- Pagrindinės aritmetikos teoremos įrodymas
- Pagrindinio faktorizacijos unikalumas
- Programos
- Pagrindiniai skaičiai gamtoje
- Pagrindiniai numeriai ir apsipirkimas internetu
- Išspręsta mankšta
- - 1 pratimas
- Sprendimas
- - 2 pratimas
- Sprendimas
- Nuorodos
Pagrindinė aritmetikos teorema teigia, kad bet kuris natūralusis skaičius, didesnis kaip 1, gali būti skaidomas kaip pirminių skaičių sandauga - kai kuriuos galima pakartoti - ir ši forma yra unikali tam skaičiui, nors veiksnių tvarka gali būti skirtinga.
Atminkite, kad pirminis skaičius p yra toks, kuris pripažįsta tik save ir 1 kaip teigiamą daliklį. Šie skaičiai yra pirminiai skaičiai: 2, 3, 5, 7, 11, 13 ir tt, nes yra begalybės. Skaičius 1 nėra laikomas pirminiu, nes turi tik vieną daliklį.
1 pav. Euklidas (kairėje) pagrindė aritmetikos teoremą savo knygoje „Elementai“ (350 m. Pr. Kr.), O pirmasis išsamus įrodymas yra Carlas F. Gaussas (1777–1855) (dešinėje). Šaltinis: „Wikimedia Commons“.
Savo ruožtu skaičiai, neatitinkantys aukščiau pateiktų, vadinami sudėtiniais skaičiais, tokiais kaip 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … Paimkime pvz. Skaičių 10 ir iškart pamatysime, kad jis gali būti skaidomas kaip 2 ir 5:
10 = 2 × 5
Tiek 2, tiek 5 yra pirminiai skaičiai. Teorema teigia, kad tai įmanoma bet kuriam skaičiui n:
Kai p 1 , p 2 , p 3 … p r yra pirmieji skaičiai, o k 1 , k 2 , k 3 ,… k r yra natūralieji skaičiai. Taigi pirminiai skaičiai veikia kaip statybiniai blokai, iš kurių dauginant natūralūs skaičiai susidaro.
Pagrindinės aritmetikos teoremos įrodymas
Pirmiausia parodome, kad kiekvieną skaičių galima suskaidyti į svarbiausius veiksnius. Tegul yra natūralusis skaičius n> 1, pagrindinis arba sudėtinis.
Pavyzdžiui, jei n = 2, jis gali būti išreikštas taip: 2 = 1 × 2, kuris yra svarbiausias. Tokiu pačiu būdu atlikite šiuos skaičius:
3 = 1 × 3
4 = 2 × 2
5 = 1 × 5
6 = 2 × 3
7 = 1 × 7
8 = 2 × 2 × 2
Tęsiame taip, skaidydami visus natūralius skaičius, kol pasieksime skaičių n -1. Pažiūrėkime, ar mes galime tai padaryti tokiu numeriu: n.
Jei n yra pagrindinis, mes galime jį suskaidyti taip, kaip n = 1 × n, bet tarkime, kad n yra sudėtinis ir turi daliklį d, logiškai mažesnį nei n:
1 <d <n.
Jei n / d = p 1 , kai p 1 yra pagrindinis skaičius, tada n rašomas taip:
n = p 1 .d
Jei d yra svarbiausias, nebėra ką daryti, bet jei jo nėra, yra skaičius n 2, kuris yra daliklis iš d ir mažesnis už šį: n 2 <d, taigi d gali būti parašytas kaip n 2 sandauga kitam. pirminis skaičius p 2 :
d = p 2 n 2
Tai, kad pakeičiant pradinį skaičių n, būtų gauta:
n = p 1 .p 2 .n 2
Dabar tarkime, kad n 2 taip pat nėra pirminis skaičius ir parašysime jį kaip pirminio skaičiaus p 3 sandaugą iš jo daliklio n 3 , kad n 3 <n 2 <n 1 <n:
n 2 = p 3 .n 3 → n = p 1 p 2 p 3 .n 3
Mes pakartojame šią procedūrą ribotą skaičių kartų, kol gausime:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r
Tai reiškia, kad galima suskaidyti visus sveikuosius skaičius nuo 2 iki skaičiaus n, kaip pirminių skaičių sandauga.
Pagrindinio faktorizacijos unikalumas
Dabar leiskite mums patikrinti, ar šis išsiskyrimas yra unikalus, išskyrus veiksnių eiliškumą. Tarkime, kad n galima užrašyti dviem būdais:
n = p 1 .p 2 .p 3 … p r = q 1. q 2 .q 3 … ..q s (su r ≤ s)
Žinoma, q 1 , q 2 , q 3 … taip pat yra pirminiai skaičiai. Kadangi p 1 dalijasi (q 1. q 2 .q 3 … ..q s ), tada p 1 yra lygus bet kuriam iš „q“, nesvarbu, kuris iš jų, todėl galime pasakyti, kad p 1 = q 1 . Padaliname n iš p 1 ir gauname:
p 2 .p 3 … p r = . q 2 .q 3 … ..q s
Kartojame procedūrą, kol viską padalijame iš p r , tada gauname:
1 = q r + 1 … q s
Bet neįmanoma pasiekti q r + 1 … q s = 1, kai r <s, tik jei r = s. Nors pripažįstant, kad r = s, taip pat pripažįstama, kad „p“ ir „q“ yra tas pats. Todėl skilimas yra unikalus.
Programos
Kaip jau minėjome anksčiau, pirminiai skaičiai reiškia, jei norite, skaičių atomus, jų pagrindinius komponentus. Taigi pagrindinė aritmetikos teorema turi daugybę pritaikymų, pati akivaizdžiausia: mes galime lengviau dirbti su dideliais skaičiais, jei juos išreiškiame kaip mažesnių skaičių sandaugą.
Tuo pačiu būdu mes galime rasti didžiausią bendrąjį daugiklį (LCM) ir didžiausią bendrąjį daliklį (GCF) - procedūrą, kuri padeda mums lengviau suskaidyti trupmenas, rasti daugybės šaknis arba operuoti su radikalais, racionalizuoti ir spręsti labai įvairios taikymo problemos.
Be to, pirminiai skaičiai yra labai mįslingi. Juose dar neatpažįstamas modelis ir neįmanoma žinoti, kuris iš jų bus kitas. Didžiausias iki šiol rastas kompiuterių ir turi 24.862.048 skaitmenis, nors nauji pirminiai numeriai kiekvieną kartą rodomi rečiau.
Pagrindiniai skaičiai gamtoje
Cikadai, cicadidos arba cikados, gyvenantys šiaurės rytuose nuo JAV, atsiranda 13 ar 17 metų ciklais. Jie abu yra pirminiai skaičiai.
Tokiu būdu cikados vengia sutapti su plėšrūnais ar konkurentais, kurie turi kitus gimimo laikotarpius, taip pat nekonkuruoja skirtingos cikadų veislės, nes jos nesutampa tais pačiais metais.
2 paveikslas. Rytinių JAV „Magicicada“ cikados atsiranda kas 13–17 metų. Šaltinis: „Pxfuel“.
Pagrindiniai numeriai ir apsipirkimas internetu
Pirminiai skaičiai naudojami kriptografijoje, kad kreditinės kortelės duomenys nebūtų slapti perkant internetu. Tokiu būdu duomenys, kuriuos pirkėjas pasiekia parduotuvėje tiksliai neprarasdami ar nepatekdami į nesąžiningų žmonių rankas.
Kaip? Duomenys kortelėse užkoduoti skaičiumi N, kuris gali būti išreikštas pirminių skaičių sandauga. Šie pirminiai skaičiai yra raktas, kurį atskleidžia duomenys, tačiau jie nėra žinomi visuomenei, juos dekoduoti galima tik žiniatinklyje, į kurį jie nukreipti.
Skaičiuoti skaičių į veiksnius yra lengva, jei skaičiai yra maži (žr. Išspręstus uždavinius), tačiau tokiu atveju kaip raktas yra naudojami 100 skaitmenų pradiniai skaičiai, kurie padauginus juos suteikia daug didesnius skaičius, kurių detalus išskaidymas apima didžiulę užduotį. .
Išspręsta mankšta
- 1 pratimas
Padalinkite 1029 į svarbiausius veiksnius.
Sprendimas
1029 dalijamas iš 3. Jis žinomas, nes pridedant jo skaitmenis, suma yra 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12, daugyba: Kadangi veiksnių tvarka produkto nekeičia, galime pradėti nuo:
1029 3
343
1029 = 3 × 343
Kita vertus, 343 = 7 3 , tada:
1029 = 3 × 7 3 = 3 × 7 × 7 × 7
Ir kadangi tiek 3, tiek 7 yra pirminiai skaičiai, tai yra 1029 skilimas.
- 2 pratimas
Veiksnys trinominis x 2 + 42x + 432.
Sprendimas
Trinomumas perrašomas tokia forma (x + a). (x + b) ir turime rasti a ir b reikšmes, kad:
a + b = 42; ab = 432
Skaičius 432 yra suskaidomas į pirminius veiksnius, o tada tinkamas derinys pasirenkamas bandymų ir klaidų būdu, kad pridedami koeficientai duotų 42.
432 = 2 4 × 3 3 = 2 × 3 3 × 2 3 = 2 4 × 3 2 × 3 =…
Čia yra kelios galimybės parašyti 432:
432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72….
Ir viską galima rasti sujungus pagrindinius veiksnius, tačiau norint išspręsti siūlomą pratimą, vienintelis tinkamas derinys yra: 432 = 24 × 18, nes 24 + 18 = 42, tada:
x 2 + 42x + 432 = (x + 24). (x +18)
Nuorodos
- Baldor, A. 1986. Teorinė praktinė aritmetika. „Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA“
- BBC pasaulis. Paslėptas gamtos kodas. Atkurta iš: bbc.com.
- De Leonas, Manuelis. Pagrindiniai skaičiai: interneto sergėtojai. Atkurta iš: tinklaraščiai.20minutos.es.
- UNAM. I-oji skaičių teorija: pagrindinė aritmetikos teorema. Atkurta iš: teoriadenumeros.wikidot.com.
- Vikipedija. Pagrindinė aritmetikos teorema. Atkurta iš: es.wikipedia.org.