SCALENE TRAPECIJA: SAVYBĖS, FORMULĖS IR LYGTYS, PAVYZDŽIAI - MATEMATIKA - 2025

Różnoboczny trapecijos formos yra daugiakampis su keturių pusių, iš kurių du yra lygiagrečios viena kitai, ir su savo keturių interjero kampų skirtingas priemones.

Keturkampis ABCD parodytas žemiau, kur AB ir DC kraštinės yra lygiagrečios viena kitai. To pakanka, kad jis būtų trapecijos formos, bet taip pat visi vidiniai kampai α, β, γ ir δ yra skirtingi, todėl trapecija yra skalė.

1 paveikslas. Keturkampis ABCD yra trapecijos formos pagal 1 sąlygą ir skalės pagal 2 sąlygą. Šaltinis: F. Zapata.

Skalės trapecijos elementai

Čia yra būdingiausi elementai:

-Bazės ir šonai: lygiagretės trapecijos pusės yra jos pagrindai, o dvi nelygiagrečios pusės yra šonai.

Skalės trapecijos pagrindas yra skirtingo ilgio ir šoninės. Tačiau masto trapecijos formos šonas gali būti lygus šonui su pagrindu.

Medikas: yra segmentas, jungiantis šoninius vidurio taškus.

- Įstrižainės: trapecijos įstrižainė yra segmentas, jungiantis dvi priešingas viršūnes. Trapecijos formos, kaip ir kiekvienas keturkampis, turi dvi įstrižas. Skalės trapecijos formos jie yra skirtingo ilgio.

Kiti trapecijos

Be skalės trapecijos, yra ir kitų specifinių trapecijų: dešinioji trapecija ir lygiašakė trapecija.

Trapecija yra stačiakampis, kai vienas iš jo kampų yra stačias, o lygiašonio trapecijos kraštinės yra vienodo ilgio.

Trapecijos formos dizainas ir pramonė gali būti pritaikomi daugelyje sričių, pavyzdžiui, konfigūruojant orlaivių sparnus, tokius kasdienius daiktus kaip stalai, kėdės atlošai, pakuotės, piniginės, tekstilės atspaudai ir dar daugiau.

2 pav. Trapecijos forma yra įprasta lėktuvų sparnuose. Šaltinis: „Wikimedia Commons“.

Savybės

Žemiau pateiktos skalės trapecijos savybės, iš kurių daugelis apima kitas trapecijos rūšis. Toliau, kai bus kalbama apie „trapeciją“, ši savybė bus taikoma bet kokio tipo, įskaitant skalūną.

1. Trapecijos mediana, tai yra segmentas, jungiantis jo nelygiagrečių pusių vidurinius taškus, yra lygiagreti bet kuriai iš pagrindų.

2. Trapecijos vidurio ilgis yra toks pat, kaip ir jo pusių pusiaukelė, ir įstrižainės supjaustomos viduryje.

3. Trapecijos įstrižainės susikerta taške, padalijantį juos į dvi dalis, proporcingas bazių dalims.

4. Trapecijos įstrižainių kvadratų suma yra lygi jos kraštų kvadratų sumai, pridėjus dvigubą jos pagrindų sandaugą.

5.- Segmentas, jungiantis įstrižainių vidurio taškus, turi ilgį, lygų bazių skirtumui per pusę.

6.- kampai, esantys šalia šoninių, yra papildomi.

7. Skalės trapecijos formos įstrižainių ilgis yra skirtingas.

8. Trapecijos formos apskritimas nurodomas tik tuo atveju, jei jos bazių suma lygi jos kraštų sumai.

9.- Jei trapecijos formos apskritimas yra užrašytas, tada kampas su viršūnės viduriu minėto perimetro ir šonų, einančių per trapecijos pusės šonus, yra tiesus.

10. Skalės trapecijos formos apimtis nėra apibrėžta, vienintelis trapecijos tipas yra lygiašonis.

Formulės ir lygtys

Toliau pateikiami šie skalės trapecijos santykiai.

1.- Jei AE = ED ir BF = FC → EF - AB ir EF - DC.

2.- EF = (AB + DC) / 2, tai yra: m = (a + c) / 2.

3. DI = IB = d ₁ /2 ir AG = GC = d ₂ /2.

4.- DJ / JB = (c / a) panašiai kaip CJ / JA = (c / a).

3 pav. Skalės trapecijos viduriniosios ir įstrižainės. Šaltinis: F. Zapata.

5.- DB ² + AC ² = AD ² + BC ² + 2 AB ∙ DC

Lygiaverčiai:

d ₁ ² + d ₂ ² = d ² + b ² + 2 a ∙ c

6.- GI = (AB - DC) / 2

Tai yra:

n = (a - c) / 2

7.- α + δ = 180⁰ ir β + γ = 180⁰

8.- Jei α ≠ β ≠ γ ≠ δ, tada d1 ≠ d2.

9.- 4 paveiksle pavaizduotas išmatuotas apskritimo trapecijos formos apvadas, šiuo atveju tiesa, kad:

a + c = d + b

10.– Skalės trapecijos ABCD su užrašytu centro O apskritimu taip pat galioja:

∡AOD = ∡BOC = 90⁰

4 pav. Jei trapecijos forma yra patikrinta, ar jos bazių suma lygi šoninių sumai, tada joje nurodytas perimetras. Šaltinis: F. Zapata.

Ūgis

Trapecijos aukštis yra apibrėžiamas kaip segmentas, einantis nuo pagrindo taško statmenai priešingai bazei (arba jos prailginimui).

Visi trapecijos aukščiai turi tą patį matavimą h, taigi dažniausiai žodžio aukštis nurodo jo matavimą. Trumpai tariant, aukštis yra atstumas arba atstumas tarp pagrindų.

Aukštį h galima nustatyti žinant vienos pusės ilgį ir vieną iš kampų, esančių greta šono:

h = d Sen (α) = d Sen (γ) = b Sen (β) = b Sen (δ)

Vidutinė

Trapecijos vidurio matas m yra bazių pusiau suma:

m = (a + b) / 2

Įstrižainės

d ₁ = √

d ₂ = √

Jį taip pat galima apskaičiuoti, jei žinomas tik trapecijos kraštų ilgis:

d ₁ = √

d ₂ = √

Perimetras

Perimetras yra visas kontūro ilgis, tai yra, visų jo kraštų suma:

P = a + b + c + d

Plotas

Trapecijos plotas yra jo pagrindų pusiaukelė, padauginta iš jo aukščio:

A = h ∙ (a + b) / 2

Jį taip pat galima apskaičiuoti, jei žinoma mediana m ir aukštis h:

A = m ∙ h

Jei žinomas tik trapecijos kraštų ilgis, plotą galima nustatyti naudojant Herono trapecijos formulę:

A = ∙ √

Kur s yra pusiauperimetras: s = (a + b + c + d) / 2.

Kiti mastelio trapecijos santykiai

Medianos susikirtimas su įstrižainėmis ir lygiagretė, einanti per įstrižainių sankirtą, sukelia kitus ryšius.

5 pav. Kiti mastelio trapecijos santykiai. Šaltinis: F. Zapata.

- Santykiai su vidutine EF

EF = (a + c) / 2; EG = IF = c / 2; EI = GF = a / 2

- Segmentų, lygiagrečių KL pagrindams, santykiai, kertantys įstrižainių susikirtimo tašką J

Jei KL - AB - DC su J ∈ KL, tada KJ = JL = (a ∙ c) / (a ​​+ c)

Skalės trapecijos su liniuote ir kompasu konstrukcija

Atsižvelgiant į ilgio a ir c pagrindus, kur a> cy su b ir d ilgių kraštais, kur b> d, atlikite šiuos veiksmus (žr. 6 paveikslą):

1.- Pagal taisyklę nubrėžtas didžiosios AB segmentas.

2.- Iš A se ir AB pažymėkite tašką P taip, kad AP = c.

3.- Kompasui, kurio centras yra P ir spindulys d, nubrėžtas lankas.

4.– B spinduliu b padarytas centras, nubrėžiantis lanką, kuris įsiterpia į ankstesniame žingsnyje nubrėžtą lanką. Mes vadiname Q susikirtimo tašku.

6 pav. Skalės trapecijos konstrukcija atsižvelgiant į jos šonus. Šaltinis: F. Zapata.

5.- Kai centras yra ties A, nubrėžkite d spindulio lanką.

6.- Kai centras yra Q, nubrėžkite spindulio c lanką, kuris įsiterpia į ankstesniame žingsnyje nubrėžtą lanką. Nukirtimo taškas bus vadinamas R.

7.- Segmentai BQ, QR ir RA brėžiami kartu su liniuote.

8.- Keturkampis ABQR yra skalės trapecija, nes APQR yra lygiagretė, kuri garantuoja, kad AB - QR.

Pavyzdys

Nurodomi šie ilgiai cm: 7, 3, 4 ir 6.

a) Nustatykite, ar su jais įmanoma sukonstruoti apskritimo trapecijos formos skalę, galinčią apibrėžti apskritimą.

b) Raskite minėto trapecijos formos perimetrą, plotą, įstrižainių ilgį ir aukštį, taip pat užrašyto apskritimo spindulį.

- Sprendimas

Naudojant 7 ir 3 ilgio segmentus kaip pagrindus, o 4 ir 6 ilgio segmentus kaip šonus, galima sudaryti skalės trapecijos formos metodą, aprašytą ankstesniame skyriuje.

Belieka patikrinti, ar jo užrašytas perimetras, bet atsiminti turtą (9):

Mes tai matome efektyviai:

7 + 3 = 4 + 6 = 10

Tuomet įvykdyta užrašyto apskritimo egzistavimo sąlyga.

- Sprendimas b

Perimetras

Perimetras P gaunamas pridedant šonus. Kadangi pagrindų yra iki 10, o šoninių taip pat, perimetras yra:

P = 20 cm

Plotas

Norint nustatyti plotą, žinomą tik apie jo puses, taikomas santykis:

A = ∙ √

Kur s yra pusiauperimetras:

s = (a + b + c + d) / 2.

Mūsų atveju pusperimetro vertė yra s = 10 cm. Pakeitus atitinkamas vertes:

a = 7 cm; b = 6 cm; c = 3 cm; d = 4 cm

Lieka:

A = √ = (5/2) √63 = 19,84 cm².

Ūgis

Aukštis h yra susijęs su plotu A šia išraiška:

A = (a + c) ∙ h / 2, iš kurio aukštį galima gauti išvalius:

h = 2A / (a ​​+ c) = 2 * 19,84 / 10 = 3,988 cm.

Užrašyto apskritimo spindulys

Užrašyto apskritimo spindulys lygus pusei aukščio:

r = h / 2 = 1,984 cm

Įstrižainės

Pagaliau rasime įstrižainių ilgį:

d ₁ = √

d ₂ = √

Tinkamai pakeisdami turimas vertybes:

d ₁ = √ = √ (36 + 21–7 (20) / 4) = √ (22)

d ₂ = √ = √ (16 + 21–7 (-20) / 4) = √ (72)

Tai yra: d ₁ = 4,69 cm ir d ₂ = 8,49 cm

7 pav. Scalene trapecija, atitinkanti užrašyto apskritimo egzistavimo sąlygas. Šaltinis: F. Zapata.

Pratimas išspręstas

Vidiniai trapecijos kampai nustatomi pagrindais AB = a = 7, CD = c = 3 ir šoniniais kampais BC = b = 6, DA = d = 4.

Sprendimas

Kosinuso teorema gali būti taikoma nustatant kampus. Pavyzdžiui, kampas ∠A = α nustatomas iš trikampio ABD, kai AB = a = 7, BD = d2 = 8,49 ir ​​DA = d = 4.

Kosinuso teorema, taikoma šiam trikampiui, atrodo taip:

d ₂ ² = a ² + d ² - 2 ∙ a ∙ d ∙ Cos (α), tai yra:

72 = 49 + 16-56 ° C (α).

Sprendžiant, gaunamas kampo α kosinusas:

Kozas (α) = -1/8

Tai yra, α = ArcCos (-1/8) = 97,18⁰.

Kiti kampai gaunami tokiu pat būdu, jų vertės yra:

β = 41,41⁰; γ = 138,59⁰ ir galiausiai δ = 82,82⁰.

Nuorodos

1. CEA (2003). Geometrijos elementai: su pratimais ir kompaso geometrija. Medellino universitetas.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Matematika 2. Grupo Editorial Patria.
3. Atleistas, K. (2007). Atraskite daugiakampius. Lyginamoji švietimo įmonė.
4. Hendrik, V. (2013). Apibendrinti daugiakampiai. Birkhäuser.
5. IGER. (sf). Matematikos pirmasis semestras Tacaná. IGER.
6. Jr geometrija. (2014). Daugiakampiai. „Lulu Press, Inc.“
7. Milleris, Heerenas ir Hornsbis. (2006). Matematika: pagrindimas ir taikymas (dešimtasis leidimas). „Pearson Education“.
8. Patiño, M. (2006). Matematika 5. Redakcijos programa.
9. Vikipedija. Trapecija. Atkurta iš: es.wikipedia.com