Žalioji "ai teorema yra skaičiavimo metodas naudojamas prijungti linija integralai dvigubų integralai ar paviršiaus ploto. Dalyvaujančios funkcijos turi būti pažymėtos kaip vektoriniai laukai ir apibrėžtos C kelyje.
Pvz., Linijinę integraliąją išraišką gali būti labai sunku išspręsti; tačiau įgyvendinant Greeno teoremą dvigubi integralai tampa gana pagrindiniai. Visada svarbu paisyti teigiamos trajektorijos krypties, tai reiškia kryptį prieš laikrodžio rodyklę.
Greeno teorema yra ypatingas Stokso teoremos atvejis, kai vektoriaus funkcijos projekcija atliekama xy plokštumoje.
Apibrėžimas
Greeno teorema yra tokia:
Pirmasis terminas parodo skalės sandaugos tarp vektoriaus funkcijos „F“ ir vektoriaus „r“ liniją, apibrėžtą keliu „C“.
C: Tai yra apibrėžtas kelias, kuriuo vektoriaus funkcija bus projektuojama tol, kol ji bus apibrėžta tai plokštumai.
F: vektorinė funkcija, kai kiekvienas jo komponentas yra apibūdinamas kaip funkcija (f, g).
r: Tai vektorius, liečiantis R sritį, per kurią apibrėžtas integralas. Šiuo atveju mes dirbame su šio vektoriaus diferencialu.
Antruoju terminu matome išplėtotą Grinono teoremą, kurioje stebimas g ir f dalinių darinių skirtumo R regione apibrėžtas dvigubas integralas, atitinkamai, x ir y. Pagal plotą, kuris yra ne kas kita, kaip dviejų dimensijų diferencialų sandauga (dx.dy).
Ši teorema puikiai tinka erdvės ir paviršiaus integralams.
Demonstracija
Norint paprastu būdu įrodyti Greeno teoremą, ši užduotis bus padalinta į 2 dalis. Visų pirma, mes manysime, kad vektoriaus funkcija F turi apibrėžimą tik versore i. Nors eilę j atitinkanti funkcija „g“ bus lygi nuliui.
Autorius
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Pirmiausia sukuriame linijos C integrale, kuriam kelias yra suskirstytas į segmentus, suskirstytus į 2 dalis, kurios pirmiausia eina iš a į b, o paskui iš b į a.
Apibrėžtam integralui taikoma pagrindinės skaičiavimo teoremos apibrėžtis.
Išraiška pertvarkoma į vieną integralą, neigiamasis tampa bendru veiksniu, o veiksnių eiliškumas keičiamas.
Detaliai stebint šią išraišką, tampa akivaizdu, kad taikydami primityviosios funkcijos kriterijus, mes esame iš posakio, gauto iš f, integralo y atžvilgiu. Įvertinta parametrais
Dabar pakanka manyti, kad vektoriaus funkcija F yra apibrėžta tik g (x, y) j . Kai dirbama panašiai kaip ankstesniame pavyzdyje, gaunama:
Pabaigoje paimami 2 įrodymai ir sujungiami tuo atveju, kai vektoriaus funkcija užima vertes abiem versores. Tokiu būdu parodyta, kaip apibrėžus ir laikant vienmatę trajektoriją, linijos integralas gali būti visiškai išvystytas plokštumai ir erdvei.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
Tokiu būdu įrodyta Greeno teorema.
Programos
Greeno teoremos taikymas yra platus fizikos ir matematikos srityse. Tai taikoma bet kuriai programai ar naudojimui, kurią galima suteikti linijų integracijai.
Mechaninį darbą, kurį jėga F daro per kelią C, gali išplėsti linijos integralas, išreikštas kaip dvigubas ploto integralas pagal Greeno teoremą.
Daugelio kūnų, veiktų išorinėms jėgoms skirtinguose taikymo taškuose, inercijos momentai taip pat reaguoja į linijų integralius, kuriuos galima sukurti pagal Greeno teoremą.
Tai turi daugybę naudojamų medžiagų atsparumo tyrimų funkcijų. Kur išorines vertes galima kiekybiškai įvertinti ir į jas atsižvelgti prieš kuriant įvairius elementus.
Apskritai, Greeno teorema palengvina supratimą ir apibrėžimą sričių, kuriose vektoriaus funkcijos yra apibrėžtos tam tikroje kelio dalyje.
Istorija
Jis buvo paskelbtas 1828 m. Darbe „Matematinė elektros ir magnetizmo teorijų analizė“, kurį parašė britų matematikas George'as Greenas. Joje nagrinėjamos gana svarbios skaičiavimo taikymo fizikoje sekcijos, tokios kaip potencialių funkcijų samprata, Greeno funkcijos ir jo paties pavadintos teoremos taikymai.
George'as Greenas įformino savo studento karjerą būdamas 40-ies, būdamas iki šiol visiškai savamoksliu matematiku. Po studijų Kembridžo universitete jis tęsė savo tyrimus, kurdamas akustiką, optiką ir hidrodinamiką, kurios tebegalioja ir šiandien.
Ryšys su kitomis teoremomis
Greeno teorema yra ypatingas atvejis, ir ji kyla iš 2 kitų labai svarbių teoremų skaičiavimo srityje. Tai yra Kelvino-Stokso teorema ir divergencijos arba Gausso Ostrogradskio teorema.
Pradedant bet kuria iš dviejų teoremų, galima prieiti prie Greeno teoremos. Norint sukurti tokius įrodymus, reikia tam tikrų apibrėžimų ir pasiūlymų.
Pratimai
- Šis pratimas parodo, kaip tiesės integralą paversti dvigubu integralu R regiono atžvilgiu.
Originali išraiška yra tokia:
Iš kur paimamos atitinkamos af ir g funkcijos
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Taikant Greeno teoremą, nėra vieno būdo apibrėžti integracijos ribas. Tačiau yra būdų, kai apibrėžti integralai gali būti paprastesni. Taigi integracijos ribų optimizavimas nusipelno dėmesio.
Kur, spręsdami integralus, gauname:
Ši vertė kubiniais vienetais atitinka sritį, esančią žemiau vektoriaus funkcijos ir virš trikampio, apibrėžto C.
Jei linijos integralas neatliktų Greeno metodo, būtų reikėję parametruoti kiekvieno regiono skyriaus funkcijas. Tai yra, atlikite 3 parametrinius integralius skiriamąja geba. Tai yra pakankamas veiksmingumo įrodymas, kurį Robertas Greenas pateikė savo teoremai apskaičiuoti.
Nuorodos
- Įvadas į kontinuumo mechaniką. W Michaelas Lai, Davidas H. Rubinas, Erhardas Kremplas, Davidas Rubinas Butterworthas-Heinemannas, liepos 23 d. 2009 metai
- Daugiamatis skaičiavimas. Jamesas Stewartas. „Cengage“ mokymasis, kovo 22 d 2011 metai
- Neoficiali Greeno teoremos ir susijusių idėjų istorija. Jamesas Džozefas Kryžius. Melburno universiteto Matematikos katedra, 1975 m
- Šilumos laidumas naudojant žaliąsias funkcijas. Kevinas D. Cole'as, Jamesas V. Beckas, A. Haji-Sheikhas, Bahmanas Litkouhi. Tayloras ir Pranciškus, liepos 16 d 2010 metai
- Greeno teoremos taikymas tiesinėms integralioms medžiagoms pašalinti. Gynybos techninės informacijos centras, 1961 m