Bajeso teorema yra procedūra, kuri leidžia mums , kad išreikšti Sąlyginė tikimybė atsitiktinio įvykio A tikrą B, kalbant apie tikimybių pasiskirstymo renginio A ir B, nes tikimybių pasiskirstymo tik A.
Ši teorema yra labai naudinga, nes jos dėka galime susieti įvykio A tikimybę žinodami, kad įvyko B, su tikimybe, kad įvyksta priešingai, tai yra, kad B įvyksta atsižvelgiant į A.
Bayes'o teorema buvo sidabrinė 18-ojo amžiaus anglų teologo, kuris taip pat buvo matematikas, Thomas Bayes'o teiginys. Jis buvo kelių teologijos darbų autorius, tačiau šiandien jis žinomas dėl poros matematinių traktatų, tarp kurių pagrindinis rezultatas yra minėta Bayes'o teorema.
Bayesas nagrinėjo šią teoremą darbe „Esė, kaip išspręsti problemą šansų doktrinoje“, išspausdintame 1763 m. Ir apie kurią buvo parengta daugybė jų. studijos su pritaikymu įvairiose žinių srityse.
Paaiškinimas
Pirma, norint geriau suprasti šią teoremą, būtinos kelios pagrindinės tikimybių teorijos sąvokos, ypač sąlyginės tikimybės daugybos teorema, teigianti, kad:
E ir A pasirinktiniams erdvės S įvykiams.
Ir skaidinių apibrėžimas, kuris mums sako, kad jei pavyzdžio erdvėje S turėsime A 1 , A 2 , …, A n įvykius, jie sudarys S skaidinį, jei A i vienas kitą atstumia, o jų sąjunga yra S.
Atsižvelgiant į tai, tegul B yra kitas įvykis. Taigi galime pamatyti B kaip
Ten, kur A i susikerta su B, yra vienas kitą paneigiantys įvykiai.
Todėl
Tada pritaikant daugybos teoremą
Kita vertus, sąlyginę Ai tikimybę, suteiktą B, apibūdina
Tinkamai jį pakeisdami, turėsime bet kurį i
Bayes'o teoremos taikymai
Dėl šio rezultato tyrimų grupės ir įvairios korporacijos sugebėjo patobulinti žiniomis paremtas sistemas.
Pvz., Tiriant ligas, Bayes'o teorema gali padėti išsiaiškinti, ar liga yra nustatyta tam tikros savybės žmonių grupėje, atsižvelgiant į duomenis apie bendrą ligos dažnį ir minėtų požymių paplitimą tiek sveiki, tiek sergantys žmonės.
Kita vertus, aukštųjų technologijų pasaulyje tai padarė įtaką didelėms įmonėms, kurios šio rezultato dėka sukūrė „žiniomis pagrįstą“ programinę įrangą.
Kaip kasdienį pavyzdį turime „Microsoft Office“ asistentą. Bayes'o teorema padeda programinei įrangai įvertinti vartotojo pateiktas problemas ir nustatyti, kokius patarimus jam duoti, ir tokiu būdu sugebėti pasiūlyti geresnes paslaugas pagal vartotojo įpročius.
Pažymėtina, kad ši formulė buvo ignoruojama iki pastarojo meto, tai daugiausia todėl, kad kai šis rezultatas buvo sukurtas prieš 200 metų, jie buvo mažai naudojami praktiškai. Tačiau mūsų laikais, didele technologinės pažangos dėka, mokslininkai rado būdų, kaip šį rezultatą pritaikyti praktikoje.
Išspręsta mankšta
1 pratimas
Mobiliųjų telefonų kompanija turi dvi mašinas A ir B. 54% pagamintų mobiliųjų telefonų pagaminama mašina A, o likusi dalis - mašina B. Ne visi gaminami mobilieji telefonai yra geros būklės.
Sugadintų mobiliųjų telefonų, pagamintų A, dalis yra 0,2, o B - 0,5. Kokia tikimybė, kad tos gamyklos mobilusis telefonas sugedo? Kokia tikimybė, kad žinant, kad mobilusis telefonas sugedo, jis kyla iš mašinos A?
Sprendimas
Čia jūs turite eksperimentą, kuris atliekamas iš dviejų dalių; pirmoje dalyje įvyksta:
A: ląstelė, pagaminta A mašina
B: ląstelė, pagaminta B mašina
Kadangi aparatas A pagamina 54% mobiliųjų telefonų, o likusią dalį gamina mašina B, darytina išvada, kad mašina B pagamina 46% mobiliųjų telefonų. Pateikiamos šių įvykių tikimybės:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Antrosios eksperimento dalies įvykiai:
D: sugedęs mobilusis telefonas.
E: mobilusis telefonas be trūkumų.
Kaip teigiama, šių įvykių tikimybės priklauso nuo pirmoje dalyje gauto rezultato:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
Naudojant šias vertes taip pat galima nustatyti šių įvykių papildymų tikimybes, tai yra:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
ir
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Dabar įvykis D gali būti parašytas taip:
Naudodami daugybos teoremą sąlyginės tikimybės rezultatams:
Tada atsakyta į pirmąjį klausimą.
Dabar mums reikia tik apskaičiuoti P (AD), kuriai taikoma Bayes'o teorema:
Bayes'o teoremos dėka galima teigti, kad tikimybė, jog mobilusis telefonas buvo pagamintas mašina A, žinant, kad mobilusis telefonas yra sugedęs, yra 0,319.
2 pratimas
Trijose dėžutėse yra nespalvoti rutuliai. Kiekvieno iš jų sudėtis yra tokia: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Viena iš langelių pasirenkama atsitiktinai, o atsitiktinai nupieštas rutulys, kuris pasirodo baltas. Kokia dėžutė greičiausiai buvo pasirinkta?
Sprendimas
Naudodami U1, U2 ir U3, mes taip pat pavaizduosime pasirinktą langelį.
Šie įvykiai sudaro S skaidinį ir patikrinama, ar P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, nes langelio pasirinkimas yra atsitiktinis.
Jei B = {nupieštas rutulys yra baltas}, turėsime P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Tai, ko norime gauti, yra tikimybė, kad rutulys buvo išimtas iš dėžutės Ui, žinant, kad tas rutulys buvo baltas, tai yra, P (Ui -B), ir pažiūrėkite, kuri iš trijų verčių buvo didžiausia, iš kurios žinoti dėžutėje greičiausiai buvo ištrauktas lazda.
Taikydami Bayes'o teoremą pirmajam iš langelių:
Ir kitiems dviem:
P (U2-B) = 2/6 ir P (U3-B) = 1/6.
Tada pirmasis iš dėžių yra tas, kuris turi didžiausią tikimybę būti pasirinktas ištraukti lazda.
Nuorodos
- Kai Lai Chung. Pradinių galimybių teorija naudojant stochastinius procesus. „Springer-Verlag New York Inc“
- Kennethas.H. Diskretinė matematika ir jos taikymai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Paulius L. Meyeris. Tikimybė ir statistinis pritaikymas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Išspręstos diskretinės matematikos problemos. McGRAW-HILL.
- Seymour Lipschutz Ph.D. Teorijos ir tikimybių problemos. McGRAW-HILL.