys, atsirandančios nustatant šias vertes, iškeliamos palyginus abi lygybės puses.

Ši procedūra stebima žingsnis po žingsnio kuriant 2 pratimą.

Istorija

Neįmanoma apibrėžti istorinio momento, kai buvo pateikti teleskopiniai apibendrinimai. Tačiau jo įgyvendinimas pradedamas pastebėti XVII amžiuje, skaitinių serijų tyrimuose, kuriuos atliko Leibnizas ir Huygenas.

Abu matematikai, tyrinėdami trikampių skaičių apibendrinimą, pradeda pastebėti tam tikrų iš eilės einančių elementų konvergencijos tendencijas. Bet dar įdomiau yra šių posakių modeliavimo pradžia elementuose, kurie nebūtinai seka vienas kitą.

Tiesą sakant, anksčiau vartojama frazė reiškia paprastas trupmenas:

Ją pristatė Huygensas ir iškart patraukė Leibnizo dėmesį. Kas laikui bėgant galėjo pastebėti konvergenciją į vertę 2. To nežinodamas, jis įgyvendino teleskopinį sumavimo formatą.

Pratimai

1 pratimas

Apibrėžkite, kuriam terminui ši suma suartės:

Rankiniu būdu apskaičiuojant sumą, laikomasi šio modelio:

(2 ³ - 2 ⁴ ) + (2 ⁴ - 2 ⁵ ) + (2 ⁵ - 2 ⁶ ). . . . (2 ¹⁰ - 2 ¹¹ )

Kai koeficientai nuo 2 ⁴ iki 2 ¹⁰ turi teigiamas ir neigiamas dalis, jų panaikinimas tampa akivaizdus. Tuomet vieninteliai veiksniai, kurie nebus supaprastinti, bus pirmasis „2 ³ “ ir paskutinis „2 ¹¹ “.

Tokiu būdu, įgyvendinant teleskopinį sumavimo kriterijų, gaunama:

2 pratimas

Paverskite argumentą teleskopiniu tipo apibendrinimu ir apibrėžkite sekų konvergenciją:

Kaip nurodoma pareiškime, pirmiausia reikia suskaidyti į paprastas dalis, kad būtų galima pakartoti argumentą ir išreikšti jį teleskopiniu būdu.

Turite rasti 2 trupmenas, kurių vardikliai yra atitinkamai "n" ir "n + 1", kur toliau naudojamas metodas turi gauti skaitiklio reikšmes, kurios tenkina lygybę.

Mes nustatome A ir B reikšmes. Pirmiausia pridėkite trupmenas.

Tada vardikliai supaprastinami ir sukuriama tiesinė lygtis.

Kitame etape bus naudojama frazė dešinėje, kol bus gautas modelis, panašus į „3“ kairėje.

Norint apibrėžti naudojamas lygtis, reikia palyginti abiejų lygybės pusių rezultatus. Kitaip tariant, kairėje pusėje jokių kintamojo n reikšmių nepastebėta, tokiu būdu A + B turės būti lygus nuliui.

A + B = 0; A = -B

Kita vertus, pastovioji vertė A turės būti lygi pastoviajai vertei 3.

A = 3

Taigi.

A = 3 ir B = -3

Kai paprastųjų trupmenų skaitiklio reikšmės jau bus apibrėžtos, sumavimas bus pakartotas.

Ten, kur jau buvo pasiekta bendra teleskopinio apibendrinimo forma. Kuriama teleskopinė serija.

Kai dalijant iš labai daug skaičių, rezultatas bus priartėjęs ar arčiau nulio, stebint sekų konvergenciją į 3 vertę.

Šio tipo serijos negalėjo būti išspręstos kitu būdu dėl begalinio skaičiaus pakartojimų, apibrėžiančių problemą. Tačiau šis metodas, kaip ir daugelis kitų, nubrėžia skaitmeninių eilučių, kurių tikslas yra nustatyti konvergencijos vertes arba apibrėžti minėtų sekų divergenciją, tyrimo šaką.

Nuorodos

1. Begalinės skaičiavimo pamokos. Manuelis Franco, Manuelis Franco Nicolásas, Francisco Martínezas Gonzálezas, Roque Molina Legaz. EDITUMAS, 1994 m.
2. Integralus skaičiavimas: sekos ir funkcijų serijos. Antonio Rivera Figueroa. Grupo redakcija „Patria“, spalio 21 d. 2014 metai.
3. Skaičiavimo ir realiosios analizės kursai. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, birželio 5 d. 2006 m.
4. Begalinė serija. Tomlinsono fortas. „The Clarendon Press“, 1930 m.
5. Begalinių procesų teorijos elementai. Lloydo Leroy šypsena. „McGraw-Hill“ knygų įmonė, įregistruota, 1923 m.