IZOMETRINĖS TRANSFORMACIJOS: KOMPOZICIJA, TIPAI IR PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Į izometryczne transformacijos yra pokyčiai padėties ar krypties tam tikro figūra, kuri nekeičia formą arba šio dydžio. Šie virsmai skirstomi į tris tipus: vertimas, sukimasis ir atspindys (izometrija). Apskritai, geometrinės transformacijos leidžia iš duotos sukurti naują figūrą.

Transformacija į geometrinę figūrą reiškia, kad ji tam tikru būdu pasikeitė; tai yra, ji buvo pakeista. Pagal originalo ir panašaus pobūdį plokštumoje geometrinius virsmus galima suskirstyti į tris tipus: izometrinius, izomorfinius ir anamorfinius.

charakteristikos

Izometrinės transformacijos įvyksta, kai išsaugomi segmentų dydžiai ir kampai tarp pradinės figūros ir transformuotos figūros.

Atliekant šį transformacijos tipą, nepakinta nei figūra, nei dydis (jie yra suderinti), tai tik jo padėties pasikeitimas arba orientacijos, arba krypties atžvilgiu. Tokiu būdu pradiniai ir galutiniai skaičiai bus panašūs ir geometriškai suderinti.

Izometrija reiškia lygybę; kitaip tariant, geometrinės figūros bus izometrinės, jei jų forma ir dydis bus vienodi.

Izometrinių transformacijų metu vienintelis dalykas, kurį galima pastebėti, yra padėties pokyčiai plokštumoje, įvyksta standus judėjimas, kurio dėka figūra pereina iš pradinės padėties į galutinę. Šis paveikslas vadinamas homologišku (panašiu) originalu.

Yra trys judesių rūšys, klasifikuojančios izometrinę transformaciją: vertimas, sukimasis ir atspindys arba simetrija.

Tipai

Pagal vertimą

Tai yra tos izometrijos, kurios leidžia visus plokštumos taškus judėti tiesia linija tam tikra kryptimi ir atstumu.

Kai figūra virsta vertimu, ji nekeičia savo orientacijos pradinės padėties atžvilgiu ir nepraranda savo vidinių matmenų, kampų ir šonų matmenų. Šį poslinkio tipą apibūdina trys parametrai:

- Viena kryptis, kuri gali būti horizontali, vertikali arba įstriža.

- Viena kryptis, kuri gali būti kairėn, dešinėn, aukštyn arba žemyn.

- Atstumas arba dydis, kuris yra ilgis nuo pradinės padėties iki bet kurio judančio taško pabaigos.

Norint įvykdyti izometrinę transformaciją vertimu, turi būti įvykdytos šios sąlygos:

- Figūra visuomet turi išlaikyti linijinius ir kampinius matmenis.

- figūra nekeičia savo padėties horizontalios ašies atžvilgiu; tai yra, jo kampas niekada nesikeičia.

- Vertimai visada bus apibendrinti viename, neatsižvelgiant į atliktų vertimų skaičių.

Plokštumoje, kurios centras yra taškas O, su koordinatėmis (0,0), vertimą nusako vektorius T (a, b), kuris rodo pradinio taško poslinkį. Tai yra:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Pvz., Jei koordinačių taškui P (8, -2) taikomas vertimas T (-4, 7), gauname:

P (8, -2) + T (-4,7) = P '= P' (4, 5)

Kitame paveikslėlyje (kairėje) galima pamatyti, kaip taškas C judėjo taip, kad sutaptų su D. Tai darė vertikalia kryptimi, kryptis buvo aukštyn, o atstumas arba didumas CD buvo 8 metrai. Dešiniajame paveikslėlyje stebimas trikampio vertimas:

Pagal rotaciją

Tai yra tos izometrijos, kurios leidžia figūrai pasukti visus plokštumos taškus. Kiekvienas taškas sukasi pagal lanką, kuris turi pastovų kampą ir fiksuotą tašką (sukimosi centrą).

T. y., Visas sukimasis bus apibrėžtas pagal jo sukimosi centrą ir sukimosi kampą. Kai figūra keičiama sukant, ji išlaiko savo kampų ir šonų matą.

Sukimasis vyksta tam tikra kryptimi, jis yra teigiamas, kai sukimasis prieš laikrodžio rodyklę (prieš laikrodžio rodyklę), ir neigiamas, kai jo sukimasis pagal laikrodžio rodyklę.

Jei taškas (x, y) yra sukamas, atsižvelgiant į kilmės - tai yra, jos centras sukimosi yra (0,0) - už 90 kampu ^ar 360 ^ar iš taškų koordinatės bus:

Tuo atveju, kai pasukimas neturi centro prie ištakų, koordinačių sistemos kilmė turi būti perkelta į naują nurodytą pradžią, kad būtų galima pasukti figūrą su kilme kaip centru.

Pvz., Jei taikomas P (–5,2) taškas, pasukimas 90 ^arba , aplink pradžią, ir teigiamos jo naujos koordinatės yra (–2,5).

Pagal atspindį arba simetriją

Tai yra tie virsmai, kurie apverčia plokštumos taškus ir figūras. Ši inversija gali būti taško atžvilgiu arba tiesės atžvilgiu.

Kitaip tariant, tokio tipo transformacijose kiekvienas pradinės figūros taškas yra susietas su kitu homologinės figūros tašku (atvaizdu) tokiu būdu, kad taškas ir jo vaizdas yra tame pačiame atstume nuo linijos, vadinamos simetrijos ašimi. .

Taigi, kairė figūros dalis bus dešinės dalies atspindys, nekeičiant jos formos ar matmenų. Simetrija paverčia figūrą kita lygia, bet priešinga kryptimi, kaip galima matyti šiame paveikslėlyje:

Simetrija yra daugeliu aspektų, pavyzdžiui, kai kuriuose augaluose (saulėgrąžose), gyvūnuose (povas) ir gamtos reiškiniuose (snaigėse). Žmogus tai atspindi savo veide, kuris laikomas grožio veiksniu. Atspindys arba simetrija gali būti dviejų tipų:

Centrinė simetrija

Būtent ta transformacija įvyksta taško atžvilgiu, kuriame figūra gali pakeisti savo orientaciją. Kiekvienas originalios figūros taškas ir jo vaizdas yra tame pačiame atstume nuo taško O, vadinamo simetrijos centru. Simetrija yra esminė, kai:

- Ir taškas, ir jo vaizdas, ir centras priklauso tai pačiai linijai.

- Pasukus 180 ^° centro O kampu, gaunamas skaičius, lygus originalui.

- Pradinės figūros linijos yra lygiagrečios suformuotos figūros linijoms.

- Figūros pojūtis nesikeičia, ji visada bus pagal laikrodžio rodyklę.

Sukimosi sudėtis

Dviejų posūkių su tuo pačiu centru kompozicija lemia kitą posūkį, kurio centras yra tas pats ir kurio amplitudė bus dviejų posūkių amplitudžių suma.

Jei posūkių centras turi kitą centrą, dviejų panašių taškų segmentų bisektoriaus pjūvis bus posūkio centras.

Simetrijos kompozicija

Tokiu atveju kompozicija priklausys nuo to, kaip ji bus taikoma:

- Jei ta pati simetrija taikoma du kartus, rezultatas bus tapatumas.

- Jei dviejų lygiagrečių ašių atžvilgiu naudojamos dvi simetrijos, rezultatas bus vertimas, o jo poslinkis yra dvigubai didesnis nei tų ašių atstumas:

- Jei dviem ašimis, kertančiomis tašką O (centrą), taikomos dvi simetrijos, gaunamas sukimasis su centru ties O, o jo kampas bus dvigubai didesnis nei ašių suformuotas kampas:

Nuorodos

1. V Bourgeois, JF (1988). Geometrijos sudarymo medžiagos. Madridas: Sintezė.
2. Cezaris Calavera, IJ (2013). II brėžinys. „Paraninfo SA“: Bokšto leidimai.
3. Coxeter, H. (1971). Geometrijos pagrindai. Meksika: Limusa-Wiley.
4. Coxford, A. (1971). Geometrijos metodas - transformacijos metodas. JAV: Broliai Laidlovai.
5. Liliana Siñeriz, RS (2005). Indukcija ir formalizavimas mokant griežtų virsmų CABRI aplinkoje.
6. , PJ (1996). Plokštumos izometrijų grupė. Madridas: Sintezė.
7. Suárez, AC (2010). Transformacijos plokštumoje. Gurabas, Puerto Rikas: AMCT.