ČEBIŠOVO TEOREMA: KAS TAI YRA, PROGRAMOS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Teorema Čebyševo (Čebyševo arba nelygybė) yra vienas iš svarbiausių klasikinių rezultatų tikimybių teoriją. Tai leidžia įvertinti įvykio, aprašyto atsitiktiniu kintamuoju X, tikimybę, suteikiant mums ribą, kuri nepriklauso nuo atsitiktinio kintamojo pasiskirstymo, bet nuo X dispersijos.

Teorema pavadinta rusų matematiko Pafnuty Chebyshov (taip pat parašyto kaip Chebychev arba Tchebycheff) vardu, kuris, nepaisant to, kad nebuvo pirmasis paskelbęs šią teoremą, pirmasis pateikė parodymą 1867 m.

Ši nelygybė arba tos, kurios dėl savo savybių vadinamos Čebišovo nelygybe, daugiausia naudojamos apytiksliai apskaičiuoti tikimybes apskaičiuojant aukščius.

Iš ko tai susideda?

Tiriant tikimybių teoriją paaiškėja, kad jei žinoma atsitiktinio kintamojo X pasiskirstymo funkcija, galima tikėtis jo tikimybės arba matematinio lūkesčio E (X) ir dispersijos Var (X), jei tokios sumos egzistuoja. Tačiau priešingybė nebūtinai yra tiesa.

Tai yra, žinant E (X) ir Var (X), nebūtinai įmanoma gauti X paskirstymo funkciją, todėl tokius kiekius kaip P (-X-> k) kai kuriems k> 0 gauti yra labai sunku. Bet dėl ​​Chebyshovo nelygybės galima įvertinti atsitiktinio kintamojo tikimybę.

Čebišovo teorema mums sako: jei mėginio erdvėje S turime atsitiktinį kintamąjį X su tikimybės funkcija p, o jei k> 0, tada:

Paraiškos ir pavyzdžiai

Tarp daugelio Čebišovo teoremos taikymo pavyzdžių galima paminėti:

Ribinės tikimybės

Tai yra labiausiai paplitęs taikymas ir naudojamas norint suteikti viršutinę P (-XE (X) -≥k) ribą, kur k> 0, tik esant atsitiktinio kintamojo X dispersijai ir tikimybei, nežinant tikimybės funkcijos. .

1 pavyzdys

Tarkime, kad per savaitę įmonėje pagamintų produktų skaičius yra atsitiktinis kintamasis, kurio vidurkis yra 50.

Jei žinoma, kad vienos produkcijos savaitės dispersija yra lygi 25, tai ką galime pasakyti apie tikimybę, kad šią savaitę produkcija skirsis daugiau nei 10 nuo vidurkio?

Sprendimas

Taikydami Čebišovo nelygybę, turime:

Iš to mes galime gauti, kad tikimybė, kad gamybos savaitę dirbinių skaičius viršys vidurkį daugiau kaip 10, yra ne didesnė kaip 1/4.

Ribinių teoremų įrodymas

Čebišovo nelygybė vaidina svarbų vaidmenį įrodant svarbiausias ribines teoremas. Kaip pavyzdį galime pateikti šiuos dalykus:

Silpnas daugelio įstatymas

Šis įstatymas nurodo, kad, atsižvelgiant į nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų, turinčių tą patį vidutinį pasiskirstymą E (Xi) = μ ir dispersijos Var (X) = σ ² , seką X1, X2,…, Xn,… , ir žinomą vidutinį imtį iš:

Tada kai k> 0 turime:

Arba taip pat:

Demonstracija

Pirmiausia pastebėkime:

Kadangi X1, X2,…, Xn yra nepriklausomi, darytina išvada, kad:

Todėl galima teigti:

Tada, naudodamiesi Čebišovo teorema, turime:

Galiausiai, teorema atsiranda dėl to, kad riba dešinėje yra lygi nuliui, kai n artėja prie begalybės.

Reikėtų pažymėti, kad šis testas buvo atliktas tik tuo atveju, kai egzistuoja Xi dispersija; tai yra, jis neiškrypsta. Taigi pastebime, kad teorema visada teisinga, jei egzistuoja E (Xi).

Čebišovo ribos teorema

Jei X1, X2,…, Xn,… yra nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų seka, egzistuojanti tam tikra C <begalybė, tokia, kad Var (Xn) ≤ C visam natūraliajam n, tada bet kuriam k> 0:

Demonstracija

Kadangi dispersijų seka yra tolygiai ribojama, mes turime, kad Var (Sn) ≤ C / n, visiems natūraliems n. Bet mes žinome, kad:

N linkus link begalybės, gaunami šie rezultatai:

Kadangi tikimybė negali viršyti 1 vertės, gaunamas norimas rezultatas. Kaip šios teoremos pasekmę galėtume paminėti konkretų Bernulio atvejį.

Jei eksperimentas pakartojamas n kartų nepriklausomai su dviem įmanomais rezultatais (nesėkme ir sėkme), kur p yra sėkmės tikimybė kiekviename eksperimente, o X yra atsitiktinis kintamasis, kuris parodo gautų pasisekimų skaičių, tada kiekvienam k> 0 tu privalai:

Imties dydis

Kalbant apie dispersiją, Čebišovo nelygybė leidžia mums rasti n imties dydį, kurio pakanka, kad būtų galima garantuoti, jog tikimybė, kad -Sn-μ -> = k įvyks, yra kiek įmanoma mažesnė, o tai mums leidžia apytiksliai. iki vidutinio.

Tiksliau, tegul X1, X2,… Xn yra nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų, kurių dydis n, pavyzdys ir tarkime, kad E (Xi) = μ ir jo dispersija σ ² . Tada dėl Chebyshovo nelygybės mes turime:

Pavyzdys

Tarkime, kad X1, X2,… Xn yra nepriklausomų atsitiktinių kintamųjų su Bernoulli pasiskirstymu pavyzdys, kad jie imtųsi 1 vertės su p = 0,5 tikimybe.

Koks turi būti imties dydis, kad būtų galima garantuoti, jog skirtumas tarp aritmetinio vidurkio Sn ir numatomos jo vertės (viršijantis daugiau kaip 0,1) yra mažesnis arba lygus 0,01?

Sprendimas

Turime, kad E (X) = μ = p = 0,5 ir kad Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0,25. Pagal Chebyshovo nelygybę bet kuriai k> 0 turime:

Dabar, paėmę k = 0,1 ir δ = 0,01, turime:

Tokiu būdu daroma išvada, kad norint užtikrinti, kad įvykio -Sn - 0,5 -> = 0,1 tikimybė būtų mažesnė kaip 0,01, reikia mažiausiai 2500 imties dydžio.

Čebišovo tipo nelygybės

Yra keletas nelygybių, susijusių su Čebišovo nelygybe. Vienas geriausiai žinomų yra Markovo nelygybė:

Šioje išraiškoje X yra neigiamas atsitiktinis kintamasis, kai k, r> 0.

Markovo nelygybė gali būti įvairių formų. Pvz., Tegul Y yra neigiamas atsitiktinis kintamasis (taigi P (Y> = 0) = 1) ir tarkime, kad E (Y) = μ egzistuoja. Taip pat manyti, kad (E (Y)) ^R = μ _r egzistuoja tam tikrą sveikasis skaičius r> 1. Taigi:

Kita nelygybė yra Gausso kalba, kuri mums sako, kad atsižvelgiant į unimodalinį atsitiktinį kintamąjį X, kai režimas yra lygus nuliui, tada, kai k> 0,

Nuorodos

1. Kai Lai Chung. Pradinių galimybių teorija naudojant stochastinius procesus. „Springer-Verlag New York Inc“
2. Kennethas.H. Diskretinė matematika ir jos taikymai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Paulius L. Meyeris. Tikimybė ir statistinis pritaikymas. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Seymour Lipschutz Ph.D. 2000 m. Išspręstos diskretinės matematikos problemos. McGRAW-HILL.
5. Seymour Lipschutz Ph.D. Teorijos ir tikimybių problemos. McGRAW-HILL.