FURJĖ TRANSFORMACIJA: SAVYBĖS, PROGRAMOS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Furjė transformacija yra analitinis pakankamumo metodas orientuotas į integrable funkcijų, kurios priklauso integralių transformacijas šeima. Tai susideda iš naujo apibrėždamas funkcijas f (t), atsižvelgiant į Cos (t) ir Sen (t).

Šių funkcijų trigonometriniai tapatumai, taip pat jų išvestinės ir antiderivacinės savybės, padeda apibrėžti Furjė transformaciją per šią sudėtingą funkciją:

Kuris yra teisingas tol, kol posakis turi prasmę, tai yra, kai netinkamas integralas suartėja. Algebriškai Furjė transformacija yra linijinė homeomorfizmas.

Kiekviena funkcija, kurią galima naudoti su Furjė transformacija, neturi būti null už apibrėžto parametro.

Savybės

Šaltinis: pexels

Furjė transformacija atitinka šias savybes:

Egzistavimas

Norint patikrinti Furjė transformacijos funkciją f (t), apibrėžtoje briaunose R , reikia įvykdyti šias 2 aksiomas:

1. f (t) yra vientisas ištisinis visoms R
2. f (t) yra integruojamas į R

Furjė transformacijos tiesiškumas

Tegul M (t) ir N (t) yra bet kurios dvi funkcijos su apibrėžtomis Furjė transformacijomis su bet kuriomis konstantomis a ir b.

F (z) = a F (z) + b F (z)

Kurį taip pat palaiko to paties pavadinimo integralo tiesiškumas.

Furjė išvestinės transformacija

Yra funkcija f, kuri yra nepertraukiama ir integruota į visus galinius elementus, kur:

Ir f (f ') darinys yra ištisinis ir vientisas visoje R

Furjė išvestinės transformacija apibrėžiama integracija dalimis, naudojant tokią išraišką:

F (z) = iz F (z)

Išvedant aukštesnę tvarką, jis bus taikomas homologiškai, kai visiems n 1 mes turime:

F (z) = (iz) ⁿ F (z)

Furjė transformacijos diferenciacija

Yra funkcija f, kuri yra nepertraukiama ir integruota į visus galinius elementus, kur:

Furjė vertimo transformacija

Kiekvieną θ , priklausantį aibėms S ir T , priklausančius aibėms S ', turime:

F = e- ^bet FF = e- ^ox F

Su τ darbo kaip vertimo operatoriaus vektoriaus a.

Furjė transformacijos vertimas

Kiekvieną θ , priklausantį aibėms S ir T , priklausančius aibėms S ', turime:

τ _a F = F τ _a F = F

Visiems , kurie priklauso R

Furjė mastelio grupės transformacija

Visiems θ , priklausantiems aibėms S. T, kurie priklauso aibėms S '

λ, priklausantys R - {0}, mes turime:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

Jei f yra nepertraukiama ir aiškiai integruojama funkcija, kai a> 0. Tada:

F (z) = (1 / a) F (z / a)

Norėdami parodyti šį rezultatą, galime tęsti kintamojo keitimą.

Kai T → +, tada s = ties → + ∞

Kai T → - tada s = ties → - ∞

Simetrija

Norint ištirti Furjė transformacijos simetriją, reikia patikrinti Parseval tapatumą ir Plancherel formulę.

Turime θ ir δ, priklausančius S. Iš ten galima spręsti, kad:

Gauna

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval tapatybė

1 / (2π) ^{D / 2} - F - _L ² _R ^d Plancherel formulė

Konvergencijos produkto Furjė transformacija

Siekdamas panašių tikslų kaip ir Laplaso transformacija, funkcijų konvoliucija nurodo produktą tarp jų Furjė transformacijų.

Mes turime f ir g kaip 2 ribotas, apibrėžtas ir visiškai integruotas funkcijas:

F (f * g) = F (f). F (g)

F (f). F (g) = F (f. G)

Tęstinumas ir patenka į begalybę

Kam skirta Furjė transformacija?

Tai visų pirma skirta žymiai supaprastinti lygtis, o išvestines išraiškas paversti galios elementais, žymint diferencialinę išraišką integruotų polinomų pavidalu.

Optimizuodamas, moduliuodamas ir modeliuodamas rezultatus jis veikia kaip standartizuota išraiška, būdamas dažnu inžinerijos šaltiniu po kelių kartų.

Furjė serija

Jos yra eilutės, apibrėžtos kosinusų ir sinusų atžvilgiu; Jie palengvina darbą su bendromis periodinėmis funkcijomis. Kai jie naudojami, jie yra įprastų ir dalinių diferencialinių lygčių sprendimo būdų dalis.

Furjė serijos yra dar bendresnės nei „Taylor“ serijos, nes jose vystomos periodiškos pertraukiamos funkcijos, kurios neturi „Taylor“ serijos atvaizdo.

Kitos Furjė serijos formos

Kad analitiškai suprastumėte Furjė transformaciją, svarbu apžvelgti kitus Furjė serijos radimo būdus, kol Furjė eiles bus galima apibrėžti jos sudėtiniame žymėjime.

-Kurjerių serija su 2L laikotarpio funkcija

Daugybę kartų reikia pritaikyti Furjė serijos struktūrą periodinėms funkcijoms, kurių intervalas yra p = 2L> 0.

-Kurjerinės serijos, nelygios ir lygios

Svarstomas intervalas, kuris suteikia pranašumų pasinaudojant simetrinėmis funkcijų savybėmis.

Jei f yra lygus, Furjė serija yra nustatyta kaip kosinusų serija.

Jei f yra nelyginis, Furjė serija yra nustatyta kaip sinusų seka.

-Kompleksinis Furjė serijos žymėjimas

Jei turime funkciją f (t), kuri atitinka visus Furjė serijos kūrimo reikalavimus, ją galima pažymėti intervalu naudojant sudėtingą žymėjimą:

Programos

Šaltinis: pexels

Pagrindinio sprendimo apskaičiavimas

Furjė transformacija yra galingas įrankis tiriant tiesinio tipo dalines diferencialines lygtis su pastoviais koeficientais. Jie vienodai taikomi funkcijoms su neapribotais domenais.

Kaip ir Laplaso transformacija, Furjė transformacija dalinės išvestinės funkciją paverčia į paprastą diferencialinę lygtį, kuriai daug lengviau naudotis.

Šilumos lygties Cauchy problema pateikia dažno Furjė transformacijos taikymo sritį, kur generuojamas šilumos branduolys arba Dirichlet branduolio funkcija.

Kalbant apie pagrindinio sprendimo apskaičiavimą, pateikiami šie atvejai, kai įprasta rasti Furjė transformaciją:

Signalo teorija

Bendroji Furjė transformacijos taikymo šioje šakoje priežastis daugiausia yra būdingas signalo skilimas, kaip be galo lengvai apdorojamų signalų superpozicija.

Tai gali būti garso banga arba elektromagnetinė banga, Furjė transformacija išreiškia ją paprastų bangų superpozicijoje. Šis vaizdas elektrotechnikoje yra gana dažnas.

Kita vertus, yra Furjė transformacijos taikymo signalo teorijos srityje pavyzdžiai:

Pavyzdžiai

1 pavyzdys

Apibrėžkite Furjė transformaciją šia išraiška:

Mes taip pat galime jį reprezentuoti taip:

F (t) = Sen (t)

Stačiakampis impulsas yra apibrėžtas:

p (t) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

Furjė transformacija taikoma šiai išraiškai, kuri primena moduliacijos teoremą.

f (t) = p (t) Sen (t)

Kur: F = (1/2) i

Furjė transformacija apibūdinama taip:

F = (1/2) i

2 pavyzdys

Apibrėžkite išraiškos Furjė transformaciją:

Kadangi f (h) yra lygi funkcija, galima teigti, kad

Integracija pagal dalis taikoma pasirenkant kintamuosius ir jų skirtumus taip

u = sin (zh) du = z cos (zh) dh

DV = H (E ^-h ) ² prieš = (E ^-h ) ² /2

Pavaduojate jūs turite

Įvertinęs pagal pagrindinę skaičiavimo teoremą

Taikant išankstines žinias apie pirmosios eilės diferencialines lygtis, išraiška žymima kaip

Norėdami gauti K, mes įvertiname

Galiausiai Furjė išraiškos transformacija apibrėžiama kaip

Siūlomi pratimai

• 

• 

• Gaukite išraiškos W / (1 + w ² ) transformaciją

Nuorodos

1. Duoandikoetxea Zuazo, J., Furjė analizė. Adisonas - Wesley Iberoamericana, Madrido autonominis universitetas, 1995 m.
2. Lions, JL, Matematinė analizė ir skaitmeniniai mokslo ir technologijos metodai. „Springeris“ - „Verlag“, 1990 m.
3. Lieb, EH, Gaussian branduoliai turi tik gaussian maksimizatorius. Išradimas. Matematika. 102 , 179-208, 1990 m.
4. Dym, H., McKean, HP, Furjė serija ir integralai. Academic Press, Niujorkas, 1972 m.
5. Schwartz, L., „Théorie des Distributions“. Ed. Hermann, Paryžius, 1966 m.