STEINERIO TEOREMA: PAAIŠKINIMAS, PRITAIKYMAS, PRATIMAI - FIZINIS - 2025

Steiner 'ai teorema , taip pat žinomas kaip lygiagretus ašies teorema, siekiant įvertinti inercijos momentas ilgesnį kūno, apie ašį, kuri yra lygiagreti į kitą praėjimas pro masės objekto centre.

Jį atrado šveicarų matematikas Jakobas Steineris (1796–1863) ir teigia: tegul I _{CM yra} objekto inercijos momentas ašies, einančios per jo masės CM centrą, atžvilgiu, ir I _z inercijos momentas kitos ašies atžvilgiu. lygiagrečiai šiam.

1 pav. Stačiakampės durys, besisukančios ant vyrių, turi inercijos momentą, kurį galima apskaičiuoti taikant Steinerio teoremą. Šaltinis: „Pixabay“.

Žinant atstumą D, kuris skiria abi ašis, ir nagrinėjamo kūno masę M, inercijos momentas nežinomos ašies atžvilgiu yra:

Inercijos momentas parodo, kaip lengva objektui suktis aplink tam tikrą ašį. Tai priklauso ne tik nuo kūno masės, bet ir nuo to, kaip ji paskirstoma. Dėl šios priežasties jis taip pat žinomas kaip sukimosi inercija, nes yra jo vienetai Tarptautinėje sistemoje kg. m ² .

Teorema rodo, kad inercijos momentas I _z yra visuomet yra didesnis nei inercijos I momento _CM pagal tam tikrą pagal MD kiekio ² .

Programos

Kadangi objektas sukasi aplink daugybę ašių, o lentelėse paprastai nurodomas tik inercijos momentas, einantis per centroidą, Steinerio teorema palengvina skaičiavimą, kai reikia pasukti kūnus ant ašių. kad tai nesutampa.

Pavyzdžiui, durys paprastai sukasi ne apie ašį per savo masės centrą, bet apie šoninę ašį, kur tvirtinasi vyriai.

Žinant inercijos momentą, galima apskaičiuoti kinetinę energiją, susijusią su sukimu apie minėtą ašį. Jei K yra kinetinė energija, I inercijos momentas aplink nagrinėjamą ašį ir ω kampinis greitis, tai reiškia, kad:

Ši lygtis yra labai panaši į labai gerai žinomą kinetinės energijos formulę, kai objektas M, judantis greičiu v: K = ½ Mv ² . Ir taip, kad inercijos ar sukimosi inercijos momentas sukasi tą patį vaidmenį sukant kaip ir masė M vertime.

Steinerio teoremos įrodymas

Išplėstinio objekto inercijos momentas yra apibrėžiamas kaip:

I = ∫ r ² dm

Kur dm yra be galo maža masės dalis, o r yra atstumas tarp dm ir sukimosi ašies z. 2 paveiksle ši ašis kerta masės CM centrą, tačiau ji gali būti bet kokia.

2 pav. Objektas, besisukantis aplink dvi lygiagrečias ašis. Šaltinis: F. Zapata.

Aplink kitą z 'ašį inercijos momentas yra:

I _z = ∫ (r ’) ² dm

Pagal trikampį, kurį sudaro vektoriai D , r ir r ' (žr. 2 paveikslą dešinėje), yra vektorių suma:

r + r ' = D → r' = D - r

Trys vektoriai yra objekto plokštumoje, kuri gali būti xy. Koordinačių sistemos kilmė (0,0) pasirinkta CM, kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus.

Tokiu būdu vektoriaus r ' kvadratinis modulis yra:

Šis pokytis yra pakeistas I _z inercinio momento integrale ir naudojamas tankio dm = ρ.dV apibrėžimas:

Steinerio teoremoje esantis terminas M. D ² yra kilęs iš pirmojo integralo, antrasis yra inercijos momentas ašies, einančios per CM, atžvilgiu.

Savo ruožtu trečiasis ir ketvirtasis integralai yra verti 0, nes pagal apibrėžimą jie sudaro CM vietą, kuri buvo pasirinkta kaip koordinačių sistemos kilmė (0,0).

Išspręsta mankšta

-Paspręstas 1 pratimas

1 pav. Stačiakampių durų masė yra 23 kg, 1,30 pločio ir 2,10 m aukščio. Nustatykite durų inercijos momentą ašies, einančios per vyriai, atžvilgiu, darant prielaidą, kad durys yra plonos ir vienodos.

3 pav. 1 pavyzdžio schema. Šaltinis: modifikuotas iš „Pixabay“.

Sprendimas

Iš inercinių momentų lentelės, kai stačiakampės plokštės masė M ir matmenys a ir b, inercijos momentas ašies, einančios per jos masės centrą, atžvilgiu yra: I _CM = (1/12) M (a ² + b ² ).

Bus manoma, kad vartai bus vienarūšiai (apytikslė reikšmė, nes paveiksle esantys vartai tikriausiai nėra tokie). Tokiu atveju masės centras eina per savo geometrinį centrą. 3 pav. Nubrėžta ašis, einanti per masės centrą, kuri taip pat lygiagreti ašiai, einančiai per vyriai.

I _CM = (1/12) x 23 kg x (1,30 ² +2,10 ² ) m ² = 11,7 kg / m ²

Taikant Steinerio teoremą žaliajai sukimosi ašiai:

I = I grupę _cm + MD ² = 11,7 Kg.m ² + 23 kg x 0.652 m ² = 21,4 kg.

-Paspręstas 2 pratimas

Raskite vienalytės plonos lazdelės inercijos momentą, kai ji sukasi apie ašį, einančią per vieną iš jos galų, žr. Paveikslą. Ar jis didesnis ar mažesnis už inercijos momentą, kai sukasi aplink jo centrą? Kodėl?

4 pav. Išskirto pavyzdžio schema. 2 šaltinis: F. Zapata.

Sprendimas

Pagal inercijos momentų lentelę, plonos M masės ir ilgio L ilgio strypo I _CM inercijos momentas yra: I _CM = (1/12) ML ²

Ir Steinerio teorema teigia, kad pasukus aplink ašį, einančią per vieną galą D = L / 2, ji išlieka:

Jis yra didesnis, nors ne tik du kartus, bet ir 4 kartus daugiau, nes kita strypo pusė (nepavaizduota paveikslėlyje) sukasi apibūdinant didesnį spindulį.

Atstumo iki sukimosi ašies įtaka nėra tiesinė, o kvadratinė. Masės, dvigubai didesnės už kitą, inercinis momentas bus proporcingas (2D) ² = 4D ² .

Nuorodos

1. Bauer, W. 2011. Fizika inžinerijai ir mokslams. 1 tomas. Mc Graw Hill. 313-340.
2. Džordžijos valstybinis universitetas. Sukimosi judesys. Atkurta iš: fiz.nthu.edu.tw.
3. Lygiagrečios ašies teorema. Atkurta iš: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
4. Rex, A. 2011. Fizikos pagrindai. Pearsonas. 190-200.
5. Vikipedija. Lygiagrečios ašies teorema. Atkurta iš: en.wikipedia.org