BINOMINĖ TEOREMA: ĮRODYMAS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA

Dvinaris teorema yra lygtis, kad pasakoja mums, kaip sukurti formos išraišką (a + b) ⁿ kai natūralusis skaičius n. Dvinaris yra ne kas kita, kaip dviejų elementų, tokių kaip (a + b), suma. Tai taip pat leidžia mums žinoti ^k b ^n-k nurodytą terminą, koks yra koeficientas, lydintis.

Ši teorema paprastai priskiriama anglų išradėjui, fizikui ir matematikui serui Izaokui Newtonui; Tačiau buvo rasta įvairių įrašų, rodančių, kad apie jo egzistavimą buvo žinoma jau Viduriniuose Rytuose, maždaug 1000 metų.

Kombinatoriniai skaičiai

Binominė teorema matematiškai pasako taip:

Šia išraiška a ir b yra tikrieji skaičiai, o n yra natūralusis skaičius.

Prieš pateikdami demonstracinę versiją, pažvelkime į kai kurias būtinas sąvokas.

Kombinatorinis skaičius arba n deriniai k išreiškiami taip:

Ši forma išreiškia vertę, kiek pogrupių su k elementais galima pasirinkti iš n elementų aibės. Jos algebrinę išraišką suteikia:

Pažiūrėkime pavyzdį: tarkime, kad turime septynių rutulių grupę, iš kurių du yra raudoni, o kiti - mėlyni.

Mes norime žinoti, kiek būdų mes galime juos išdėstyti iš eilės. Vienas iš būdų galėtų būti dviejų raudonųjų padėjimas į pirmąją ir antrąją pozicijas, o likusių rutulių - į likusias pozicijas.

Panašiai kaip ir ankstesniu atveju, mes galėtume raudoniems rutuliams suteikti atitinkamai pirmą ir paskutinę pozicijas, o kitus užimti mėlynais rutuliais.

Dabar efektyvus būdas suskaičiuoti, kiek būdų išdėstyti rutulius iš eilės yra naudojant kombinatorinius skaičius. Kiekvieną poziciją galime vertinti kaip šio rinkinio elementą:

Tada belieka pasirinkti dviejų elementų pogrupį, kuriame kiekvienas iš šių elementų parodo vietą, kurią užims raudoni rutuliai. Šį pasirinkimą galime padaryti atsižvelgiant į santykius, kuriuos pateikė:

Tokiu būdu turime 21 būdą, kaip užsisakyti šiuos rutulius.

Bendroji šio pavyzdžio idėja bus labai naudinga įrodant binominę teoremą. Pažvelkime į konkretų atvejį: jei n = 4, turime (a + b) ⁴ , kuris yra ne kas kita, kaip:

Kurdami šį produktą, mes turime palikti terminų, gautų padauginus iš kiekvieno iš keturių faktorių vieną elementą (a + b), sumą. Taigi, mes turėsime tokios formos terminus:

Jei norėjome gauti ⁴ formos terminą , turime tiesiog dauginti taip:

Atminkite, kad yra tik vienas būdas gauti šį elementą; bet kas atsitiks, jei dabar ieškosime formos a ² b ² termino ? Kadangi „a“ ir „b“ yra tikrieji skaičiai ir todėl galioja komutacinis įstatymas, turime vieną iš būdų gauti šį terminą - daugintis su nariais, kaip nurodyta rodyklėmis.

Atlikti visas šias operacijas dažniausiai yra šiek tiek nuobodus, tačiau jei matome terminą „a“ kaip derinį, kai norime žinoti, kiek būdų galime pasirinkti du „a“ iš keturių veiksnių rinkinio, galime panaudoti ankstesnio pavyzdžio idėją. Taigi, mes turime šiuos dalykus:

Taigi, mes žinome, kad galutiniame posakio (a + b) ⁴ išplėtime turėsime tiksliai 6a ² b ² . Taikydami tą pačią idėją kitiems elementams, turite:

Tada pridedame anksčiau gautus posakius ir turime:

Tai yra oficialus įrodymas bendruoju atveju, kai „n“ yra bet kuris natūralusis skaičius.

Demonstracija

Atminkite, kad plečiant (a + b) ⁿ palikti terminai yra a ^k b ^{n-k formos} , kur k = 0,1,…, n. Remdamiesi ankstesnio pavyzdžio idėja, turime būdą pasirinkti „k“ kintamuosius «n» faktorių «a»:

Pasirinkdami tokiu būdu, mes automatiškai pasirenkame nk kintamuosius „b“. Iš to išplaukia, kad:

Pavyzdžiai

Atsižvelgiant į (a + b) ⁵ , kokia būtų jo raida?

Pagal binominę teoremą turime:

Binominė teorema yra labai naudinga, jei turime išraišką, kuria norime žinoti, koks yra konkretaus termino koeficientas, neatliekant visiško išsiplėtimo. Kaip pavyzdį galime paimti tokį nežinomą: koks yra x ⁷ ir ⁹ koeficientas plečiantis (x + y) ¹⁶ ?

Pagal binominę teoremą turime, kad koeficientas yra:

Kitas pavyzdys galėtų būti: koks yra x ⁵ ir ⁸ koeficientas plečiantis (3x-7y) ¹³ ?

Pirmiausia patogiu būdu perrašome išraišką; tai yra:

Tada, naudodamiesi binomine teorema, mes turime, kad ieškomas koeficientas yra tada, kai turime k = 5

Kitas šios teoremos panaudojimo pavyzdys yra kai kurių bendrų tapatybių, tokių, kurias mes paminėsime toliau, įrodymas.

1 tapatybė

Jei «n» yra natūralus skaičius, turime:

Įrodymui naudojame binominę teoremą, kur tiek „a“, tiek „b“ yra 1. Tada mes turime:

Tokiu būdu mes įrodėme pirmąją tapatybę.

2 tapatybė

Jei "n" yra natūralusis skaičius, tada

Pagal binominę teoremą turime:

Dar viena demonstracija

Mes galime pateikti skirtingą binominės teoremos įrodymą, naudodami indukcinį metodą ir Paskalio tapatumą, kuris mums sako, kad jei «n» ir «k» yra teigiami sveikieji skaičiai, tenkinantys n ≥ k, tada:

Indukcijos įrodymas

Pirmiausia pažiūrėkime, ar laikoma indukcinė bazė. Jei n = 1, turime:

Iš tikrųjų matome, kad ji įvykdyta. Dabar tegul n = j yra toks, kad:

Norime pamatyti, kad jei n = j + 1, tiesa:

Taigi mes turime:

Pagal hipotezę mes žinome, kad:

Tada, naudodamiesi paskirstymo savybe:

Vėliau, kurdami kiekvieną apibendrinimą, mes turime:

Jei grupuotume patogiai, turime tai:

Naudodamiesi paskalio tapatybe, mes turime:

Galiausiai atkreipkite dėmesį, kad:

Todėl matome, kad binominė teorema galioja visiems „n“, priklausantiems natūraliesiems skaičiams, ir tuo įrodymas baigiasi.

Smalsumai

Kombinatorinis skaičius (nk) taip pat vadinamas binominiu koeficientu, nes būtent koeficientas atsiranda plėtojant binominį (a + b) ⁿ .

Isaacas Newtonas apibendrino šią teoremą tuo atveju, kai eksponentas yra tikrasis skaičius; Ši teorema yra žinoma kaip Niutono binominė teorema.

Jau senovėje šis rezultatas buvo žinomas konkrečiu atveju, kai n = 2. Šis atvejis yra minimas Euklido elementuose.

Nuorodos

Johnsonbaugh Richardas. Diskretinė matematika. PHH
Kennethas.H. Diskretinė matematika ir jos taikymai. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
Seymouras Lipschutzas, Ph.D. ir Marcas Lipsonas. Diskretinė matematika. McGRAW-HILL.
Ralfas P. Grimaldi. Diskretinė ir kombinatorinė matematika. Addison-Wesley Iberoamericana
Žalioji žvaigždė Luisas. . Diskretinė ir kombinatorinė matematika

BINOMINĖ TEOREMA: ĮRODYMAS IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025