MOIVRE'O TEOREMA: ĮRODYTI IR IŠSPRĘSTI PRATIMAI - MATEMATIKA - 2025

Iš Moivre teorema taikomas algebros gyvybinius procesus, kaip antai: įgaliojimai ir gavybos šaknų kompleksiniais skaičiais. Teoremą pareiškė garsus prancūzų matematikas Abrahamas de Moivre'as (1730), kuris kompleksinius skaičius susiejo su trigonometrija.

Abraomas Moivre'as šią asociaciją užmezgė per sinuso ir kosinuso išraiškas. Šis matematikas sukūrė tam tikrą formulę, pagal kurią įmanoma padidinti skaičių z z iki galios n, kuris yra teigiamas sveikasis skaičius didesnis arba lygus 1.

Kas yra Moivre'o teorema?

Moivre'o teorema teigia:

Jei turime poliarinės formos sudėtingą skaičių z = r _Ɵ , kur r yra komplekso skaičiaus z modulis, o kampas Ɵ vadinamas bet kurio komplekso skaičiaus, turinčio 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, amplitudę arba argumentą, kad apskaičiuotume jo n– galia nebus būtina padauginti iš jos n kartų; tai yra, nebūtina gaminti šį produktą:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*. . . *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *. . . *} r _Ɵ n kartų.

Teorema, priešingai, sako, kad rašydami z trigonometrine forma, kad apskaičiuotume n-tą galią, mes elgiamės taip:

Jei z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), tada z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Pavyzdžiui, jei n = 2, tada z ² = r ² . Jei n = 3, tada z ³ = z ² _* z. Taip pat:

z ³ = r ² _* r = r ³ .

Tokiu būdu gali būti gauti kampo kartotinių sinuso ir kosinuso trigonometriniai santykiai, jei žinomi kampo trigonometriniai santykiai.

Lygiai taip pat jis gali būti naudojamas tikslesnėms ir mažiau painiojančioms posakių n-osios šaknies sudėtiniam skaičiui z rasti, kad z ⁿ = 1.

Moivre'o teoremai įrodyti naudojamas matematinės indukcijos principas: jei sveikasis skaičius „a“ turi savybę „P“, o jei kuriam nors sveikam skaičiui „n“ yra didesnis nei „a“, turintis savybė „P“. Tai reiškia, kad n + 1 taip pat turi savybę „P“, tada visi sveikieji skaičiai, didesni ar lygūs „a“, turi savybę „P“.

Demonstracija

Taigi, teoremos įrodymas atliekamas šiais etapais:

Indukcinė bazė

Pirmiausia patikrinama, ar n = 1.

Kadangi z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹ , teorema galioja n = 1.

Indukcinė hipotezė

Manoma, kad formulė teisinga tam tikram teigiamam sveikam skaičiui, tai yra, n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

Patikrinimas

Įrodyta, kad tiesa, kai n = k + 1.

Kadangi z ^{k + 1} = z ^k _* z, tada z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Tada posakiai padauginami:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

Akimirką koeficientas r ^{k + 1} yra ignoruojamas ir imamas bendras koeficientas i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Kadangi i ² = -1, mes jį pakeičiame išraiška ir gauname:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Dabar užsakoma tikroji ir įsivaizduojamoji dalys:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

Išraiškai supaprastinti kosinusui ir sinusui taikomi kampų sumos trigonometriniai tapatumai, kurie yra:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

Šiuo atveju kintamieji yra kampai Ɵ ir kƟ. Taikydami trigonometrinius tapatumus, turime:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = sin (kƟ + Ɵ)

Tokiu būdu išraiška yra:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

Taigi galima parodyti, kad rezultatas yra teisingas n = k + 1. Matematinės indukcijos principu daroma išvada, kad rezultatas yra teisingas visiems teigiamiems skaičiams; tai yra, n ≥ 1.

Neigiamas sveikasis skaičius

Moivre'o teorema taip pat taikoma, kai n ≤ 0. Apsvarstykime neigiamą sveikąjį skaičių «n»; tada "n" gali būti parašytas kaip "-m", tai yra, n = -m, kur "m" yra teigiamas sveikasis skaičius. Taigi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

Norint gauti teigiamą eksponentą „m“, išraiška užrašoma atvirkščiai:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Dabar naudojamasi tuo, kad jei z = a + b * i yra kompleksinis skaičius, tada 1 ÷ z = ab * i. Taigi:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Naudodami tą cos (x) = cos (-x) ir -sen (x) = sin (-x), turime:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

Taigi galima sakyti, kad teorema taikoma visoms sveikojo skaičiaus „n“ reikšmėms.

Išspręsta mankšta

Teigiamų galių apskaičiavimas

Viena iš operacijų su sudėtiniais skaičiais jų polinėje formoje yra daugyba iš dviejų; tokiu atveju moduliai padauginami ir argumentai pridedami.

Jei turite du sudėtinius skaičius z _{1 ir} z ₂ ir norite apskaičiuoti (z ₁ * z ₂ ) ² , tada elkitės taip:

z ₁ z ₂ = *

Paskirstomoji nuosavybė taikoma:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂ ).

Jie yra sugrupuoti, atsižvelgiant į terminą „i“ kaip į bendrą posakių veiksnį:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Kadangi i ² = -1, jis pakeičiamas išraiška:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Realieji terminai yra pergrupuojami į realius, o įsivaizduojami - su įsivaizduojamais:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Galiausiai taikomos trigonometrinės savybės:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ .

Apibendrinant:

(z ₁ * z ₂ ) ² = (r ₁ r ₂ ) ²

= r ₁ ² r ₂ ² .

1 pratimas

Parašykite komplekso skaičių poliarine forma, jei z = - 2 -2i. Tada, naudodamiesi Moivre'o teorema, apskaičiuokite z ⁴ .

Sprendimas

Komplekso skaičius z = -2 -2i išreiškiamas stačiakampio formos z = a + bi, kur:

a = -2.

b = -2.

Žinant, kad polinė forma yra z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), turime nustatyti modulio „r“ vertę ir argumento „Ɵ“ vertę. Kadangi r = √ (a² + b²), nurodytos vertės pakeičiamos:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

Tada, norint nustatyti «Ɵ» vertę, taikoma stačiakampio formos forma, kuri apskaičiuojama pagal formulę:

įdegis b = b ÷ a

įdegis Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Kadangi tan (Ɵ) = 1 ir turime <0, tada mes turime:

Ɵ = arktanas (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Kadangi „r“ ir „Ɵ“ vertės jau yra gautos, komplekso skaičius z = -2 -2i gali būti išreikštas poliariniu pavidalu, pakeičiant reikšmes:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Dabar apskaičiuodami z ⁴ naudojame Moivre'o teoremą :

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

2 pratimas

Raskite sudėtingų skaičių sandaugą, išreikšdami ją poliariniu pavidalu:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o )

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o ).

Tada apskaičiuokite (z1 * z2) ².

Sprendimas

Pirmiausia suformuojamas nurodytų skaičių sandauga:

z ₁ z ₂ = *

Tada moduliai padauginami tarpusavyje ir pridedami argumentai:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Išraiška supaprastinta:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o ).

Galiausiai taikoma Moivre'o teorema:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o )) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o )).

Neigiamų galių apskaičiavimas

Padalijus du sudėtingus skaičius z _{1 ir} z ₂ jų polinėje formoje, modulis padalijamas ir argumentai atimami. Taigi koeficientas yra z ₁ ÷ z ₂ ir išreiškiamas taip:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Kaip ir ankstesniu atveju, jei norime apskaičiuoti (z1 ÷ z2) ³, pirmiausia atliekamas padalijimas, o tada naudojama Moivre'o teorema.

3 pratimas

Kauliukai:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),

z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),

apskaičiuokite (z1 ÷ z2) ³.

Sprendimas

Atlikus aukščiau aprašytus veiksmus, galima daryti išvadą, kad:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Nuorodos

1. Arthur Goodman, LH (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
2. Croucher, M. (nd). Iš Moivre'o trigubų tapatybių teoremos. „Wolfram“ demonstracinis projektas.
3. Hazewinkel, M. (2001). Matematikos enciklopedija.
4. Maxas Petersas, WL (1972). Algebra ir trigonometrija.
5. Pérez, CD (2010). „Pearson Education“.
6. Stanley, G. (nd). Tiesinė algebra. Graw-Hill.
7. , M. (1997). Išankstinis skaičiavimas. „Pearson Education“.