VARIGNONO TEOREMA: PAVYZDŽIAI IR IŠSPRĘSTI UŽDAVINIAI - MATEMATIKA - 2025

Teorema Varignon teigiama, kad, jei bet keturkampis yra nuolat prijungtas midpoints iš pusių, lygiagretainis yra generuojamas. Šią teoremą suformulavo Pierre Varignon ir ji paskelbta 1731 m. Knygoje „Matematikos elementai“.

Knyga buvo išleista praėjus metams po jo mirties. Kadangi būtent Varignonas pristatė šią teoremą, paralelograma pavadinta jo vardu. Teorema pagrįsta Euklido geometrija ir pateikia keturkampių geometrinius ryšius.

Kas yra Varignono teorema?

Varignonas teigė, kad figūra, kurią apibūdina keturkampio vidurio taškai, visada sudarys paralelę, o lygiagretainio plotas visada bus pusė keturkampio ploto, jei jis plokščias ir išgaubtas. Pavyzdžiui:

Paveiksle galite pamatyti keturkampį su X sritimi, kur kraštų vidurio taškai pavaizduoti E, F, G ir H ir, sujungus juos, sudaro lygiagretę. Keturkampio plotas bus suformuotų trikampių plotų suma, o pusė jo atitinka lygiagretainio plotą.

Kadangi paralelogramos plotas yra pusė keturkampio ploto, galima nustatyti tos paralelogramos perimetrą.

Taigi perimetras lygus keturkampio įstrižainių ilgių sumai; taip yra todėl, kad keturkampio vidurkiai bus lygiagretainio įstrižainės.

Kita vertus, jei keturkampio įstrižainių ilgis yra tiksliai vienodas, lygiagretė bus rombas. Pavyzdžiui:

Iš paveikslo matyti, kad sujungus keturkampio šonų vidurio taškus gaunamas rombas. Kita vertus, jei keturkampio įstrižainės yra statmenos, lygiagretė bus stačiakampis.

Lygiagreti schema taip pat bus kvadratas, kai keturkampis turi tokio paties ilgio įstrižaines ir taip pat statmenas.

Teorija ne tik įvykdoma plokštuminiuose keturkampiuose, bet ir įgyvendinama erdvine geometrija arba dideliais matmenimis; tai yra tuose keturkampiuose, kurie nėra išgaubti. To pavyzdys gali būti oktaedras, kurio vidurio taškai yra kiekvieno veido centroidai ir sudaro lygiagretainį.

Tokiu būdu sujungiant skirtingų figūrų vidurio taškus, galima gauti paralelių diagramas. Paprastas būdas patikrinti, ar tai tiesa, yra tai, kad priešingos pusės turi būti lygiagrečios, kai ištiestos.

Pavyzdžiai

Pirmas pavyzdys

Priešingų pusių išplėtimas, siekiant parodyti, kad tai yra paralelograma:

Antras pavyzdys

Sujungus rombo vidurius, gaunamas stačiakampis:

Teorema naudojama taškų, esančių keturkampio šonuose, viduryje, ir ji taip pat gali būti naudojama kitų tipų taškams, tokiems kaip trisekcija, penkiadalė ar net begalinis sekcijų skaičius ( n-tasis), norint bet kokio keturkampio kraštus padalyti į segmentus, kurie yra proporcingi.

Išspręsta mankšta

1 pratimas

Paveiksle turime keturkampį Z plotą ABCD, kurio vidurio taškai yra PQSR. Patikrinkite, ar suformuota Varignono lygiagretė.

Sprendimas

Galima įsitikinti, kad jungiantis prie PQSR taškų susidaro Varignono lygiagretė būtent todėl, kad teiginyje pateikiami keturkampio vidurio taškai.

Norėdami tai parodyti, pirmiausia sujungiami vidurio taškai PQSR, taigi galima pastebėti, kad susidaro dar vienas keturkampis. Norėdami parodyti, kad tai yra paralelograma, jums reikia tik nubrėžti tiesę nuo taško C iki taško A, kad būtų galima pamatyti, kad CA yra lygiagreti PQ ir RS.

Tuo pačiu būdu, išplečiant PQRS šonus, galima pastebėti, kad PQ ir RS yra lygiagrečios, kaip parodyta šiame paveikslėlyje:

2 pratimas

Mes turime tokį stačiakampį, kad visų jo kraštų ilgis būtų vienodas. Sujungus šių kraštų vidurio taškus, susidaro rombas ABCD, padalytas iš dviejų įstrižainių AC = 7cm ir BD = 10cm, kurios sutampa su stačiakampio šonų matavimais. Nustatykite rombų ir stačiakampio plotus.

Sprendimas

Prisimenant, kad gautos paralelės diagrama yra pusė keturkampio, jų plotą galima nustatyti žinant, kad įstrižainių matas sutampa su stačiakampio kraštais. Taigi jūs turite:

AB = D

CD = d

_{Stačiakampis} = (AB " _* CD) = (10 cm _* 7cm) = 70 cm ²

_Rombas = A _{stačiakampis} / 2

_Rombas = 70 cm ² /2 = 35 cm ²

3 pratimas

Paveiksle yra keturkampis, turintis taškų EFGH jungtį, nurodomi segmentų ilgiai. Nustatykite, ar EFGH sąjunga yra lygiagretė.

AB = 2,4 CG = 3,06

EB = 1,75 GD = 2,24

BF = 2,88 DH = 2,02

HR = 3,94 HA = 2,77

Sprendimas

Kadangi nurodomi segmentų ilgiai, galima patikrinti, ar segmentai yra proporcingi; tai yra, jūs galite žinoti, ar jie yra lygiagretūs, susiedami keturkampio segmentus taip:

- AE / EB = 2,4 / 1,75 = 1,37

- AH / HD = 2,77 / 2,02 = 1,37

- CF / FB = 3,94 / 2,88 = 1,37

- CG / GD = 3,06 / 2,24 = 1,37

Tada patikrinamas proporcingumas, nes:

AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD

Panašiai, kai brėžiama linija nuo taško B iki taško D, galima pamatyti, kad EH yra lygiagreti BD, lygiai taip pat, kaip BD yra lygiagreti FG. Kita vertus, EF yra lygiagreti GH.

Taigi galima nustatyti, kad EFGH yra paralelograma, nes priešingos pusės yra lygiagrečios.

Nuorodos

1. Andresas, T. (2010). Matematikos olimpiados testavimas. Springeris. Niujorkas.
2. Barbosa, JL (2006). Lėktuvo euklidinė geometrija. SBM. Rio de Žaneiras.
3. Howar, E. (1969). Geometrijos tyrimas. Meksika: Ispaniškasis - amerikietis.
4. Ramo, GP (1998). Nežinomi „Fermat-Torricelli“ problemų sprendimai. ISBN - savarankiškas darbas.
5. Vera, F. (1943). Geometrijos elementai. Bogota
6. Villiers, M. (1996). Keletas Euklido geometrijos nuotykių. Pietų Afrika.