EGZISTENCIJOS IR UNIKALUMO TEOREMA: ĮRODYMAS, PAVYZDŽIAI IR PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Buvimas ir unikalumas teorema nustato būtinas ir pakankamas sąlygas pirmos eilės diferencialinės lygties, kai tam tikrą pradinį būklės, turėti sprendimą ir dėl šios tirpalo vienintelis.

Tačiau teorema nepateikia jokios technikos ar nuorodos, kaip rasti tokį sprendimą. Egzistencijos ir unikalumo teorema taip pat išplėsta į aukštesnės eilės diferencialines lygtis su pradinėmis sąlygomis, vadinamą Cauchy problema.

1 pav. Parodyta diferencialinė lygtis su pradine sąlyga ir jos sprendimu. Egzistencijos ir unikalumo teorema garantuoja, kad tai yra vienintelis įmanomas sprendimas.

Oficialus egzistavimo ir unikalumo teoremos teiginys yra toks:

„Diferencialinei lygčiai y“ (x) = f (x, y), kurios pradinė sąlyga y (a) = b, yra bent vienas sprendimas stačiakampėje XY plokštumos srityje, kurioje yra taškas (a, b), jei f (x, y) yra tolydus tame regione. Ir jei dalinis f darinys y atžvilgiu: g = ∂f / ∂y yra ištisinis tame pačiame stačiakampyje, tada sprendimas yra unikalus taško (a, b) kaimynystėje, esančioje fy tęstinumo srityje. g. "

Šios teoremos naudingumas visų pirma yra žinant, kurios yra XY plokštumos sritys, kuriose gali egzistuoti sprendimas, taip pat žinant, ar rastas sprendimas yra vienintelis įmanomas, ar yra ir kitų.

Atkreipkite dėmesį, kad tuo atveju, jei unikalumo sąlyga nebus įvykdyta, teorema negali numatyti, kiek iš viso Cauchy problemos sprendimų yra: galbūt ji yra viena, dvi ar daugiau.

Egzistavimo ir unikalumo teoremos įrodymas

2 paveikslas. Charlesas Emile'as Picardas (1856–1941) įskaitytas kaip vienas iš pirmųjų egzistencijos ir unikalumo teoremos įrodymų. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Šiai teoremai yra žinomi du galimi įrodymai, vienas iš jų yra Charles Émile Picard (1856–1941) įrodymas, o kitas - dėl Giuseppe Peano (1858–1932), paremto Augustino Louis Cauchy (1789–1857) darbais. .

Pastebėtina, kad šios teoremos įrodyme dalyvavo patys ryškiausi XIX amžiaus matematiniai protai, todėl galima suprasti, kad nė vienas iš jų nėra paprastas.

Norint oficialiai įrodyti teoremą, pirmiausia reikia nustatyti sudėtingesnių matematinių sąvokų, tokių kaip Lipschitzo tipo funkcijos, Banacho erdvės, Carathéodory egzistavimo teorema, ir keletą kitų, kurios nepatenka į straipsnio taikymo sritį, seriją.

Didelė dalis fizikoje naudojamų diferencialinių lygčių yra susijusios su nenutrūkstamomis funkcijomis dominančiuose regionuose, todėl apsiribosime tuo, kad parodėme, kaip teorema pritaikoma paprastose lygtyse.

Pavyzdžiai

- 1 pavyzdys

Panagrinėkime šią diferencialinę lygtį su pradine sąlyga:

y '(x) = - y; su y (1) = 3

Ar yra šios problemos sprendimas? Ar tai vienintelis įmanomas sprendimas?

Atsakymai

Visų pirma, įvertinamas diferencialinės lygties sprendimo egzistavimas ir tai, ar jis taip pat atitinka pradinę sąlygą.

Šiame pavyzdyje f (x, y) = - ir egzistavimo sąlyga reikalauja žinoti, ar f (x, y) ištisinė XY plokštumos srityje, kurioje yra x = 1, y = 3 koordinačių taškas.

Bet f (x, y) = - y yra afininė funkcija, kuri yra tęstinė realiųjų skaičių srityje ir egzistuoja visame realiųjų skaičių diapazone.

Todėl daroma išvada, kad f (x, y) yra tęstinis R ² , todėl teorema garantuoja bent vieną tirpalą egzistavimą.

Žinant tai, būtina įvertinti, ar sprendimas yra unikalus, ar, priešingai, yra daugiau nei vienas. Tam reikia apskaičiuoti dalinę f išvestinę kintamojo y atžvilgiu:

Tada g (x, y) = -1 kuris yra pastovus funkcija, kuri taip pat yra apibrėžta visiems R ² ir yra taip pat nuolatinis ten. Iš to išplaukia, kad egzistavimo ir unikalumo teorema garantuoja, kad ši pradinės vertės problema iš tikrųjų turi unikalų sprendimą, nors ji mums ir nenurodo, kas tai yra.

- 2 pavyzdys

Apsvarstykite šią pirmosios eilės paprastąją diferencialinę lygtį su pradine sąlyga:

y '(x) = 2√y; ir (0) = 0.

Ar yra y (x) šios problemos sprendimas? Jei taip, nustatykite, ar yra vienas, ar keli.

Atsakyk

Mes manome, kad funkcija f (x, y) = 2√y. Funkcija f apibrėžta tik y≥0, nes žinome, kad neigiamajam skaičiui trūksta tikrosios šaknies. Be to, f (x, y) yra tęstinis viršutinėje plokštumoje R ² įskaitant X ašies, todėl egzistavimo ir vienintelė teorema garantuotų bent vienas sprendimas minėtoje regione.

Pradinė sąlyga x = 0, y = 0 yra tirpalo srities krašte. Tada imame dalinį f (x, y) darinį y atžvilgiu:

∂f / ∂y = 1 / √y

Šiuo atveju funkcija nėra apibrėžta y = 0, tiksliai ten, kur yra pradinė sąlyga.

Ką mums sako teorema? Jis sako mums, kad nors mes žinome, kad viršutinėje X ašies plokštumos viršutinėje plokštumoje yra bent vienas sprendimas, įskaitant X ašį, nes unikalumo sąlygos nėra tenkinamos, tačiau nėra jokios garantijos, kad bus unikalus sprendimas.

Tai reiškia, kad f (x, y) tęstinumo srityje gali būti vienas ar keli sprendimai. Ir kaip visada, teorema mums nenurodo, kokie jie galėtų būti.

Išspręsta mankšta

- 1 pratimas

Išspręskite „Cauchy“ problemą 1 pavyzdyje:

y '(x) = - y; su y (1) = 3.

Raskite funkciją y (x), tenkinančią diferencialinę lygtį ir pradinę sąlygą.

Sprendimas

1 pavyzdyje buvo nustatyta, kad ši problema turi sprendimą ir yra unikali. Norint rasti sprendimą, pirmiausia reikia atkreipti dėmesį į tai, kad tai yra atskiriamų kintamųjų pirmojo laipsnio diferencialinė lygtis, parašyta taip:

Padalijimas iš abiejų narių ir į abi dalis, norint atskirti kintamuosius, kuriuos turime:

Neapibrėžtas integralas taikomas abiem nariams:

Spręsdami neapibrėžtus integralius, kuriuos turime:

kur C yra integracijos konstanta, kurią lemia pradinė sąlyga:

Pakeitus C reikšmę ir ją pertvarkius, lieka:

Taikant šią logaritmų savybę:

Aukščiau pateiktą išraišką galima perrašyti taip:

Abiejų elementų eksponentinė funkcija su pagrindu e taikoma siekiant gauti:

y / 3 = e ^{(1 - x)}

Kuris yra lygus:

y = 3e e ^-x

Tai yra unikalus lygties y '= -y sprendimas, kai y (1) = 3. Šio sprendimo grafikas parodytas 1 paveiksle.

- 2 pratimas

Raskite du 2 pavyzdyje nurodytos problemos sprendimus:

y '(x) = 2√ (y); ir (0) = 0.

Sprendimas

Tai taip pat yra atskiriamų kintamųjų lygtis, kuri, parašyta diferencialine forma, atrodo taip:

dy / √ (y) = 2 dx

Neterminuotas integralas iš abiejų narių išlieka:

2 √ (y) = 2 x + C

Kadangi žinome, kad y≥0 tirpalo regione, turime:

y = (x + C) ²

Bet kadangi pradinė sąlyga x = 0, y = 0 turi būti įvykdyta, tada konstanta C yra lygi nuliui ir išlieka toks sprendimas:

y (x) = x ² .

Tačiau šis sprendimas nėra unikalus, funkcija y (x) = 0 taip pat yra iškilusios problemos sprendimas. Egzistencijos ir unikalumo teorema, taikoma šiai problemai 2 pavyzdyje, jau spėjo, kad gali būti daugiau nei vienas sprendimas.

Nuorodos

1. Coddingtonas, Earlas A .; Levinsonas, Normanas (1955), Įprastų diferencialinių lygčių teorija, Niujorkas: McGraw-Hill.
2. Matematikos enciklopedija. Cauchy-Lipschitz teorema. Atkurta iš: encyclopediaofmath.org
3. Lindelöf, Sur l'application de la méthode des approximations secives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre; Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 1894 m., 116 tomas, p. 454–457. Atkurta iš: gallica.bnf.fr.
4. Vikipedija. Pakartotinis „Picard“ aproksimacijos metodas. Atkurta iš: es.wikipedia.com
5. Vikipedija. Pikardo-Lindelöfo teorema. Atkurta iš: es.wikipedia.com.
6. Zill, D. 1986 m. Elementariosios diferencialinės lygtys su programomis. Prentice salė.