DISKRETUS FURJĖ TRANSFORMACIJA: SAVYBĖS, PROGRAMOS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Diskrečioji Furjė transformacija yra skaitinis metodas naudojamas apibrėžti mėginių nuoroda į spektrinių dažnių, kurie sudaro signalą. Jis tiria periodines funkcijas uždaruose parametruose, gaudamas kitą diskretinį signalą.

Norint gauti N taško diskretinę Furjė transformaciją, esant diskrečiam signalui, turi būti įvykdytos šios 2 sąlygos:

TDF

Diskretinę Furjė transformaciją galima apibrėžti kaip Furjė transformacijos N taško atranką.

Diskretinės Furjė transformacijos aiškinimas

Šaltinis: Pexels

Yra 2 požiūrio taškai, iš kurių gauti rezultatai, gauti iš sekos x _s, gali būti interpretuojami per diskretinę Furjė transformaciją.

-Pirmasis atitinka spektrinius koeficientus, jau žinomus iš Furjė serijos. Jis stebimas atskirais periodiniais signalais, kai pavyzdžiai sutampa su seka x _s .

-Antrasis nagrinėja diskretaus aperiodinio signalo spektrą su pavyzdžiais, atitinkančiais seką x _s .

Diskretinė transformacija yra apytikslė pradinio analoginio signalo spektrui. Jo fazė priklauso nuo mėginių ėmimo būdo, o jo dydis priklauso nuo mėginių ėmimo intervalo.

Savybės

Algebriniai struktūros pagrindai sudaro šių skyrių pagrindimą.

Tiesiškumas

C. S _n → C. F; Jei seka padauginta iš skaliarų, jos transformacija taip pat bus.

T _n + V _n = F + F; Sumos transformacija yra lygi transformacijų sumai.

Dualumas

F → (1 / N) S _-k; Jei diskretinė Furjė transformacija perskaičiuojama į jau transformuotą išraišką, gaunama ta pati išraiška, ji keičiama į N ir apverčiama vertikaliosios ašies atžvilgiu.

Konvoliucija

Siekdamas panašių tikslų kaip ir Laplaso transformacija, funkcijų konvoliucija nurodo produktą tarp jų Furjė transformacijų. Konvoliucija taip pat taikoma atskirais laikais ir yra atsakinga už daugelį šiuolaikinių procedūrų.

X _n * R _n → F .F; Konvoliucijos transformacija lygi transformacijų sandaugai.

X _n . R _n → F * F; Produkto transformacija yra lygi transformacijų konvoliucijai.

Poslinkis

X _n-m → F e ^{–i (2π / N) km} ; Jei seką atideda m pavyzdžiai, jos poveikis diskrečiajai transformacijai bus kampo, apibrėžto (2π / N) km, modifikacija.

Simetrija

X _t = X * _t = X _t

Moduliacija

W ^-nm _N . x ↔ X _t

Produktas

xy ↔ (1 / N) X _t * Y _t

Simetrija

X ↔ X _t = X * _t

Konjugatas

x * ↔ X * _t

Parsevalio lygtis

Kalbant apie įprastą Furjė transformaciją, ji turi keletą panašumų ir skirtumų. Furjė transformacija paverčia seką į vientisą liniją. Tokiu būdu sakoma, kad Furjė kintamasis rezultatas yra realaus kintamojo sudėtinga funkcija.

Diskretinė Furjė transformacija, skirtingai, gauna diskretinį signalą ir paverčia jį kitu diskrečiu signalu, tai yra seka.

Kam skirta diskretinė Furjė transformacija?

Jie visų pirma skirti labai supaprastinti lygtis, o išvestines išraiškas paversti galios elementais. Integruotų polinomų formų diferencinių išraiškų žymėjimas.

Optimizuodamas, moduliuodamas ir modeliuodamas rezultatus jis veikia kaip standartizuota išraiška, būdamas dažnu inžinerijos šaltiniu po kelių kartų.

Šaltinis: pixabay

Istorija

Šią matematinę sąvoką 1811 m. Pristatė Josephas B. Furjė, rengdamas traktatą apie šilumos sklidimą. Jį greitai priėmė įvairios mokslo ir inžinerijos šakos.

Jis buvo nustatytas kaip pagrindinis darbo įrankis tiriant lygtis su daliniais dariniais, netgi lyginant jį su esamais darbo santykiais tarp Laplaso transformacijos ir įprastų diferencialinių lygčių.

Kiekviena funkcija, kurią galima naudoti su Furjė transformacija, neturi būti null už apibrėžto parametro.

Diskretinė Furjė transformacija ir jos atvirkštinė reikšmė

Diskretinė transformacija gaunama naudojant išraišką:

Po duotos atskiros sekos X

Diskretinės Furjė transformacijos atvirkštinė dalis apibrėžta per išraišką:

Atbulinės eigos velenas

Kai diskretinė transformacija pasiekiama, ji leidžia apibrėžti seką X laiko srityje.

Sparnuotas

Parametrizacijos procesas, atitinkantis diskretinę Furjė transformaciją, slypi lange. Norėdami atlikti pertvarką, turime apriboti seką laiku. Daugeliu atvejų aptariami signalai neturi šių apribojimų.

Seka, neatitinkanti dydžio kriterijų, taikytinų diskrečiajai transformacijai, gali būti padauginta iš „lango“ funkcijos V, apibrėžiant sekos elgesį kontroliuojamame parametre.

X. V

Spektro plotis priklausys nuo lango pločio. Didėjant lango pločiui, apskaičiuota transformacija bus siauresnė.

Programos

Pagrindinio sprendimo apskaičiavimas

Diskretinė Furjė transformacija yra galingas įrankis tiriant atskiras sekas.

Diskretinė Furjė transformacija ištisinę kintamojo funkciją paverčia diskrečiąja kintamojo transformacija.

Šilumos lygties Cauchy uždavinys parodo dažną diskretinės Furjė transformacijos taikymo sritį . Kur kuriama pagrindinė šilumos ar Dirichlet šerdies funkcija, kuri taikoma apibrėžto parametro mėginių ėmimo vertėms.

Signalo teorija

Bendra diskrečiojo Furjė transformacijos taikymo šioje šakoje priežastis daugiausia yra būdingas signalo skilimas, kaip be galo lengvai apdorojamų signalų superpozicija.

Tai gali būti garso banga arba elektromagnetinė banga, diskretinė Furjė transformacija išreiškia ją paprastų bangų superpozicijoje. Šis vaizdas elektrotechnikoje yra gana dažnas.

Furjė serija

Jos yra eilutės, apibrėžtos kosinusų ir sinusų atžvilgiu. Jie palengvina darbą su bendromis periodinėmis funkcijomis. Kai jie naudojami, jie yra įprastų ir dalinių diferencialinių lygčių sprendimo būdų dalis.

Furjė serijos yra dar bendresnės nei „Taylor“ serijos, nes jose vystomos periodiškos pertraukiamos funkcijos, kurios neturi „Taylor“ serijos atvaizdo.

Kitos Furjė serijos formos

Norint analitiškai suprasti Furjė transformaciją, svarbu apžvelgti kitus Furjė serijos radimo būdus, kol negalėsime apibrėžti Furjė serijos jos sudėtiniame žymėjime.

-Kurjerų serijos, veikiančios 2L periodą:

Svarstomas intervalas, kuris suteikia pranašumų pasinaudojant simetrinėmis funkcijų savybėmis.

Jei f yra lygus, Furjė serija yra nustatyta kaip kosinusų serija.

Jei f yra nelyginis, Furjė serija yra nustatyta kaip sinusų seka.

-Kompleksinis Furjė serijos žymėjimas

Jei turime funkciją f (t), kuri atitinka visus Furjė serijos reikalavimus, ją galima pažymėti intervalu naudojant sudėtingą žymėjimą:

Pavyzdžiai

Pateikiami pagrindinio sprendimo apskaičiavimo pavyzdžiai:

Kita vertus, šie yra diskrečios Furjė transformacijos taikymo signalo teorijos srityje pavyzdžiai:

-Sistemos identifikavimo problemos. Įkurta f ir g

-Problema su išėjimo signalo nuoseklumu

-Problemos su signalo filtravimu

Pratimai

1 pratimas

Apskaičiuokite sekančią diskretinę Furjė transformaciją.

Galite apibrėžti x GTV kaip:

X _t = {4, -j2, 0, j2}, kai k = 0, 1, 2, 3

2 pratimas

Spektrinį signalą, kurį apibrėžia išraiška x (t) = e ^-t, norime nustatyti per skaitmeninį algoritmą . Kai didžiausias reikalaujamo dažnio koeficientas yra f _m = 1 Hz. Harmonika atitinka f = 0,3 Hz. Paklaida yra mažesnė kaip 5%. Apskaičiuokite f _s , D ir N.

Atsižvelgiant į atrankos teoremą f _s = 2f _m = 2 Hz

Pasirinkta dažnio skiriamoji geba f ₀ = 0,1 Hz, iš kurios gauname D = 1 / 0,1 = 10s

0,3 Hz yra dažnis, atitinkantis indeksą k = 3, kur N = 3 × 8 = 24 pavyzdžiai. Nurodo, kad f _s = N / D = 24/10 = 2,4> 2

Kadangi siekiama gauti mažiausią įmanomą N vertę, šias vertybes galima laikyti sprendimu:

f ₀ = 0,3 Hz

D = 1 / 0,3 = 3,33 s

k = 1

N = 1 × 8 = 8

Nuorodos

1. Diskretinio Furjė transformacijos įvaldymas viename, dviejuose ar keliuose matmenyse: spąstai ir artefaktai. Izaokas Amidroras. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, liepos 19 d. 2013 metai
2. DFT: Diskretinio Furjė transformacijos savininko vadovas. Williamas L. Briggsas, Van Emdenas Hensonas. SIAM, sausio 1 d. devyniolika devyniasdešimt penki
3. Skaitmeninio signalo apdorojimas: teorija ir praktika. D. Sundararajanas. „World Scientific“, 2003 m
4. Signalų analizės ir atvaizdavimo transformacijos ir greiti algoritmai. Guoan Bi, Yonghong Zeng. „Springer“ mokslo ir verslo žiniasklaida, gruodžio 6 d. 2012 metai
5. Diskretinės ir tęstinės Furjė transformacijos: analizė, programos ir greiti algoritmai. Eleonora Chu. „CRC Press“, kovo 19 d. 2008 metai