Bolcanas teorema teigia, kad jei funkcija yra tęstinis kiekviename ruože taško ir yra patenkintas, kad "A" ir "B" (pagal funkciją) turi priešingas ženklų vaizdo, tada bus bent vienas taškas " c “atviruoju intervalu (a, b) tokiu būdu, kad funkcija, įvertinta„ c “, būtų lygi 0.
Šią teoremą 1850 m. Apibūdino filosofas, teologas ir matematikas Bernardas Bolzano. Šis mokslininkas, gimęs dabartinėje Čekijos Respublikoje, buvo vienas iš pirmųjų matematikų istorijoje, oficialiai pateikęs ištisinių funkcijų savybes.
Paaiškinimas
Bolzano teorema taip pat žinoma kaip tarpinių verčių teorema, padedanti nustatyti konkrečias tikrojo kintamojo realiųjų funkcijų reikšmes, ypač nulius.
Tam tikroje funkcijoje f (x) tęsiasi, tai yra, kad f (a) ir f (b) yra sujungtos kreive, kur f (a) yra žemiau x ašies (ji yra neigiama), o f (b) - virš x ašies (ji yra teigiama) arba atvirkščiai, x ašyje bus atskirties taškas, kuris parodys tarpinę reikšmę «c», kuri bus tarp «a» ir «b», ir f (c) vertę. bus lygus 0.
Grafiškai analizuojant Bolzano teoremą, galima pastebėti, kad kiekvienai ištisinei funkcijai f, apibrėžtai intervalu, kur f (a) * f (b) yra mažesnis nei 0, joje bus bent viena tos funkcijos „c“. intervalo (a, b).
Ši teorema nenustato taškų skaičiaus tame atvirame intervale, ji tik teigia, kad yra bent 1 taškas.
Demonstracija
Bolzano teoremai įrodyti daroma prielaida, kad f (a) <0 ir f (b)> 0; taigi tarp „a“ ir „b“ gali būti daugybė reikšmių, kurioms f (x) = 0, tačiau reikia parodyti tik vieną.
Pirmiausia įvertiname f vidurio taške (a + b) / 2. Jei f ((a + b) / 2) = 0, tada įrodymas baigiasi čia; priešingu atveju f ((a + b) / 2) yra teigiamas arba neigiamas.
Pasirinkta viena iš intervalo pusių taip, kad kraštutinumu įvertintos funkcijos požymiai būtų skirtingi. Šis naujas intervalas bus.
Dabar, jei f, įvertintas viduryje, nėra lygus nuliui, tada atliekama tokia pati operacija kaip ir anksčiau; tai yra, pasirenkama pusė šio intervalo, atitinkančio ženklų būklę. Tegul tai bus naujas intervalas.
Jei tęsite šį procesą, turėsite dvi sekas {an} ir {bn}, tokias kaip:
{an} daugėja, o {bn} mažėja:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Jei apskaičiuosite kiekvieno intervalo ilgį, turėsite:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
…
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Todėl riba artėjant prie (bn-an) begalybės n yra lygi 0.
Naudojant tai, kad {an} didėja ir ribojasi, o {bn} mažėja ir ribojasi, mes turime tokią reikšmę «c», kad:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤… .≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
A riba yra „c“, o {bn} riba taip pat yra „c“. Taigi, atsižvelgiant į bet kurį δ> 0, visada yra toks „n“, kad intervalas yra intervale (c-δ, c + δ).
Dabar reikia parodyti, kad f (c) = 0.
Jei f (c)> 0, tada, kai f yra tęstinis, egzistuoja ε> 0 toks, kad f yra teigiamas per visą intervalą (c - ε, c + ε). Tačiau, kaip minėta aukščiau, yra reikšmė "n", tokia, kad f pasikeičia prisijungimas ir, be to, yra (c - ε, c + ε), o tai yra prieštara.
Jei f (c) <0, tada, kadangi f yra tęstinis, egzistuoja ε> 0 toks, kad f yra neigiamas per visą intervalą (c - ε, c + ε); tačiau egzistuoja tokia „n“ reikšmė, kad f keičiasi prisijungęs. Pasirodo, kad jis yra viduje (c - ε, c + ε), o tai taip pat yra prieštara.
Todėl f (c) = 0 ir tai mes norėjome įrodyti.
Kam tai?
Remiantis grafiniu aiškinimu, Bolzano teorema naudojama šaknims ar nuliams surasti ištisinėje funkcijoje, atliekant dalijimąsi (apytikslę), kuri yra pamatinis paieškos metodas, padalijantis intervalus iš 2.
Tada imamas intervalas arba ten, kur pasikeičia ženklas, ir procesas kartojamas tol, kol intervalas yra mažesnis ir mažesnis, kad būtų galima priartėti prie norimos vertės; tai yra iki vertės, kurią funkcija padaro 0.
Apibendrinant, norint pritaikyti Bolzano teoremą ir taip surasti šaknis, apriboti funkcijos nulius arba pateikti lygties sprendimą, atliekami šie veiksmai:
- Patikrinama, ar f yra ištisinė intervalo funkcija.
- Jei intervalas nėra nurodytas, reikia rasti tą vietą, kur funkcija nepertraukiama.
- Patikrinama, ar intervalo kraštutinumai duoda priešingus ženklus, kai įvertinama f.
- Jei nėra gaunami priešingi ženklai, intervalas turi būti padalytas į dvi tarpines puses, naudojant vidurio tašką.
- Įvertinkite funkciją viduryje ir patikrinkite, ar Bolzano hipotezė įvykdyta, kai f (a) * f (b) <0.
- Atsižvelgiant į rastos vertės ženklą (teigiamą ar neigiamą), procesas kartojamas nauju tarpiniu intervalu, kol bus įvykdyta minėta hipotezė.
Išspręsta mankšta
1 pratimas
Nustatykite, ar funkcijos f (x) = x 2 - 2 intervale yra bent vienas tikrasis sprendimas.
Sprendimas
Turime funkciją f (x) = x 2 - 2. Kadangi ji yra polinomas, tai reiškia, kad ji yra tęstinė bet kokiu intervalu.
Prašoma išsiaiškinti, ar intervale yra tikras sprendimas, todėl dabar reikia pakeisti intervalo galus funkcijoje, kad žinotumėte šių ženklą ir žinotumėte, ar jie tenkina skirtumo sąlygą:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (neigiamas)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (teigiama)
Todėl ženklas f (1) ≠ ženklas f (2).
Tai užtikrina, kad yra bent vienas taškas "c", priklausantis intervalui, kuriame f (c) = 0.
Tokiu atveju "c" vertę galima lengvai apskaičiuoti taip:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Taigi √2 ≈ 1,4 priklauso intervalui ir išpildo tai, kad f (√2) = 0.
2 pratimas
Parodykite, kad lygtis x 5 + x + 1 = 0 turi bent vieną realųjį sprendimą.
Sprendimas
Pirmiausia atkreipkime dėmesį, kad f (x) = x 5 + x + 1 yra daugianario funkcija, tai reiškia, kad ji yra tęstinė visais realiaisiais skaičiais.
Tokiu atveju intervalas nenurodomas, todėl vertes reikia pasirinkti intuityviai, geriau artimas 0, kad įvertintumėte funkciją ir rastumėte ženklo pokyčius:
Jei naudojate intervalą, turite:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Kadangi ženklo pakeitimo nėra, procesas kartojamas su kitu intervalu.
Jei naudojate intervalą, turite:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
Šiuo intervalu pasikeičia ženklas: f (-1) ≠ f (0) ženklas, o tai reiškia, kad funkcija f (x) = x 5 + x + 1 turi bent vieną tikrąją šaknį «c». intervale, tokiu, kad f (c) = 0. Kitaip tariant, tiesa, kad x 5 + x + 1 = 0 intervale turi realų sprendimą.
Nuorodos
- Bronšteinas I, SK (1988). Inžinierių ir studentų matematikos žinynas. . Redakcija MIR.
- George'as, A. (1994). Matematika ir protas. „Oxford University Press“.
- Ilín V, PE (1991). Matematinė analizė. Trimis tomais. .
- Jesús Gómez, FG (2003). Vidurinio ugdymo mokytojai. II tomas. PIKTAS.
- „Mateos“, ML (2013). Pagrindinės analizės savybės R. Editores'e, gruodžio 20 d.
- Piskunovas, N. (1980). Diferencinis ir vientisasis skaičiavimai. .
- Sydsaeter K, HP (2005). Matematika ekonominei analizei. Feliksas Varela.
- Williamas H. Barkeris, RH (nd). Nuolatinė simetrija: nuo Euklido iki Kleino. Amerikos matematikos soc.