„MILETUS“ PASAKŲ TEOREMA: PIRMA, ANTRA IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Pirmoji ir antroji Mileto Thaleso teoremos yra pagrįstos trikampių nustatymu iš panašių (pirmoji teorema) arba iš apskritimų (antra teorema). Jie buvo labai naudingi įvairiose srityse. Pavyzdžiui, pirmoji teorema buvo labai naudinga matuojant dideles konstrukcijas, kai nebuvo sudėtingesnių matavimo priemonių.

Thalesas iš Miletuso buvo graikų matematikas, labai prisidėjęs prie geometrijos, iš kurių išsiskiria šios dvi teoremos (kai kuriuose tekstuose jis taip pat parašytas kaip Thalesas) ir jų naudingų pritaikymų. Šie rezultatai buvo naudojami per visą istoriją ir leido išspręsti įvairiausias geometrines problemas.

Thales of Miletus

Thaleso pirmoji teorema

Pirmoji Thaleso teorema yra labai naudinga priemonė, kuri, be kita ko, leidžia sudaryti trikampį, panašų į kitą, anksčiau žinomą. Iš čia gautos įvairios teoremos versijos, kurios gali būti pritaikytos keliuose kontekstuose.

Prieš pateikdami savo teiginį, prisiminkime keletą trikampių panašumo idėjų. Iš esmės du trikampiai yra panašūs, jei jų kampai yra lygiagretūs (jie turi tą patį matą). Tai lemia tai, kad jei du trikampiai yra panašūs, jų atitinkamos (arba homologinės) pusės yra proporcingos.

Thaleso pirmoji teorema teigia, kad jei linija bus nubrėžta lygiagrečiai bet kuriai jos pusei tam tikrame trikampyje, gautas naujas trikampis bus panašus į pradinį trikampį.

Taip pat gaunamas santykis tarp suformuotų kampų, kaip parodyta kitame paveiksle.

Taikymas

Tarp daugelio taikomųjų programų ypač išsiskiria ir yra susijęs su vienu iš būdų, kaip senovėje buvo matuojamos stambios konstrukcijos - laikais, kai Thalesas gyveno ir kuriuose nebuvo modernių matavimo prietaisų. jie egzistuoja dabar.

Sakoma, kad taip Thalesui pavyko išmatuoti aukščiausią Egipto piramidę Cheopsą. Tam Thalesas manė, kad saulės spindulių atspindžiai liečia žemę ir sudaro lygiagrečias linijas. Remdamasis šia prielaida, jis prikalė lazdą ar cukranendrę vertikaliai į žemę.

Tada jis panaudojo dviejų gautų trikampių panašumą: vieną suformavo piramidės šešėlio ilgis (kurį galima lengvai apskaičiuoti) ir piramidės aukštis (nežinoma), o kitą sudaro šešėlio ilgis. ir strypo aukštis (kurį taip pat galima lengvai apskaičiuoti).

Naudojant proporcijas tarp šių ilgių, galima išsiaiškinti ir žinoti piramidės aukštį.

Nors šis matavimo metodas gali sukelti didelę apytikslę paklaidą aukščio tikslumo atžvilgiu ir priklauso nuo saulės spindulių lygiagretumo (kuris savo ruožtu priklauso nuo tikslaus laiko), reikia pripažinti, kad tai labai išradinga idėja. ir kad tai buvo tinkama laiko matavimo alternatyva.

Pavyzdžiai

Raskite x reikšmę kiekvienu atveju:

Thaleso antroji teorema

Antroji Thaleso teorema nustato dešinįjį trikampį, įrašytą į apskritimą kiekviename to paties taško taške.

Trikampis, pažymėtas perimetru, yra trikampis, kurio viršūnės yra ant perimetro, taigi lieka jame.

Tiksliau, antroje Thaleso teoremoje teigiama: atsižvelgiant į apskritimą, kurio centras O ir skersmuo AC, kiekvienas apskritimo taškas B (išskyrus A ir C) nustato stačiakampį ABC su stačiu kampu.

Pateisindami atkreipkime dėmesį, kad tiek OA, tiek OB, tiek OC atitinka apskritimo spindulį; todėl jų matavimai yra vienodi. Iš to išplaukia, kad trikampiai OAB ir OCB yra lygiašoniai, kur

Yra žinoma, kad trikampio kampų suma lygi 180º. Naudodami tai su trikampiu ABC, turime:

2b + 2a = 180º.

Lygiai taip pat turime tai, kad b + a = 90º ir b + a =

Atkreipkite dėmesį, kad dešinysis trikampis, pateiktas pagal Thaleso antrąją teoremą, yra būtent tas, kurio hipotenuzė lygi apskritimo skersmeniui. Todėl jį visiškai nustato puslankis, kuriame yra trikampio taškai; šiuo atveju viršutinis puslankis.

Taip pat stebėkime, kad stačiakampyje trikampyje, gautame pagal Thaleso antrąją teoremą, hipotenuzė yra padalinta į dvi lygias dalis OA ir OC (spindulys). Savo ruožtu šis matas yra lygus segmentui OB (taip pat ir spinduliui), kuris atitinka trikampio ABC vidurkį B.

Kitaip tariant, stačiakampio trikampio ABC vidurio ilgį, atitinkantį viršūnę B, visiškai nustato pusė hipotenuzės. Prisiminkite, kad trikampio mediana yra segmentas nuo vienos viršūnės iki priešingos pusės vidurio taško; šiuo atveju BO segmentas.

Apipjaustytas apvadas

Kitas būdas pažvelgti į Thaleso antrąją teoremą yra per apskritimą, apibrėžtą dešiniajame trikampyje.

Apskritai, daugiakampiui apibrėžtą apskritimą sudaro apskritimas, einantis per kiekvieną jo viršūnę, kai tik įmanoma jį nubrėžti.

Naudodamiesi antrąja Thaleso teorema, kuriai suteiktas stačiakampis trikampis, mes visada galime sukonstruoti pagal jį apibrėžtą apskritimą, kurio spindulys būtų lygus pusei hipotenuzės, o apskritimo ilgis (apskritimo centras) būtų lygus hipotenuzės vidurio taškui.

Taikymas

Labai svarbus Taleso antros teoremos taikymas ir, ko gero, plačiausiai naudojamas, yra surasti tam tikro apskritimo liestinės linijas per tašką P, esantį už jo ribų (žinomą).

Atkreipkite dėmesį, kad atsižvelgiant į apskritimą (pavaizduotą mėlyna spalva žemiau esančiame paveikslėlyje) ir išorinį tašką P, yra dvi apskritimo liestines linijas, einančias per P. Tegu T ir T 'yra liestinės taškai, r apskritimo spindulys, ir Arba centras.

Yra žinoma, kad segmentas, einantis nuo apskritimo centro iki to paties tangento taško, yra statmenas šiai liestinės linijai. Taigi kampas OTP yra teisingas.

Iš to, ką mes anksčiau matėme pirmoje Thaleso teoremoje ir skirtingose ​​jos versijose, matome, kad OTP trikampį įmanoma įrašyti kitame apskritime (raudona spalva).

Panašiai gaunama, kad trikampis OT'P gali būti įrašytas tame pačiame ankstesniame apskritime.

Pagal Thaleso antrąją teoremą mes taip pat gauname, kad šio naujo apskritimo skersmuo yra tiksliai trikampio OTP hipotenuzė (kuri lygi trikampio OT'P hipotenūzei), o centras yra šios hipotenuzės vidurio taškas.

Norėdami apskaičiuoti naujo apskritimo centrą, tada pakanka apskaičiuoti pradinio apskritimo (kurį mes jau žinome) vidurį - tarkime M - ir tašką P (kurį mes taip pat žinome). Tada spindulys bus atstumas tarp šio taško M ir P.

Su raudonojo apskritimo spinduliu ir centru galime rasti jo Dekarto lygtį, kurią atsimename yra pateikę (xh) ² + (yk) ² = c ² , kur c yra spindulys ir taškas (h, k) yra apskritimo centras.

Dabar žinodami abiejų apskritimų lygtis, galime juos kirsti, išspręsdami jų sudarytą lygčių sistemą ir taip gaudami liestinės taškus T ir T '. Galiausiai, norint žinoti norimas liestinės linijas, pakanka rasti tiesių, einančių per T ir P, ir per T ’ir P, lygtį.

Pavyzdys

Apsvarstykite apskritimo skersmenį AC, centrą O ir 1 cm spindulį. Tegul B yra toks apskritimo taškas, kad AB = AC. Kaip aukšta yra AB?

Sprendimas

Pagal Thaleso antrąją teoremą turime trikampį ABC dešinėje, o hipotenuzė atitinka skersmenį, kuris šiuo atveju yra 2 cm (spindulys yra 1 cm). Tada pagal Pitagoro teoremą turime:

Nuorodos

1. Ana Lira, PJ (2006). Geometrija ir trigonometrija. „Zapopan“, „Jalisco“: „Ediciones Umbral“.
2. Goodman, A., ir Hirsch, L. (1996). Algebra ir trigonometrija su analitine geometrija. „Pearson Education“.
3. Gutiérrez, Á. Į. (2004). Matematikos metodika ir taikymas ESO švietimo ministerijoje.
4. IGER. (2014). Matematikos antrasis semestras Zaculeu. Gvatemala: IGER.
5. José Jiménez, LJ (2006). Matematika 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. M., S. (1997). Trigonometrija ir analitinė geometrija. „Pearson Education“.
7. Pérez, MA (2009). Matematikos istorija: iššūkiai ir užkariavimai per jo charakterius. Redakcijos vizija „Libros“.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Plokštumos analitinė geometrija. Redakcija Venesolana CA