LAPLASO TRANSFORMACIJA: APIBRĖŽIMAS, ISTORIJA IR KAM JI SKIRTA - MATEMATIKA - 2025

Laplaso transformacija buvo pastaraisiais metais labai svarbus inžinerijos studijas, matematikos, fizikos, tarp kitų mokslo sričių, taip pat yra labai svarbūs teorijos, suteikia paprastą būdą, kaip išspręsti problemas, kurios ateina iš mokslas ir inžinerija.

Iš pradžių Laplaso transformaciją pateikė Pierre-Simón Laplalas savo tyrime apie tikimybių teoriją ir iš pradžių buvo traktuojamas kaip grynai teorinės reikšmės matematinis objektas.

Dabartinis pritaikymas atsiranda tada, kai įvairūs matematikai bandė pateikti oficialų pagrindimą „eksploatavimo taisyklėms“, kurias „Heaviside“ naudoja tyrinėdamas elektromagnetinės teorijos lygtis.

Apibrėžimas

Tegul f yra funkcija, apibrėžta t ≥ 0. Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

Sakoma, kad Laplaso transformacija egzistuoja, jei ankstesnis integralas suartėja, kitaip sakoma, kad Laplaso transformacijos nėra.

Paprastai transformuotai funkcijai žymėti naudojamos mažosios raidės, o didžioji raidė atitinka jos transformaciją. Tokiu būdu mes turėsime:

Pavyzdžiai

Apsvarstykite nuolatinę funkciją f (t) = 1. Turime jos transformaciją:

Kai integralas suartėja, tai yra kai s> 0. Priešingu atveju, s <0, integralas skiriasi.

Tegul g (t) = t. Jo Laplaso transformaciją suteikia

Integruodami dalimis ir žinodami, kad te ^-st yra linkęs į 0, kai t yra linkęs į begalybę ir s> 0, kartu su ankstesniu pavyzdžiu mes turime:

Transformacija gali būti arba neegzistuoti, pavyzdžiui, jei funkcija f (t) = 1 / t, integralas, apibūdinantis jo Laplaso transformaciją, nekonverguoja, todėl jo transformacija neegzistuoja.

Norint užtikrinti, kad funkcijos f Laplaso transformacija egzistuotų, pakanka sąlygų, kai f yra tęstinė dalis t ≥ 0 ir yra eksponentinės eilės.

Sakoma, kad funkcija yra tęstinė, kai t ≥ 0, kai bet kuriam intervalui su> 0 yra baigtinis skaičius taškų t _k, kur f turi nepertraukiamumą ir yra nepertraukiamas kiekviename pointervalyje.

Kita vertus, teigiama, kad funkcija yra eksponentinė c, jei yra realiosios konstantos M> 0, c ir T> 0 tokios, kad:

Kaip pavyzdžius galime pasakyti, kad f (t) = t ² yra eksponentinės eilės, nes -t ² - <e ^3t visoms t> 0.

Formaliai turime šią teoremą

Teorema (pakankamos egzistavimo sąlygos)

Jei f yra tęstinės dalies t> 0 ir eksponentinės eilės c funkcija, tada Laplaso transformacija egzistuoja s> c.

Svarbu pabrėžti, kad tai yra pakankamumo sąlyga, tai yra, gali būti, kad yra funkcija, neatitinkanti šių sąlygų ir net tada egzistuoja jos Laplaso transformacija.

To pavyzdys yra funkcija f (t) = t ^-1/2, kuri nėra ištisinė dalis t ≥ 0, tačiau jos Laplaso transformacija egzistuoja.

Laplaso kai kurių pagrindinių funkcijų transformacija

Šioje lentelėje pateikiamos dažniausiai pasitaikančių funkcijų Laplaso transformacijos.

Istorija

Laplaso transformacija savo vardą skolinga Pierre-Simon Laplaso, prancūzų matematiko ir teorinio astronomo, kuris gimė 1749 m. Ir mirė 1827 m. Jo šlovė buvo tokia, kad jis buvo žinomas kaip Prancūzijos Niutonas.

1744 m. Leonardas Euleris savo studijas skyrė integralai su forma

kaip paprastų diferencialinių lygčių sprendimus, tačiau jis greitai atsisakė šio tyrimo. Vėliau Josephas Louisas Lagrange'as, kuris labai žavėjosi Euleriu, taip pat ištyrė šiuos integralų tipus ir susiejo juos su tikimybių teorija.

1782 m., Laplasas

1782 m. Laplasas ėmėsi nagrinėti tokius integralus kaip diferencialinių lygčių sprendimus ir, pasak istorikų, 1785 m. Jis nusprendė iš naujo suformuluoti problemą, kuri vėliau sukėlė Laplaso transformacijas, kaip jos suprantamos šiandien.

Įvesta į tikimybių teorijos sritį, ji tuo metu mažai domino mokslininkus ir buvo vertinama tik kaip matematinis objektas, kuris domėjosi tik teorija.

Oliveris Heaviside'as

Būtent XIX amžiaus viduryje anglų inžinierius Oliveris Heaviside'as atrado, kad diferencialo operatoriai gali būti traktuojami kaip algebriniai kintamieji, tokiu būdu suteikiant Laplaso transformacijas jų šiuolaikiniam pritaikymui.

Oliveris Heaviside'as buvo anglų fizikas, elektros inžinierius ir matematikas, gimęs 1850 m. Londone ir miręs 1925 m. Bandydamas išspręsti diferencialinių lygčių problemas, taikomas virpesių teorijai, ir naudodamasis Laplaso tyrimais, jis pradėjo formuoti Šiuolaikinės Laplaso transformacijų programos.

„Heaviside“ pateikti rezultatai greitai pasklido po to meto mokslinę bendruomenę, tačiau, kadangi jo darbas nebuvo griežtas, jį greitai kritikavo labiau tradiciniai matematikai.

Tačiau dėl Heaviside'o darbo naudingumo sprendžiant fizikos lygtis, jo metodai tapo populiarūs tarp fizikų ir inžinierių.

Nepaisant šių nesėkmių ir po kelis dešimtmečius trukusių nesėkmingų bandymų, XX amžiaus pradžioje buvo galima griežtai pateisinti Heaviside pateiktas veiklos taisykles.

Šie bandymai davė vaisių dėka įvairių matematikų, tokių kaip Bromwichas, Carsonas, van der Pol, ir kitų pastangų.

Savybės

Tarp Laplaso transformacijos savybių išsiskiria:

Tiesiškumas

Tegul c1 ir c2 yra konstantos, o f (t) ir g (t) funkcijos, kurių Laplaso transformacijos yra atitinkamai F (s) ir G (s), tada mes turime:

Dėl šios savybės Laplaso transformacija yra linijinė operatorė.

Pavyzdys

Pirmoji vertimo teorema

Jei atsitiks taip:

O „a“ yra bet kuris realusis skaičius, taigi:

Pavyzdys

Kadangi Laplaso transformacija cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), tada:

Antroji vertimo teorema

Taip

Taigi

Pavyzdys

Jei f (t) = t ^ 3, tada F (s) = 6 / s ^ 4. Todėl ir transformacija

yra G (s) = 6e ^-2s / s ^ 4

Skalės keitimas

Taip

O „a“ nėra nulis tikrovės, mes turime

Pavyzdys

Kadangi f (t) = sin (t) transformacija yra F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), mes turime tai

Laplaso darinių transformacija

Jei f, f ', f' ', …, f ⁽ⁿ⁾ yra tęstiniai, kai t ≥ 0, ir yra eksponentinės eilės, ir f ⁽ⁿ⁾ (t) yra tęstinis, kai t ≥ 0, tada

Integrų Laplaso transformacija

Taip

Taigi

Padauginimas iš t

Jei turime

Taigi

Padalijimas pagal t

Jei turime

Taigi

Periodinės funkcijos

Tegul f yra periodinė funkcija, kurios laikotarpis T> 0, tai yra f (t + T) = f (t)

F (-ų) kaip s elgsena linkusi į begalybę

Jei f yra tęstinis dalimis ir eksponentine tvarka ir

Taigi

Atvirkštiniai virsmai

Taikydami Laplaso transformaciją funkcijai f (t), gauname F (s), kuris žymi šią transformaciją. Lygiai taip pat galime pasakyti, kad f (t) yra atvirkštinė F (s) Laplaso transformacija ir užrašoma kaip

Mes žinome, kad f (t) = 1 ir g (t) = t Laplaso transformacijos yra atitinkamai F (s) = 1 / s ir G (s) = 1 / s ² , todėl turime

Kai kurios įprastos atvirkštinės Laplaso transformacijos yra šios

Be to, atvirkštinė Laplaso transformacija yra tiesinė, tai yra, tiesa

Pratimas

Rasti

Norėdami išspręsti šį pratimą, F (-ių) funkciją turime suderinti su viena iš ankstesnių lentelių. Tokiu atveju, jei imsime + 1 = 5 ir panaudosime atvirkštinės transformacijos tiesiškumą, padauginsime ir padalinsime iš 4! Gauna

Antrajai atvirkščiai transformacijai mes naudojame dalines trupmenas, kad perrašytume funkciją F (s), o po to - tiesiškumo savybę, gaudami

Kaip matome iš šių pavyzdžių, yra įprasta, kad vertinama funkcija F (-os) tiksliai neatitinka nė vienos iš lentelėje pateiktų funkcijų. Šiais atvejais, kaip matyti, užtenka perrašyti funkciją, kol ji pasiekia reikiamą formą.

Laplaso transformacijos pritaikymai

Diferencialinės lygtys

Pagrindinis Laplaso transformacijų pritaikymas yra diferencialinių lygčių sprendimas.

Panaudojus darinio transformacijos savybę akivaizdu, kad

Y iš n-1 darinių, įvertintų t = 0.

Ši savybė daro transformaciją labai naudingą sprendžiant pradinės vertės problemas, kai naudojamos diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.

Šie pavyzdžiai parodo, kaip panaudoti Laplaso transformaciją diferencialinėms lygtims spręsti.

1 pavyzdys

Atsižvelgiant į šią pradinės vertės problemą

Norėdami rasti sprendimą, naudokite Laplaso transformaciją.

Kiekvienam diferencialinės lygties nariui taikome Laplaso transformaciją

Pagal išvestinio elemento transformacijos savybę, kurią mes turime

Tobulindami visas išraiškas ir išvalydami Y (-us), kuriuos turime

Naudodami dalines trupmenas perrašykite gautą lygtį dešinėje pusėje

Galiausiai, mūsų tikslas yra rasti funkciją y (t), tenkinančią diferencialinę lygtį. Naudodami atvirkštinę Laplaso transformaciją gauname rezultatą

2 pavyzdys

Išspręskite

Kaip ir ankstesniu atveju, mes taikome transformaciją iš abiejų lygties pusių ir atskirai pagal terminą.

Tokiu būdu mes turime tai

Keitimas pateiktomis pradinėmis vertėmis ir Y sprendimas (-ai)

Naudodami paprastas trupmenas, lygtį galime perrašyti taip

Taikant atvirkštinę Laplaso transformaciją, gauname rezultatą

Šiuose pavyzdžiuose galite klaidingai daryti išvadą, kad šis metodas nėra daug geresnis nei tradiciniai diferencialinių lygčių sprendimo metodai.

Laplaso transformacijos pranašumai yra tai, kad jums nereikia naudoti parametrų variacijų ir nerimauti dėl įvairių neapibrėžto koeficiento metodo atvejų.

Be to, spręsdami pradinės vertės problemas šiuo metodu, nuo pat pradžių naudojame pradines sąlygas, todėl norint rasti konkretų sprendimą nebūtina atlikti kitų skaičiavimų.

Diferencialinių lygčių sistemos

Kaip parodyta šiame pavyzdyje, Laplaso transformacija taip pat gali būti naudojama ieškant tuo pačiu metu įprastų diferencialinių lygčių sprendimų.

Pavyzdys

Išspręskite

Esant pradinėms sąlygoms x (0) = 8 ir y (0) = 3.

Jei turime

Taigi

Rezultatas yra sprendimas

Taikydami atvirkštinę Laplaso transformaciją

Mechanika ir elektros grandinės

Laplaso transformacija turi didelę reikšmę fizikoje, ją daugiausia galima pritaikyti mechanikoje ir elektros grandinėse.

Paprastą elektros grandinę sudaro šie elementai

Jungiklis, akumuliatorius ar šaltinis, induktorius, rezistorius ir kondensatorius. Kai jungiklis uždarytas, sukuriama elektros srovė, žymima i (t). Kondensatoriaus įkrova žymima q (t).

Pagal antrąjį Kirchhoffo dėsnį, šaltinio E sukuriama įtampa uždaroje grandinėje turi būti lygi kiekvieno iš įtampos kritimų sumai.

Elektros srovė i (t) yra susijusi su kondensatoriaus krūviu q (t) i = dq / dt. Kita vertus, įtampos kritimas kiekviename elemente apibūdinamas taip:

Įtampos kritimas per rezistorių yra iR = R (dq / dt)

Įtampos kritimas per induktorių yra L (di / dt) = L (d ² q / dt ² )

Įtampos kritimas per kondensatorių yra q / C

Turint šiuos duomenis ir pritaikius antrąjį Kirchhoffo dėsnį paprastoje uždaroje grandinėje, gaunama antros eilės diferencialinė lygtis, apibūdinanti sistemą ir leidžianti nustatyti q (t) vertę.

Pavyzdys

Induktorius, kondensatorius ir rezistorius yra prijungti prie akumuliatoriaus E, kaip parodyta paveikslėlyje. Induktorius yra 2 arkliai, kondensatorius yra 0,02 farai, o varža - 16 omų. Laiku t = 0 grandinė uždaroma. Bet kuriuo metu raskite įkrovą ir srovę t> 0, jei E = 300 voltų.

Turime, kad šią grandinę apibūdinanti diferencialinė lygtis yra tokia

Kai pradinės sąlygos yra q (0) = 0, i (0) = 0 = q '(0).

Taikydami Laplaso transformaciją, gauname tai

Ir Q (t) sprendimas

Tada pritaikome atvirkštinę Laplaso transformaciją

Nuorodos

1. G. Holbrook, J. (1987). Laplaso transformacija elektronikos inžinieriams. Limusa.
2. Ruizas, LM ir Hernandez, parlamentaras (2006). Diferencialinės lygtys ir Laplaso transformacija naudojant programas. Redakcinis UPV.
3. Simmonsas, GF (1993). Diferencialinės lygtys su aplikacijomis ir istorinėmis pastabomis. McGraw-Hill.
4. Spiegel, MR (1991). Laplaso transformacijos. McGraw-Hill.
5. Zill, generalinis direktoratas ir Cullen, MR (2008). Diferencialinės lygtys su ribinės vertės problemomis. „Cengage Learning Editores“, SA